角平分线基本性质及简单应用

角平分线基本性质及简单应用
角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.（“3-1-4”定理）
逆定理：到角两边距离相等的点在角的角平分线上.
三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 方法总结：
（1）有角平分线时，常国角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.（利用角平分线翻折）
一、基本性质及简单应用
例1. 如图，MP ⊥NP ，MQ 为ΔNMP 的角平分线，MT=MP ，连接TQ ，
则下列结论中，不正确的是（ ）
A. TQ=PQ
B. ∠MQT=∠MQP
C.∠QTN=900
D. ∠NQT=∠MQT
例2．已知：如图，BD 是ABC ∠的平分线，BC AB =，P 在BD 上，AD PM ⊥，CD PN ⊥.
求证：PN PM =.
例3．如图，已知：在ABC ∆中，外角CBD ∠和BCE ∠的平分线BF ，CF 相交于点F . 求证：点F 在DAE ∠的平分线上.
例4. D 是ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线的交点，DE ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F.
求证：.CF BE EF -=
例5.如图，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于点D,BD,CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC.
（1）求证：OB=OC;
(2 )若将条件“AO 平分∠BAC ”和结论“OB=OC ”互换，命题还能成立吗？请说明理由.
M N P Q T F A A
E D
B C A B
C
E D O C
E F D
B A
例6. 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90A ，BD 是ABC ∠的平分线，BC DE ⊥于E ，cm BC 10=，
求DEC ∆的周长.
针对练习：
1．如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高.
求证：AF AE =.
2．如图，已知：在ABC ∆中AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F .
求证：EF AD ⊥.
3．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 是A ∠的平分线.
求证：AB CD AC =+.
4．如图，已知：CD BD =，AC BF ⊥于F ，AB CE ⊥于E .求证：D 在BAC ∠的平分线上.
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二、拓展应用
例1. EG ，FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的平分线，交点是G 点，BP ，CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的平分线，交点是P 点，点F,C 在AN 上，点B,E 在AM 上.
(1) 如果∠G ＝470
，那么∠P 的度数大小你能知道吗？ (2) 试求出来.点A,P,G 的位置关系如何？证明你的结论.
例2. 如图，BD 平分∠ABC ，AD=DC ，BC>AB,问∠A 与∠C 有怎样的关系？
变式题：若上题中条件该为“BD 平分∠ABC ，BC>AB, ∠A ＋∠C ＝1800
.”求证：AD=DC.
例3.如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，AC=AB+BD.求证：∠B=2∠C 变式题: 如图,在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=2∠C. 求证： AC=AB+AD
例4.如图，BD ＝DC,ED ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，作EM ⊥AB,EN ⊥AC,求证：BM ＝CN.
例5. 如图，∠B=∠C=900
,M 点是BC 中点，DM 平分∠ADC.求证：AM 平分∠DAB. D C A
B B M E
D N
C A A B
D C A B D C
变式题. 如图，AB ∥CD, ∠ABC 、∠BCD 的平分线恰好交于AD 上一点E ，试说明BC ＝AB+CD.
针对练习：
1.如图，D 是等边△ABC 内一点，DB ＝DA ，BP ＝AB ，∠DBP ＝∠DBC.求证：∠P ＝0
30
2、已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝0
60，△ABC 的角平分线AD 、CE 线相交于点O
求证：AE+CD ＝AC
3.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于F ，
过C 作BE 的垂线交BE 于E.求证：BF=2CE
巩固性练习
1、下列说法正确的有几个（ ）
（1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；
（3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；
A
B D
P
C
A
B
C
E F
D C A B M B A C D
E D
O A B
C
E
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E
D C
B
A （4） 点E 、F 分别在∠AO
B 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以P 点在∠AOB 的平分线上； （5） 若O
C 是∠AOB 的平分线，过OC 上的点P 作OC 的垂线，交OB 于
D ，交OA 于
E ，则线段PD 、PE 的
长分别是P 点到角两边的距离
A ．2
B 3
C 4
D 5 2、在△ABC 中，∠C ＝0
90，BC ＝16cm ，∠A 的平分线AD 交BC 于D ，且CD ：DB ＝3：5，则D 到AB 的距离等于＿＿＿＿
3、已知：如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，236cm S ABC =∆AB ＝18cm,BC ＝12cm, 求DE 的长
4．已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别平分ABC ∠、ACB ∠，且交于点O ，
求证：点O 在A ∠的平分线上.
5、.如图在 △ABC 中,∠BAC ＝100°,∠ACB ＝20°,CE 是∠ACB 的平分线,D 是BC 上一点,若∠DAC ＝20°,
求∠CED 的度数.
6.在四边形ABCD 中,BC ﹥BA,AD ＝CD,BD 平分∠ABC,∠C ＝72°,求∠BAD 的度数
C B A
D
E C
A B D O B F C
E
A。