等差数列典型例题及分析(必看)
等差数列经典试题(含答案) 百度文库
16．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 ，已知 ， ，且满足 （ ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人
A．225B．255C．365D．465
17．已知数列 满足 且 ，则 时，使得不等式 恒成立的实数a的最大值是（）
A．19B．20C．21D．22
故选：D．
【点睛】
方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.
12．C
【分析】
令 ， ，求出 ， ，进而求出 ， ，则 可得．
【详解】
令 ， ，
可得当 时， ，
，
当 ， ，符合 ，
故 ， ，
故 .
【点睛】
由 求 时， ，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解．
一、等差数列选择题
1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺
A． B． C． D．
2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（）
A．4B．5C．7D．8
25．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）
等差数列典型例题(含答案)
等差数列试题精选一、选择题：（每小题5分，计50分）1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）62．已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．54．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8.已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：（每小题5分，计20分）11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a _____________.12．已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）14．等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.15．已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
等差数列题目100道
等差数列题目100道一、基础概念类题目1. 已知数列{a_n}满足a_{n + 1}-a_n = 3，a_1 = 2，求数列{a_n}的通项公式。
- 解析：因为a_{n + 1}-a_n = d = 3（d为公差），a_1 = 2。
根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。
2. 在等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_{10}。
- 解析：首先求公差d，d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。
由a_3=a_1+(3 - 1)d，即7=a_1 + 2×2，解得a_1 = 3。
那么a_{10}=a_1+(10 -1)d=3+9×2 = 21。
3. 若数列{a_n}为等差数列，且a_2=5，a_6 = 17，求其公差d。
- 解析：根据等差数列通项公式a_n=a_m+(n - m)d，则a_6=a_2+(6 - 2)d，即17 = 5+4d，解得d = 3。
4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=-1，公差d = 2，求该数列的前n项和S_n的公式。
- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d，将a_1=-1，d = 2代入可得S_n=-n+(n(n - 1))/(2)×2=n^2 - 2n。
5. 在等差数列{a_n}中，a_1 = 1，a_{10}=19，求S_{10}。
- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，这里n = 10，a_1 = 1，a_{10}=19，则S_{10}=(10×(1 + 19))/(2)=100。
二、性质应用类题目6. 在等差数列{a_n}中，若a_3+a_8+a_{13}=12，求a_8的值。
- 解析：因为在等差数列中，若m,n,p,q∈ N^+，m + n=p+q，则a_m + a_n=a_p + a_q。
6.2等差数列典型例题及详细解答
精心整理1．等差数列的定义一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，往常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式假如等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项假如A＝，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推行：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋*5．等差数列的前n项和公式设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和S n＝或S nna1＋d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系S n＝n2＋n.数列{a n}是等差数列?S n＝An2＋Bn(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．【思虑辨析】判断下边结论能否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)等差数列{an}的单一性是由公差d决定的．(√)(4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)(5)数列{an}知足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(×)(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(此中p，q为常数)，则数列{an}必定是等差数列．(√)1．(2015重·庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()A．－1B．0C．1D．6答案B分析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－精心整理4＝0，选B.2．(2014福·建)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14答案C分析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，应选C.3．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()A．58B．88C．143D．176答案B分析S11＝＝＝88.4．设数列{a n}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋＋a7等于()精心整理A．14B．21C．28D．35答案C分析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，a1＋a2＋＋a7＝7a4＝28.5．(2014·京北)若等差数列{a n}知足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．答案8分析{a n}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8因为数列＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{a n}中，若a1＝－2，且对随意的n∈N*有2a n＋1＝1＋2a n，则数列{a n}前10项的和为()精心整理A．2B．10C.D.(2)已知在等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10等于()A．100B．210C．380D．400答案(1)C(2)B分析(1)由2a n＋1＝1＋2a n得a n＋1－a n＝，所以数列{a n}是首项为－2，公差为的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋×＝.(2)因为a2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，故S10＝10×3＋×10×9×4＝210.思想升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，而后由通项公式或前n项和公式转变成方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及精心整理前n项和公式，共波及五个量a1，a n，d，n，S n，知此中三个就能求此外两个，表现了方程的思想．(1)(2015课·标全国Ⅱ)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于()A．5B．7C．9D．11(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且知足－＝1，则数列{a n}的公差是()．1C．2D．3答案(1)A(2)C分析(1)∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，S5＝＝5a3＝5.应选A.(2)∵S n＝，∴＝，又－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{a n}的公差为2.精心整理题型二等差数列的判断与证明例2已知数列{a n}中，a1＝，a n＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{b n}知足b n＝(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}中的最大项和最小项，并说明原因．(1)证明因为a n＝2－(n≥2，n∈N*)，b n＝(n∈N*)，所以b n＋1－b n＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.所以数列{b n}是以－为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知b n＝n－，则a n＝1＋＝1＋.精心整理设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．所以当n＝3时，a n获得最小值－1，当n＝4时，a n 获得最大值3.引申研究例2中，若条件变成a1＝，na n＋1＝(n＋1)a n＋n(n 1)，研究数列{a n}的通项公式．解由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴a n＝n2－n.思想升华等差数列的四个判断方法精心整理(1)定义法：证明对随意正整数n都有a n＋1－a n等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对随意正整数n都有2a n＋1＝a n＋a n＋2后，可递推得出a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n＝a na n－1＝a n－1－a n－2＝＝a2－a1，依据定义得出数列{a n}为等差数列．(3)通项公式法：得出a n＝pn＋q后，得a n＋1－a n＝p对随意正整数 n恒建立，依据定义判断数列{a n}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出S n ＝An2＋Bn后，依据S n，a n的关系，得出a n，再使用定义法证明数列{a n}为等差数列．(1)若{a n}是公差为1的等差数列，则{a2n－1精心整理＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(2)在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为()A．a n＝B．a n＝C．a n＝D．a n＝答案(1)C(2)A分析(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(2)由已知式＝＋可得－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的精心整理等差数列，所以＝n，即a n＝.精心整理题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质例3(1)(2015广·东)在等差数列{a n}中，若a3＋a4a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)10(2)60分析(1)因为{a n}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.命题点2等差数列前n项和的最值例4在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为精心整理S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n获得最大值，并求出它的最大值．解∵a1＝20，S10＝S15，10×20＋d＝15×20＋d，d＝－.方法一由a n＝20＋(n－1)×＝－n＋.得a13＝0.即当n≤12时，a n＞0，当n≥14时，a n＜0.∴当n＝12或13时，S n获得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.方法二S n＝20n＋·＝－n2＋n精心整理＝－2＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12 S13＝130.引申研究例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其余条件不变，求当n取何值时，S n获得最小值，并求出最小值．解由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∴a13＝0.又a1＝－20，∴a12<0，a14>0，精心整理∴当n＝12或13时，S n获得最小值，最小值S12＝S13＝＝－130.思想升华(1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n}中，a m－a n＝(m－n)d?d(m≠n)，其几何意义是点(n，a n)，(m，a m)所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则a．S2n＝n(a1＋a2n)＝＝n(a n＋a n＋1)；b．S2n－1＝(2n－1)a n.(2)求等差数列前n项和S n最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S n精心整理an2＋bn，经过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a．当a1＞0，d＜0时，知足的项数m使得S n获得最大值S m；b．当a1＜0，d＞0时，知足的项数m使得S n获得最小值S m.(1)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当S n取最大值时，n的值是()A．5B．6C．7D．8(2)设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则S n取最大值时，n的值为()精心整理A．5B．6C．5或6D．11(3)已知等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和S n的最大值为________．答案(1)B (2)C(3)110分析(1)依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{a n}是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起此后各项均为负数，于是当S n取最大值时，n＝6，选B.(2)由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，S n最大，选C.(3)因为等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入乞降公式得，S n＝na1＋d＝20n－×2精心整理＝－n2＋21n＝－2＋2，又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，S n获得最大值，最大值为110.6．等差数列的前n项和及其最值典例(1)在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于()A．45B．60C．75D．90(2)在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110 ________.(3)等差数列{a n}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{a n}的前n项和S n的最大值为()A．S4B．S5C．S6D．S7思想点拨(1)求等差数列前n项和，能够经过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也能够利用精心整理等差数列的性质：a1＋a n＝a2＋a n－1＝；(2)求等差数列前 n项和的最值，能够将S n化为对于的二次函数，求二次函数的最值，也能够察看等差数列的符号变化趋向，找最后的非负项或非正项．分析(1)由题意得a3＋a8＝9，所以S10＝＝＝＝45.(2)方法一设数列{a n}的公差为d，首项为a1，则解得所以S110＝110a1＋d＝－110.方法二因为S100－S10＝＝－90，所以a11＋a100＝－2，所以S110＝＝＝－110.精心整理(3)因为所以所以S n的最大值为S5.答案(1)A (2)－110(3)B温馨提示(1)利用函数思想求等差数列前n项和S n的最值时，要注意到n∈N*；(2)利用等差数列的性质求S n，突出了整体思想，减少了运算量．[方法与技巧]1．在解相关等差数列的基本量问题时，可经过列关于a1，d的方程组进行求解．2．证明等差数列要用定义；此外还能够用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判断一个数列是否为等差数列．精心整理3．等差数列性质灵巧使用，能够大大减少运算量．4．在碰到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a ＋d，a＋3d等，可视详细状况而定．[失误与防备]1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，a n为常数．2．公差不为0的等差数列的前 n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6精心整理＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27答案B分析由{a n}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，获得S9－S6＝2S6－3S3＝45，应选B. 2．(2015·京北)设{a n}是等差数列，以下结论中正确的是()A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0答案C精心整理分析设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2>0，a2a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，因为d正负不确立，因此a2＋a3符号不确立，应选项A错；若a1a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，因为d正负不确立，因此a1＋a2符号不确立，应选项B错；若0<a1<a2，可知a1>0，d>0，a2>0，a3>0，所以a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，所以a2>，应选项C正确；若a1<0，则(a2－a1)·(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，应选项D错．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案C精心整理分析∵数列{a n}为等差数列，且前n项和为S n，∴数列也为等差数列．∴＋＝，即＋＝0，解得m＝5，经查验为原方程的解，应选 C.4．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A．0B．3C．8D．11答案B设{b n}的公差为d，∵分析∵∵－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.∵b10∵∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.精心整理b1＋b2＋＋b7＝7b1＋d7×(－6)＋21×2＝0.又b1＋b2＋＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，a8＝3.应选B.5．已知数列{a n}知足a n＋1＝a n－，且a1＝5，设{a n}的前n项和为S n，则使得S n获得最大值的序号n的值为()A．7B．8C．7或8D．8或9答案C分析由题意可知数列{a n}是首项为5，公差为－的等差数列，所以a n＝5－(n－1)＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所精心整理以S n获得最大值时，n＝7或8，应选C.6．已知数列{a n}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10 ________.答案分析由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，故a10＝.7．已知递加的等差数列{a n}知足a1＝1，a3＝a－4，则a n＝________.答案2n－1分析设等差数列的公差为d，a3＝a－4，∴1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4，即d＝±2.因为该数列为递加数列，故d＝2.∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1.精心整理8．设数列{a n}的通项公式为a n＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋＋|a15|＝________.答案130分析由a＝－∈N*知是以－为首项，n2n10(n)n8 {a}为公差的等差数列，又由a n＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，a n≤0，当n＞5时，a n＞0，∴|a1|＋|a2|＋＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋＋a15)20＋110＝130.9．若数列{a n}的前n项和为S n，且知足a n＋2S n S n 1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明当n≥2时，由an＋2S nn－1＝0，S得S n－S n－1＝－2S n S n－1，所以－＝2，精心整理又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解由(1)可得＝2n，∴S n＝.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不合适上式．故a n＝10．等差数列{a n}中，设S n为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，S n最大？解方法一由S3＝S11得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.进而S n＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，S n最大．方法二因为S n＝an2＋bn是对于n的二次函数，由S3＝S11，可知S n＝an2＋bn的图象对于n＝＝7精心整理对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，S n 最大．方法三由方法一可知，d＝－a1.要使S n最大，则有即解得≤n≤，故当n＝7时，S n最大．方法四由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大．B组专项能力提高(时间：20分钟)11．设S n为等差数列{a n}的前n项和，(n＋1)S n＜精心整理nS n＋1(n∈N*)．若＜－1，则()A．S n的最大值是S8B．S n的最小值是S8C．S n的最大值是S7D．S n的最小值是S7答案D分析由条件得＜，即＜，所以a n＜a n＋1，所以等差数列{a n}为递加数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{a n}前7项均小于0，第8项大于零，所以S n的最小值为S7，应选D.12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－3，a k＋1＝，S k＝－12，则正整数k＝________.答案13分析S k＋1＝S k＋a k＋1＝－12＋＝－，又S k＋1＝精心整理＝＝－，解得k＝13.13．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对随意自然数n都有＝，则＋的值为________．答案分析∵{a n}，{b n}为等差数列，∴＋＝＋＝＝.∵＝＝＝＝，∴＝.14．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，b n＝，若对随意的n∈N*，都有b n≥b8建立，则实数a的取值范围为________．精心整理答案(－8，－7)分析依题意得b n＝1＋，对随意的n∈N*，都有b n≥b8，即数列{b n}的最小项是第8项，于是有≥.又数列{a n}是公差为1的等差数列，所以有即由此解得－8＜a＜－7，即实数a的取值范围是(－8，－7)．15．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且知足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项a n；(2)求S n的最小值；(3)若数列{b n}是等差数列，且b n＝，求非零常数 c.解(1)因为数列{a n}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d＞0，所以a3＜a4，精心整理所以a3＝9，a4＝13，所以所以所以通项a n＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，所以S n＝na1＋×d＝2n2－n＝22－.所以当n＝1时，S n最小，最小值为S1＝a1＝1.(3)由(2)知S n＝2n2－n，所以b n＝＝，所以b1＝，b2＝，b3＝.因为数列{b n}是等差数列，精心整理所以2b2＝b1＋b3，即×2＝＋，所以2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0(舍去)，经考证c＝－时，{b n}是等差数列，故c＝－.。
等差数列的性质(完整版,配例题)
等差数列的性质等差数列通项公式：()d n a a n 11-+= 等差数列前n 项和公式：()()d n n na a a n S n n 21211-+=+=等差数列的性质：（1）等差中项：如果c b a ,,成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项。
即：c b a ,,成等差数列22ca b b c a +=⇔=+⇔ （2）等差数列{}n a 中，当n 为奇数时，21121+=-+=-n a d n a S S 偶奇（中间项)； 21+⋅=n n a n S （项数与中间项的积）；11-+=n n S S 偶奇； 当n 为偶数时，d nS S 2=-奇偶； 2122++⋅=nn n a a n S ；122+=nna a S S 偶奇。
【例1】在等差数列{}n a 中， ① 已知154533,153a a ==，求30a ；总结：已知()，且同奇偶+∈N n m a a n m ,,，可求2n m a +。
② 已知16,1086==a a ，求13S ；总结：已知()+∈N n m a a n m ,,，可求1-+n m S 。
③ 已知163a =，求31S ；总结：已知()+∈N n a n ，可求12-n S ()()n n a n S 1212-=-。
④ （2007湖北理）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且3457++=n n B A n n ，则使得n n b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【练习1】等差数列{}n a 的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27:32，求公差d ；【练习2】在两个等差数列{}n a 和{}n b 满足327321321++=++++++++n n b b b b a a a a n n ，求55b a 。
（3）等差数列{}n a 中，()()+∈-=-N m n d m n a a m n ,；（4）如果c b a ,,成等差数列，则k mc k mb k ma +++,,也成等差数列()为常数k m ,； （5）等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（6）等差数列{}n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按照原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列。
等差数列试题
等差数列试题一、等差数列的概念与通项公式1. 已知数列{a_{n}}满足a_{n + 1}-a_{n}=3，a_{1}=2，求数列{a_{n}}的通项公式。
- 解析：因为a_{n + 1}-a_{n}=3，所以数列{a_{n}}是公差d = 3的等差数列。
根据等差数列通项公式a_{n}=a_{1}+(n - 1)d，已知a_{1}=2，d = 3，则a_{n}=2+(n - 1)×3=2 + 3n-3=3n - 1。
2. 等差数列{a_{n}}中，a_{3}=7，a_{5}=11，求a_{n}。
- 解析：首先求公差d，d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。
又a_{3}=a_{1}+2d，a_{3} = 7，d = 2，则a_{1}=a_{3}-2d=7-2×2 = 3。
所以a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=3+(n - 1)×2=2n + 1。
3. 若数列{a_{n}}的通项公式为a_{n}=4n - 3，证明{a_{n}}是等差数列。
- 解析：对于n≥slant1，a_{n + 1}=4(n + 1)-3=4n+1。
则a_{n + 1}-a_{n}=(4n + 1)-(4n - 3)=4（常数）。
所以数列{a_{n}}是公差为4的等差数列。
4. 在等差数列{a_{n}}中，a_{1}= - 5，d = 3，n = 10，求a_{n}。
- 解析：根据等差数列通项公式a_{n}=a_{1}+(n - 1)d，将a_{1}=-5，d = 3，n = 10代入，可得a_{10}=-5+(10 - 1)×3=-5 + 27 = 22。
5. 已知等差数列{a_{n}}中a_{2}=5，a_{6}=17，求a_{14}。
- 解析：设等差数列{a_{n}}的公差为d，则a_{6}-a_{2}=4d，即17 - 5=4d，解得d = 3。
三年级等差数列例题
三年级等差数列例题一、等差数列基础概念例题。
1. 例题：求等差数列3，7，11，15，…的第10项是多少？- 解析：- 我们要确定这个等差数列的首项a_1 = 3，公差d=7 - 3=4。
- 根据等差数列的通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。
- 当n = 10时，a_10=3+(10 - 1)×4=3 + 9×4=3+36 = 39。
2. 例题：等差数列2，5，8，11，…，29，这个数列共有多少项？- 解析：- 已知首项a_1 = 2，公差d = 5-2 = 3，末项a_n=29。
- 根据通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得到29 = 2+(n - 1)×3。
- 化简方程29=2 + 3n-3，即29=3n - 1。
- 移项可得3n=30，解得n = 10，所以这个数列共有10项。
3. 例题：在等差数列{a_n}中，a_1 = 5，d = 3，求前5项的和S_5。
- 解析：- 根据等差数列求和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，先求a_5。
- 由通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，当n = 5时，a_5=5+(5 - 1)×3=5+12 = 17。
- 再代入求和公式S_5=(5×(5 + 17))/(2)=(5×22)/(2)=55。
4. 例题：已知等差数列1，4，7，10，…，求这个数列的第20项与前20项的和。
- 解析：- 首项a_1 = 1，公差d = 4 - 1=3。
- 第20项a_20=a_1+(20 - 1)d=1+(20 - 1)×3=1+19×3=1 + 57=58。
- 前20项和S_20=(20×(1 + 58))/(2)=10×59 = 590。
5. 例题：等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_1和d。
- 解析：- 根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d。
等差数列的前n项和·例题解析
等差数列的前n 项和·例题解析【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解 依题意，得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791＋＋＋＋＋＋101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113，d=－22．∴ 其通项公式为a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135∴a 6=－22×6＋135＝3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a 6=a 1＋5d ，也可以不必求出a n 而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋，a 2a 9d =28a 4d =25a 5d =36111⎧⎨⎩ 即a 6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】 在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解 由已知，第一个数列的通项为a n ＝3n －1；第二个数列的通项为b N =5N －3若a m ＝b N ，则有3n －1＝5N －3即＝＋ n N 213()N - 若满足n 为正整数，必须有N ＝3k ＋1(k 为非负整数)．又2≤5N －3≤197，即1≤N ≤40，所以N ＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66∴ 两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】 选择题：实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为[ ]A ．1，3，5B ．1，3，7C ．1，3，99D ．1，3，9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设＋⇒又∵ 14＝5a ＋3b ，∴ a ＝1，b ＝3∴首项为1，公差为2又＋∴＋·∴＝S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1＋(50－1)·2=99∴ a ＝1，b ＝3，c ＝99【例4】 在1和2之间插入2n 个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解 依题意2＝1＋(2n ＋2－1)d ①前半部分的和＝＋＋②后半部分的和′＝＋·＋·－③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212 由已知，有′化简，得解之，得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①，有(2n ＋1)d=1 ⑤由④，⑤，解得，d =111n =5 ∴ 共插入10个数．【例5】 在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212且S m ＝S n ，m ≠n∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n ＝0【例6】 已知等差数列{a n }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n ．分析 n S =na d a n 11等差数列前项和＋，含有两个未知数，n n () 12d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为，由公式＝＋得＋＋n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得：d ＝－2，a 1＝9∴a n ＝9＋(n －1)(n －2)＝－2n ＋11由＝－＋＞得＜，故数列的前项为正，a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负．数列{a n }的前n 项和为：S 9n (2)=n 10n n 2＝＋－－＋n n ()-12∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n当n ＞6时，T n ＝S 5＋|S n －S 5|＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n∴T n ＝2(－25＋50)－(－n 2＋10n)＝n 2－10n ＋50即－＋≤－＋＞∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|a n |｝的前n 项和．【例7】 在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一 由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34得4a 1＋38d ＝34又＝＋×S 20a d 20120192＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋ 由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17S 20＝170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180解法二 由等差数列的性质可得：a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知：a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列∴a 3＝－6，a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝ 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S T n n a b n n =+231100100，则等于 [ ]A 1B C D ．．．．23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系，可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系．a b S T n n n n 1001002312=+ 解法一 ∵，∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100＝a 1＋a 199，2b 100＝b 1＋b 199∴××选．a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++ 解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件：S n ＝an 2＋ bn∵S T n n n n =+231可设S n ＝2n 2k ，T n ＝n(3n ＋1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2＋bn ，由已知，将和写成什么？若写成，＋，S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数，就不对了．【例10】 解答下列各题：(1)已知：等差数列{a n }中a 2＝3，a 6＝－17，求a 9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{a n }中，a 4＋a 6＋a 15＋a 17＝50，求S 20；(4)已知：等差数列{a n }中，a n =33－3n ，求S n 的最大值．分析与解答(1)a =a (62)d d =562＋－＝－--1734a 9=a 6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a 1=19，a n+2=89，S n+2＝1350∵∴＋×＋S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数．211112*********23 (3)∵a 4＋a 6＋a 15＋a 17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a 4＋a 17=a 6＋a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33－3n ∴a 1＝30S=(a+a)n2n1n·×=-=-+=--+()()633232632 322123218222n nn n n∵n∈N，∴当n=10或n=11时，S n取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是等差数列．证设这个数列的第n项为a n，前n项和为S n．当n≥2时，a n＝S n－S n-1∴a n＝(4n2＋3n)－[4(n－1)2＋3(n－1)]=8n－1当n=1时，a1=S1=4＋3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有a n=8n－1又a n+1－a n＝[8(n＋1)－1]－(8n－1)＝8∴这个数列是首项为7，公差为8的等差数列．说明这里使用了“a n=S n－S n-1”这一关系．使用这一关系时，要注意，它只在n≥2时成立．因为当n＝1时，S n-1=S0，而S0是没有定义的．所以，解题时，要像上边解答一样，补上n＝1时的情况．【例12】证明：数列{a n}的前n项之和S n＝an2＋bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件．证⇒由S n＝an2＋bn，得当n≥2时，a n＝S n－S n-1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)=2na＋b－aa1＝S1＝a＋b∴对于任何n ∈N ，a n ＝2na ＋b －a且a n －a n-1=2na ＋(b －a)－2(n －1)a －b ＋a＝2a(常数)∴{a n }是等差数列．⇐若{a n }是等差数列，则S na d =d n(a d)=d 2n 11＝＋··＋－n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令，则－，即d d 22=a a =b 1 S n =an 2＋bn综上所述，S n =an 2＋bn 是{a n }成等差数列的充要条件．说明 由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为S n =an 2＋bn ＋c 的数列是等差数列的充分必要条件是c ＝0．事实上，设数列为{u n }，则：充分性＝＋是等差数列．必要性是等差数列＝＋＝． c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一 设{a n }的公差d按题意，则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =－(m ＋n)解法二 设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n)即S m+n ＝－(m ＋n)说明 a 1，d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再 解决其它问题，但本题关键在于求出了＋＝－，这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S x =Ax 2＋Bx ．(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n 之值是多少？解 ∵S 偶项－S 奇项=nd∴nd=90－75=15又由a 2n －a 1＝27，即(2n －1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5＝－＝∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一 建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二 因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩ ∵a 1＝25，S 9＝S 17∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169． 解法三 利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0∴S13=169最大．解法四根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．∵{a n}是等差数列∴可设S n＝An2＋Bn二次函数y=Ax2＋Bx的图像过原点，如图3．2－1所示∵S9＝S17，∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时，S13＝169最大。
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第四章 数列§4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2ba +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.错解：（1）a n =3n+7;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n 项之和.错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。
错解： ① 34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ② nn n n n a n 21)1()1(122=-----++=错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S 1.正解： ①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，nn n n n a n 21)1()1(122=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
错解：S 30= S 10·2d. ∴ d ＝30， ∴ S 40= S 30+d =100.错因：将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。
[例4]等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若),(27417+∈++=N n n n T S n n 求77b a ；错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.1110277417777=+⨯+⨯=∴b a 错因：误认为=n n T S nnb a 正解：79922713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴T S b b a a b a [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；错解：由a n ≥0得n ≤5∴ {}n a 前5项为非负，从第6项起为负，∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+…+｜a n ｜＝2)5)(520(--n n ∴ S n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤6,2)5)(520(5,50n n n n 错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？解：理由如下：由题设： 31010=S 122020=S 得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒641d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4[例7]已知：nn a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n ∴3402=n（2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。
（02>n S ） 证明：依题意p a a n n =++1∵p a a a a n n n =+=++121 ∴npa a n S n n =+=2)(2212 ∵0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x ∴ 0)lg (lg 2=-np x ∴n S np x 2== （获证）。
四、典型习题导练1．已知nn n S a a 2311+==-且，求n a 及n S 。
2．设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 。
3.求和: n+++++++++++3211321121114.求和： )12()34()9798()99100(22222222-+-++-+- 5.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---222,,依次成等差数列.6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）。
A ．72B ．60C ．48D ．367. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。
8.已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 成等差数列，且713,61153-=-=a a ，求8a 的值。
§4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．3.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠-⋅-=--=⋅=)1(11)1()1(111q q qa a q q a q a n S n n n二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0.2.对于公比q ，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a 1q n-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a n =a m q n-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列｛a n ｝的通项公式a n =a 1q n-1可改写为nn q qa a ⋅=1.当q>0，且q ≠1时，y=q x 是一个指数函数，而xq qa y ⋅=1是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝的图象是函数xq qa y ⋅=1的图象上的一群孤立的点.7．在解决等比数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：)1(111-=-=-=+++q aq aq aq S S a nn n n n n)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n nq a a nn =∴+1（常数） ∴{}n a 为等比数列，即B 。