非线性规划模型
最新6非线性规划模型汇总
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
建模及求解
估计r=2， g=0.1 若当前出售，利润为80×8=640（元）
t 天 生猪体重 w=80+rt 出售 出售价格 p=8-gt
销售收入 R=pw 资金投入 C=4t
注意：缺货需补足
0
T1 T
t
Q~每周期初的存贮量
每周期的生产量 R （或订货量）
RrT 2c1rc2 c3 c2 c3
RQQQ~不允许缺货时的产量(或订货量)
6.2 生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
20
t
15
S(t,
r)
Δt Δr
/ /
t r
dt dr
r t
10
60
5
S(t,r)
3
40r60
0
1.5
2
2.5
r3
生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3%。
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
非线性规划模型在管理科学中的应用研究
非线性规划模型在管理科学中的应用研究绪论管理科学是一门研究如何应用科学方法和技术来解决管理问题的学科，其中非线性规划模型作为一种重要的工具，得到了广泛的应用和研究。
本文将从理论和实践两个方面探讨非线性规划模型在管理科学中的应用研究。
一、非线性规划模型的理论基础非线性规划模型是在约束条件下，求解非线性目标函数的最优解。
它的理论基础主要包括最优性条件、解的存在性和稳定性等方面。
其中，最优性条件是非线性规划问题的核心内容之一，包括一阶和二阶条件。
一阶条件主要包括最优解的必要条件和克拉默条件。
最优解的必要条件要求目标函数在最优解处的偏导数等于零，这意味着最优解的局部均衡点满足一阶条件。
克拉默条件要求约束函数在最优解处的梯度向量线性相关，这可以帮助我们判断最优解的全局特性。
二阶条件主要包括最优解的充分条件和李普希茨条件。
最优解的充分条件要求目标函数的海森矩阵在最优解处半正定，这保证了最优解的局部最小性。
李普希茨条件要求约束函数在最优解处的雅可比矩阵满秩，这可以帮助我们判断最优解的全局稳定性。
二、非线性规划模型的应用场景非线性规划模型可以广泛应用于管理科学中的各个领域，如生产计划、供应链管理、投资组合等。
在生产计划中，我们可以利用非线性规划模型来优化产品的生产数量和生产调度，以最大化产能利用率和实现生产成本最小化。
在供应链管理中，非线性规划模型可以用于确定最佳的供应链网络结构和物流配送路线，以最大程度地降低运输成本和缩短交货时间。
在投资组合中，非线性规划模型可以用于确定最佳的资产配置比例，从而实现收益最大化和风险最小化。
三、非线性规划模型的实践应用案例以下以某公司生产计划为例，说明非线性规划模型在实践中的应用。
某公司的生产计划包括两个阶段，每个阶段有不同的生产能力和生产成本。
为了最大化利润，公司需要确定每个阶段的生产数量。
首先，我们可以建立一个非线性规划模型，将利润最大化作为目标函数，将每个阶段的生产数量作为决策变量，将约束条件包括生产能力、市场需求等考虑进去。
第6讲整数规划、非线性规划模型
一、模型准备 该问题是在原料数量一定的限制条件下，求商店生产三种口味 蛋糕各多少时，可获得最大收益． 二、模型假设 1．假设在生产过程中没有材料的浪费． 2． 假设生产的面包能全部售出， 且不考虑影响销售价格的因素． 三、变量假设 设商店生产草莓、蓝莓、柠檬三种口味的蛋糕的数量分别为
x1 , x2 , x3 ，获得的总收益为 R 元．
x=intvar(1,2); C=[240 378]; a=[1 0;0 1;1 1];b=[8 6 10]; f=C*x'; F=set(0<=x<=inf); F=F+set(a*x'<=b')+set(96*x(1)+120*x(2)>=720); solvesdp(F,f) double(f)
double(x)
整
数
规
划
最优化问题中的所有变量均为整数时，这类 问题称为整数规划问题。
如果线性规划中的所有变量均为整数时，称 这类问题为线性整数规划问题。 整数规划可分为线性整数规划和非线性整数 规划 ，以及混合整数规划等。 如果决策变量的取值只能为0或1，则这样的 规划问题称为0－1规划。
double(f)
double(x)
非线性规划
非线性规划问题的一般数学模型：
min
f ( x) h j ( x) 0, j 1, 2, , l.
s.t. gi ( x) 0, i 1, 2,, m,
其中， x E n ，
f (x) 为目标函数，
g i ( x), h j ( x) 为约束函数，这些函数中至少有
最优化模型（2）
一、一般的线性规划模型 二、整数规划模型
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
chapter 6 非线性规划
– 3. 函数的凸性的判别 – 定理6.1（一阶条件） 设R是n维欧式空间上的开凸
集，f(X)在R上具有一阶连续偏导数，则f(X)为R上 的凸函数的充分必要条件是，对于任意两个不同点 X(1)∈R和X(2)∈R，恒有
– 此外，若将上述关于凸函数定义中两个不等式中 的不等号改为“≥”和“>”，则分别称f(X)为凸集R 上的凹函数和严格凹函数。
– 2. 凸函数的性质
（1）若f(X)为凸函数，则－f(X)必为凹函数，反之亦 然；
（2）若f(X)为凸集R上的凸函数，则对于任意非负实 数α，函数αf(X)亦为凸集R上的凸函数；
chapter 6 非线性规划
chapter 6 非线性规划
概述
一、问题提出
– 生产管理中很多问题的运行过程都是以非线性形式运 行的，如生产成本往往是生产量的非线性函数，产品 的需求量是其价格的非线性函数等等。这样，我们在 建立一个决策问题的数学模型时，目标函数或者约束 条件常常会出现非线性形式。
f ( X (2) ) f ( X (1) ) f ( X (1) )T ( X (2) X (1) )
定理6.2（二阶条件） 设R是n维欧式空间上的某一 开凸集，f(X)在R上具有二阶连续偏导数，则f(X)为 R上的凸函数的充分必要条件是：f(X)的海森矩阵 H(X)在R上处处半正定。
– 6. 全局最优解——对于非线性规划min f = f(X)，gi(X) ≥ 0 （i = 1,2,…,l;），设X0∈R，对于任何X∈R均有f(X0) ≤ f(X)， 则称X0为非线性规划问题在R上的一个全局最优解。若
X0≠X时，f(X0) < f(X)严格成立，称X0为严格全局最优解。
非线性规划
非线性规划（nonlinear programming）1.非线性规划概念非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
2.非线性规划发展史公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。
其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。
在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。
例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。
这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。
以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。
这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。
最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。
反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。
最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。
(1)解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。
求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。
(2)直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。
此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。
这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。
对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。
三、非线性规划模型实例
（2）建立模型。
2 2 2 2 min f c ( 5 a ) +( 1 b ) + (2 a ) (7 b ) 目标函数 i1 i i i i i 1 i 1
6
6
约束条件： （1）每个工地水泥需求量一定：ci1 ci 2
di
（2）料厂日储水泥量一定，所以每个料厂的供给有限制：
三、非线性规划模型实例
例1 工地选址问题。 某公司的6个工地要开工，每个工地的位置与水泥用量见下表， 目前2个临时料厂位置为P(5,1)和Q(2,7)，日储量各为20t，请回答以下问题： (1)假设从料厂到工地均有直线道路相连，试制定每天应从P,Q两料厂分别向各工地 运送多少水泥，使总的吨公里数最少。 (2)为减少吨公里数，打算舍弃2个临时料厂，重建2个新料厂，日储量仍各为20t，问 新料厂应建于何处？
综合得非线性模型：
min f cij ( x j ai ) 2 ( y j bi ) 2
j 1 i 1
2
6
ci1 ci 2 di , i 1, 2, 6 6 s.t. cij e j , j 1, 2; cij 0 i 1
（3）模型求解。
00
劳动时间/h
280
250
400
60000
利润/万元
2
3
4
小型
钢材/t 劳动时间/h 利润/万元 1.5 280 2
中型
3 250 3
大型
5 400 4
现有量
600 60000
设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为 x1 , x2 , x3 , 工厂的月利润为z, 建立如下模型：
工地号 位置 用量/t 料厂 1
非线性规划模型
非线性规划模型在上一次作业中,我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点,然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解;实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题,即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数,则这样的问题称为非线性规划问题;一般来说,解决非线性的问题要比线性的问题难得多,不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法;对于线性规划来说,其可行域一般是一个凸集,只要存在最优解,则其最优解一定在可行域的边界上达到；对于非线性规划,即使是存在最优解,却是可以在可行域的任一点达到,因此,对于非线性规划模型,迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法,我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法;一、非线性规划的分类1无约束的非线性规划当问题没有约束条件时,即求多元函数的极值问题,一般模型为此类问题即为无约束的非线性规划问题无约束非线性规划的解法一般迭代法即为可行方向法;对于问题()min 0x R f X X ∈⎧⎪⎨≥⎪⎩给出)(x f 的极小点的初始值)0(X ,按某种规律计算出一系列的),2,1()( =k X k ,希望点阵}{)(k X 的极限*X 就是)(x f 的一个极小点;由一个解向量)(k X 求出另一个新的解向量)1(+k X向量是由方向和长度确定的,所以),2,1()1( =+=+k P X X k k k k λ即求解k λ和k P ,选择k λ和k P 的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小,即 检验}{)(k X 是否收敛与最优解,及对于给定的精度0>ε,是否ε≤∇+||)(||1k X f ; 一维搜索法当用迭代法求函数的极小点时,常常用到一维搜索,即沿某一已知方向求目标函数的极小点;一维搜索的方法很多,常用的有：1试探法“成功—失败”,斐波那契法,法等；2插值法抛物线插值法,三次插值法等；3微积分中的求根法切线法,二分法等;考虑一维极小化问题若)(t f 是],[b a 区间上的下单峰函数,我们介绍通过不断地缩短],[b a 的长度,来搜索得)(min t f b t a ≤≤的近似最优解的两个方法;通过缩短区间],[b a ,逐步搜索得)(min t f bt a ≤≤的最优解*t 的近似值选择一个使函数值下降速度最快的的方向;把)(x f 在)(k X 点的方向导数最小的方向作为搜索方向,即令)(k k X f P -∇=.计算步骤：1选定初始点0X 和给定的要求0>ε,0=k ；2若ε<∇||)(||k X f ,则停止计算,k X X =*,否则)()(k k X f P -∇=； 3在)(k X 处沿方向)(k P 做一维搜索得1,)1(+=+=+k k P X X k k k k 令λ,返回第二步,直到求得最优解为止.可以求得：共轭梯度法可以得到——能够证明向量——是线性无关的,且关于A 是两两共轭的;从而可得到——,则——为——的极小点;计算步骤：1对任意初始点n E X ∈)1(和向量)()1()1(X f P -∇=,取;1=k2若0)()(=∇k X f ,即得到最优解,停止计算,否则求3令1+=k k ；返回2对于问题：由,0)(=+=∇B AX X f 则由最优条件,0)(=∇X f 当A 为正定时,1-A 存在,于是有B A X 1*--=为最优解 对于一般的二阶可微函数)(X f ,在)(k X 点的局部有当)()(2k X f ∇正定时,也可用上面的牛顿法,这就是拟牛顿法;计算步骤：（1）任取n E X ∈)1(,;1=k2计算)()(k k X f g ∇=,若0=k g ,则停止计算,否则计算)()()(2k k X f X H ∇=,令k k k k g X H X X 1)1())((-+-=；3令1+=k k ；返回22有约束的非线性规划非线性规划的最优性条件若*X 是非线性问题中的极小点,且对点*X 有效约束的梯度线性无关,则必存在向量()****12,,,Tm γγγΓ=使下述条件成立： 此条件为库恩-塔克条件K-T 条件,满足K-T 条件的点也称为K-T 点;K-T 条件是非线性规划最重要的理论基础,是确定某点是否为最优解的必要条件,但不一定是充要条件;对于凸规划它一定是充要条件;非线性规划的可行方向法由于线性规划的目标函数为线性函数,可行域为凸集,因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解;非线性规划却不然,有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点,但并不一定是整个可行域上的全局最优解;假设()kX 非线性规划问题中的一个可行解,但不是最优解,为了进一步寻找最优解在它的可行下降方向中选取其中一个方向()kD ,并确定最佳步长k λ,使得 反复进行这一过程,直到得到满足精度要求为止,这种方法称为可行方向法,也称迭代法;有约束非线性规划的解法外点法1对于等式约束问题做辅助函数如果最优解*X 满足或近似满足,),,2,1(0)(*m j X h i ==则*X 就是问题的最优解或近似解2对于不等式约束问题做辅助函数求),(min 2M X P X. 3对于一般问题做辅助函数求解),(min 3M X P X内点法内点法是在可行域内进行得,并一直保持在可行域内进行搜索,只适用于不等式约束的问题辅助函数：X 趋于R 的边界时,使)(X B 趋向于正无穷,)(X B 的常用形式 求解},,2,1,0)(|{),(min 00m j X g X R r X Q j R X =>=∈二．非线性规划的缺陷不足 算法 优点 缺点梯度法 计算量小,存储变量较少,初始点要求不高 初值依赖,收敛慢,最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤,越接近极值点时,收敛熟读越慢,后期宜选用收敛快的算法 牛顿法 收敛速度很快 当维数较高时,计算的工作量很大,初值依赖,当初值选择不好时,有可能计算出现异常,导致迭代无法进行,该法需要修正拟牛顿法 收敛速度快,避免牛顿矩阵求逆运算,算法更稳定 初值依赖程度相对牛顿法减弱,但仍然存在。
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非线性规划模型在上一次作业中，我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点，然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。
实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题，即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数，则这样的问题称为非线性规划问题。
一般来说，解决非线性的问题要比线性的问题难得多，不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法。
对于线性规划来说，其可行域一般是一个凸集，只要存在最优解，则其最优解一定在可行域的边界上达到；对于非线性规划，即使是存在最优解，却是可以在可行域的任一点达到，因此，对于非线性规划模型，迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法，我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。
一、非线性规划的分类1无约束的非线性规划当问题没有约束条件时，即求多元函数的极值问题，一般模型为I r m i n f(X)X 一0此类问题即为无约束的非线性规划问题1.1无约束非线性规划的解法1.1.1 一般迭代法即为可行方向法。
对于问题J mnf(X)[X X O给出f (X)的极小点的初始值X(O),按某种规律计算出一系列的X(k)(k =1,2,…)，希望点阵｛X (k)｝的极限X "就是f (X)的一个极小点。
由一个解向量X(k)求出另一个新的解向量X(kI)向量是由方向和长度确定的，所以XZ I)=X k「k P k(k =12…)即求解A和P k,选择'k和P k的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小，即f (X0) 一f (X1) 一- f (X k) 一.检验｛X(k)｝是否收敛与最优解，及对于给定的精度；7,是否IIlf(X k JlF ；1.1.2 一维搜索法当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。
一维搜索的方法很多，常用的有：(1)试探法(“成功一失败”，斐波那契法，0.618法等)；(2)插值法(抛物线插值法，三次插值法等)；(3)微积分中的求根法(切线法，二分法等)。
考虑一维极小化问题a¾f(t)若f (t)是[a,b]区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短[a,b]的长度，来搜索得min f(t)的近似最优解的两个方法。
通过缩短区间 [a,b],逐步搜索得 a 空 m t in f (t)的最优解t *的近似值a-≤ιb2.1.3 梯度法选择一个使函数值下降速度最快的的方向。
把f(x)在X (IO点的方向导数最小的方向作为搜索方向，即令 P k——∖f (X k).计算步骤：(1) 选定初始点 X 0和给定的要求；∙0，k=0 ；(2) 若 |八 f(X k)* ;,则停止计算，X^X k,否则 P(k)=-V f(X k)；(3)在X (k)处沿方向P (I)做一维搜索得x (jI)=X k…k P k,令k = kT ,返回 第二步，直到求得最优解为止.可以求得：、_ Vf(X(I))¼ V f (X (I)) ^Vf(X (I))T.H(X (I)^V f(X (I)).2.1.4共轭梯度法又称共轭斜量法，仅适用于正定二次函数的极小值问题：1min f(X) = X TAX B TX C2A 为n n 阶实对称正定阵 X,B ∙ E n,c 为常数从任意初始点X (I)和向量P(I)= -f (X ⑴)出发，由(f (X (I))δχ所(X(I))…<f(X (I)))TCX nCX 2「济(X (I)) 商(X(I))…CF(X(I))I、 JCX 1ZVJ% EX n Cf(X (I)) 商(X (I))…Gr(X (I))cx 2^x 1- CX 2CX 2 ,≡CX 2C X n-Cf(X (I)) 伊(X (I))… GF(X (I)) CX n CX I~!CX^X 2'EXnEX nH(X (I))二If(X (I)) =(k “2 ,n -1)可以得到一一能够证明向量一一是线性无关的，且关于 A 是两两共轭的。
从而可得到则 为 的极小点。
计算步骤:(1)对任意初始点X(I)∙E n和向量P ⑴-f (X ⑴)，取k = 1;(2)若If (X (I)) =0,即得到最优解，停止计算，否则求(k =1,2,…,n -1)(3)令 k =k 1 ；返回(2)2.1.5 牛顿法对于问题：1 min f(X) X TAX B TX C2由I f(X)=AX ∙B=0,则由最优条件'f(X) =0,当A 为正定时，Ad 存在，于是有X^ -A 4B 为最优解2.1.6 拟牛顿法对于一般的二阶可微函数f (X),在X (I)点的局部有f(X) ： f(X (I)Γ If(X (I))T(X _ X (I)) ∙ 1(X _ X (I))TI 2f(X (I))(^X (I))2当√f(X Ck))正定时，也可用上面的牛顿法，这就是拟牛顿法。
X (k D =X k kP k k= min f (x (k)kP (k ))=Cf(X (k )))T p (k )(P (G )T AP (k)和 P (k I)-f (x (k I)) —P (k「kVf(X (k I)) A (P (Io )T(P (k))TAP(k)X (k 1) = X k kP k, k= min f(X (I) kP (I))=" f(X )) P (P (I))TAP(I)P (k D一屮x (k1))「k P (k)「kU(X (II))A (P (I))T(P (I))TAP(I)计算步骤：(1)任取 X(I)∙E n，k =1;(2)计算g1.八f(X(k)),若g k =0 ,则停止计算，否则计算H(X k)八2f(X(k))，令 X(k I)=X k-(H(X k))S k ；(3)令 k =k 1 ；返回(2)2有约束的非线性规划2.1非线性规划的最优性条件… * *若X是非线性问题中的极小点，且对点 X有效约束的梯度线性无关，则必存在向量r =(丫；异；川I,Y m T使下述条件成立：「mH(X h—z Y浮gj(X"=0Ag j X* =0, j =1,2V* ≥0, j =1,2^∣,mI此条件为库恩-塔克条件(K-T条件)，满足K-T条件的点也称为K-T点。
K-T条件是非线性规划最重要的理论基础，是确定某点是否为最优解的必要条件，但不一定是充要条件。
对于凸规划它一定是充要条件。
2.2非线性规划的可行方向法由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。
非线性规划却不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。
假设X k非线性规划问题中的一个可行解，但不是最优解，为了进一步寻找最优解在它的可行下降方向中选取其中一个方向 D k,并确定最佳步长,k,使得[χ(k4τ)= χ(k)十打D(k)w R,k=0,1,2,川.f X k 1： f X k反复进行这一过程，直到得到满足精度要求为止，这种方法称为可行方向法，也称迭代法。
2.3有约束非线性规划的解法2.3.1 外点法(1)对于等式约束问题p^min f (X), Jh(X)=O,i =1,2,…m,做辅助函数mR(X,M) = f (X) +M W h f(X)j4如果最优解X ”满足或近似满足h i(X*) =0 (j =d,2,…,m),则X ”就是问题的最优解或近似解(2)对于不等式约束问题做辅助函数mF2(X,M) = f(X) M' [min{0g(X)}]2j^求mjn P2(X,M ).(3)对于一般问题做辅助函数P3(X,M) = f(X) MP(X)m mP(X)=M' ∣h j2(X) I2M^ [min{0g(X)}]2j j m求解min P3 (X, M)X2.3.2 内点法内点法是在可行域内进行得，并一直保持在可行域内进行搜索，只适用于不等式约束的问题辅助函数：Q(X,r) = f(X) rB(X)X趋于R的边界时，使B(X)趋向于正无穷，B(X)的常用形式mIB(X)八一1Ug j(X)m和B(X)-'I n[g j(X)]j^求解 min Q(X,r)X巩R0 ={X Ig j(X) 0, j =1,2, ,m}•非线性规划的缺陷不足。