拉普拉斯定理_行列式乘法
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§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.
一、k 级子式 余子式 代数余子式
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
i1 , i2 ,L , ik ; j1 , j2 ,L , jk ，则在 M 的余子式 M ′ 前
( −1)i1 + i2 +L+ ik + j1 + j2 +L+ jk 后称之为 M 的代数 后称之为 加上符号
余子式， 余子式，记为 A = ( −1)
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 )行， 行 元素所组成的一切k级子式与它们的 由这 k 行元素所组成的一切 级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D．即 ． 若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 行后， 为 M 1 , M 2 ,L , M t ，它们对应的代数余子式分别为 它们对应的代数余子式分别为
M 3 = 1 4 = −1, 1 3 M 5 = 2 4 = 6, 0 3
它们的代数余子式为
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
2 1 = 2, M4 = 0 1 M 6 = 1 4 = −1 1 3
A1 = ( −1)
线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式
第三节
定义 1
拉普拉斯定理
行列式的乘法公式
在 n 阶 行 列 式 D 中 任 取 k 行 ( 第 i1 , i2 , , ik
1 k n .位于这些行和列的 行) k 列(第 j1 , j2 , , jk 列)，
交叉点上的元素按原来 相应的位置组成一个 k 阶行列式
N ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式．
0 0 0 0
0 0 a 11 a 1n b 11 b 1m
b 1m an1 ann bm1 bmm bmm
a11 a1n b11 b1m (1)mn an1 ann bm1 bmm
a11 a1n an1 ann c11 c1m
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定理 1（拉普拉斯定理） 设在行列式
D 中任意取定 D．
D 按某
k (1 k n 1) 行．由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子
式与它们相应代数余子式的乘积之和等于行列式
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D 按某 k
证明
North University of China
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例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
c d a b
d c b a
.
T 解 首先，根据行列式的性质，D D ， 其次，
a D DD
2 T
b a d c
N1
5 6 1 5
19 ， N 2
5 0 1 6
30 ， N 3
定义 1
拉普拉斯定理
行列式的乘法公式
在 n 阶 行 列 式 D 中 任 取 k 行 ( 第 i1 , i2 , , ik
1 k n .位于这些行和列的 行) k 列(第 j1 , j2 , , jk 列)，
交叉点上的元素按原来 相应的位置组成一个 k 阶行列式
N ，称为行列式 D 的一个 k 阶子式．
0 0 0 0
0 0 a 11 a 1n b 11 b 1m
b 1m an1 ann bm1 bmm bmm
a11 a1n b11 b1m (1)mn an1 ann bm1 bmm
a11 a1n an1 ann c11 c1m
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定理 1（拉普拉斯定理） 设在行列式
D 中任意取定 D．
D 按某
k (1 k n 1) 行．由这 k 行元素所组成的一切 k 阶子
式与它们相应代数余子式的乘积之和等于行列式
称对行列式 D 应用拉普拉斯定理为将行列式
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式
D 按某 k
证明
North University of China
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例 4 试计算下列行列式的平方，从而求出 D ．
a D b c d
b a d c
c d a b
d c b a
.
T 解 首先，根据行列式的性质，D D ， 其次，
a D DD
2 T
b a d c
N1
5 6 1 5
19 ， N 2
5 0 1 6
30 ， N 3
拉普拉斯定理
例1 计算5阶行列式
1 2 0 0 1 0 1 2 3 0 D 1 3 0 0 0 0 2 2 1 0 0 3 4 1 3
解: 对D的第1,3 行用Laplace定理,在第1,3 行 中不为零的二阶子式分别是
1 1 1 1 2 1 N1 1, N2 1, N3 3 2 3 1 0 3 0
它们各自对应的代数余子式是
2 3 0
1 2 3
A1 2 1 0 12, A2 2 2 1 6, A3 0 4 1 3 3 4 1
所以 D=12－6=6.
例2 计算2n阶行列式
a1 a2 an 1 D2 n bn 1 b2 b1 an bn bn an an 1 a2 a1 bn 1 b2 b1
解 对的第n,n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1 行展开）得
a1 a2 D2 n an bn bn an b2 b1
2 2 (an bn ) D2 n 2
b1 b2 an 1 bn 1 bn 1 an 1 a2 a1
利用这个递推关系式有定理拉普拉斯拉普拉斯定律拉普拉斯变换拉普拉斯定理行列式拉普拉斯展开定理拉普拉斯方程拉普拉斯算子陶哲轩拉普拉斯分布
*
拉普拉斯定理
定义1
在 n 阶行列式中，任取r 行 r 列
2
（ 1 k n}, 位于这些行列交叉处的r 个元 素按原来的次序所构成 的r阶行列式，称 为行列式 的 一个r 阶子式.在 n 阶行列式中， 划去某个r 阶子式M所在的行与列后 ,剩下的 n r 行 n r 列上的元也构成一个 n r阶子 式N。我们称这一对子式 M与N互为余子式。
设r 阶子式M是由行列式中第 i1 , i2 ,, ir 行和 第j1 , j2 ,, jr 列相交处的元也构成的 ，而且 N是M的余子式。则称带有正 或负号
§2.8拉普拉斯(Laplace)定理
从而
a ij b ij c ij ,
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j ,
i , j 1, 2 , , n .
§2.8 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx1 cx 1 dx1 bx2 ax2 dx2 cx 2 cx 3 dx3 ax3 bx3 dx4 cx 4 bx4 ax4 0 0 0 0
A 1 , A 2 , , A t , 则 D M 1 A 1 M 2 A 2 M t A t. .
§2.8 Laplace定理
注：
① k 1 时，D M 1 A1 M 2 A 2 M t A t 即为行列式 D 按某行展开；
a11 a1 k 0 a k 1 a kk 0 D b1 1 * br 1 0 a 1 1 a 1 k b1 1 b1 r 0 b1 r a k 1 a k k b r 1 b rr b rr
只有零解．其中 a , b , c , d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
证：系数行列式
a b c d b a d c D c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a
D
2
a b c d b a d c DD c d a b d c b a
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理
2.8 Laplace定理(简介)
a
k 1
n
ik kj
b
(i, j 1, 2, , n) .
cij ai1b1 j ai 2b2 j ainbnj aik bkj ，即乘积为 n 级行列式，其第 i
k 1
n
行、 j 列上元素 cij 为行列式 D1 中第 i 行元素与行列式 D2 中第 j 行对应 第 元素乘积的和. 该定理也称为行列式的乘法定理，其意义在第四章讨论.
1 0 例 1： D 0 0 2 1 0 0 1 2 2 1 4 1 中选定第 1，3 行，第 2，4 列得 2 级子式： 1 3
M
2 0
4 , 1
M 的余子式：M /
a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54
D
3. 定理 7
a11 D1 ai1 an1
a12 a1n a11 a1 j a1n a21 a2 j a2 n ai 2 ain , D2 an1 anj ann an 2 ann
c11 c1 j c1n D1 D2 C ci1 cij cin , 其中 cij cn1 cnj cnn
k级（代数）余子式的概念 Laplace定理 行列式乘法规则
拉普拉斯（749-1827）：法国数 学家，物理学家,16岁入开恩大学 学习数学，后为巴黎军事学院教授. 曾任拿破仑的内政部长,后被拿破仑 革职.也曾担任过法兰西学院院长. 写了《天体力学》（共5卷）,《关 于几率的分析理论》的不朽著作， 赢得‚法兰西的牛顿‛的美誉.拉普拉斯的成就巨大 ， 现在数学中有所谓的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、 拉普拉斯展开式等. 他正好死于牛顿死亡的第100年 ，他的最后一句话是‘我们知之甚少，不知道的却 甚多’.
§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
即 D 0，故方程组只有零解．
1 1 M2 0 , 1 1 2 4 M5 6 , 0 3 1 4 M6 1 . 1 3
它们的代数余子式为
A1 ( 1)
1 31 2
0 1 0 A ( 1)1 3 2 4 1 1 2 , , 2 1 1 0 1 1 2 5 A ( 1)1 31 2 0 1 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 0 , A ( 1)1 31 2 0 1 0 . 6 0 3 0 1
A3 ( 1) A5 ( 1)
1 3 2 3
411 3
∴ D ( 2) 1 0 ( 2) ( 1) 5 2 0 6 0 ( 1) 0 7
三、行列式乘法法则
设有两个n 级行列式 a11 a12 a1n b11 b12 a21 a22 a2 n b21 b22 D1 , D2
M .
注： ① k 级子式不是唯一的.
k k （任一 n 级行列式有 C n C n个 k 级子式）．
② k 1 时，D中每个元素都是一个1级子式；
k n 时，D本身为一个n级子式．
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
一、k 级子式与余子式、代数余子式
二、拉普拉斯(Laplace)定理
三、行列式乘法法则
一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
2 k ( k n)，位于这些行和列的交叉点上的 个元素
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级 行列 式 M ，称为 k 级子式 M 的余子式；
拉普拉斯(Laplace)定理
行运用Laplace 定理结果． 定理结果． 为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组 ：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、 一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的 位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
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a41 a42 a43 a44
选定2、3行得子式和代数余子式分别为
M1
a21 a31
a22 a32
M2
a21 a31
a23 a33
M3
a21 a31
a24 a34
A1
a13 a43
a14 a44
A2
a12 a42
a14 a44
A3
a12 a41
a13 a43
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
1 2 14
例3：计算行列式
D
0 1
1 0
2 1
1 3
0 1 31
解：选定一二行得六个子式
M1
1 1
2 0
2,
M2
1 1
1 1
0,
M3
1 1
4 3
1,
M4
2 0
1 1
2,
M5
2 0
4 3
6,
M6
1 1
4 3
D1
a21 M
a22 M
L M
a2n M
,
an1 an2 L ann
b11 b12 L b1n
D2
b21 M
b22 M
M
2 0
4 1
M的余子式和代数余子式分别为
M
0 0
2 1
A=(-1)1+3+2+4M
0 0
2 1
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例2：五阶行列式 a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25
D a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55
中
a12 a13 a15 M a22 a23 a25
a42 a43 a45
与
M
a31 a51
a34 a54
是一对互余的子式.
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
注：
① k 1 时，D M1 A1 M2 A2 L Mt At
即为行列式 D 按某行展开；
a11 L a1k 0 L 0
LL ② D ak1 L
*
L akk
LL 0L b11 L LL
L 0 b L
一、k 级子式 余子式 代数余子式 二、拉普拉斯(Laplace)定理 三、行列式乘法法则
一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
(k n)，位于这些行和列的交叉点上的 k 2个元素 按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级 行列 式 M，称为 k 级子式 M 的余子式；
a11 a12 a13 a14
D
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
M4
a22 a32
a23 a33
M5
a22 a32
a24 a34
A4
a11 a41
a14 a44
A5
a11 a41
a13 a43
M6
a23 a33
a24 a34
A6
a1k b11 L LLL akk br1 L
b1r L brr
br1 L brr
为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例 对于四阶行列式
a11 a12 a13 a14
D
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
注： ① k 级子式不是唯一的.
（任一 n 级行列式有 CnkCnk个 k 级子式）． ② k 1 时，D中每个元素都是一个1级子式；
k n 时，D本身为一个n级子式．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例1：四阶行列式
1 2 14
D
0 0
1 0
2 2
1 1
0 0 13
选定1、3行，2、4列的一个二级子式M
0 0
2 3
0
,
A6
(1)1312
0 0
1 1
0
.
∴
D (2)1 0 (2) (1) 5 2 0 6 0 (1) 0 7
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
三、行列式乘法法则
设有两个n 级行列式
a11 a12 L a1n
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k (1 k n 1 )行， 由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D．即
若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 为 M1, M2 ,L , Mt ，它们对应的代数余子式分别为 A1, A2 ,L , At , 则 D M1 A1 M2 A2 L Mt At. .
1
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
它们的代数余子式为
A1
(1)1312
0 0
1 1
0
,
A2
(1)1324
1 1
1 1
2
,
A3 (1)1323
1 1
2 3
5,
A4
( 1)1 31 2
0 0
1 1
0
,
A5
(1)4113
a11 a41
a12 a42
∴ D M1 A1 M2 A2 M3 A3 M4 A4 M5 A5 M6 A6
M6A6
a23 a33
a24 a11 a34 a41
a12 a42
a23a34 a24a33
a11a42 a12a41
a23a34a11a42 a23a34a12a41 a24a33a11a42 a24a33a12a41
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i1, i2 ,L , ik ; j1, j2 ,L , jk ，则在 M 的余子式 M 前
加上符号 (1)i1i2L ik j1 j2L jk 后称之为 M 的代数
余子式，记为 A (1)i1i2L ik j1 j2L jk M .