1.7高等代数 Laplace定理.行列式乘法法则
《高等数学教学资料》第四节.laplace变换的性质小结
目
CONTENCT
录
• Laplace变换的定义与性质 • Laplace变换的收敛域 • Laplace逆变换的性质 • Laplace变换的应用 • 总结与展望
01
Laplace变换的定义与性质
定义
80%
定义
Laplace变换是函数f(t)到F(s)的 一种积分变换，记作L[f(t)]。
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感谢聆听
定义与公式
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace变换的函数进行反演，得到原函数的表示形式。
公式
Laplace逆变换的公式为 (f(t) = frac{1}{2pi i} int_{c - iinfty}^{c + iinfty} F(s)e^{st} ds) ，其中 (F(s)) 是 Laplace变换的函数，(f(t)) 是原函数。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
100%
定义域
Laplace变换的函数f(t)需要满足 一定的条件，例如在某个区间内 单调、有界等。
80%
存在定理
对于满足一定条件的函数f(t)，其 Laplace变换存在。
线性性质
线性性质
Laplace变换具有线性性质，即对于 任意常数a和b，有 L[af(t)+bf(t)]=aL[f(t)]+bL[f(t)]。
§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.
§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
0 0 D 1 0 c11
ainr2n , i 1,2,
c1n cnn b1n bnn
, n.
0 c n1 b11 1 bn1
这里 cij ai 1b1 j ai 2b2 j
ainbnj , i , j 1,2,
, n.Βιβλιοθήκη D ( 1)1 2 n ( n1) 2 n
M .
注： ① k 级子式不是唯一的.
k k （任一 n 级行列式有 C n C n个 k 级子式）．
② k 1 时，D中每个元素都是一个1级子式；
k n 时，D本身为一个n级子式．
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
0 0 0 0
只有零解．其中 a, b, c, d 不全为0．
证：系数行列式
a b 2 D DD c d
a D b c d b a d c c d a b
b a d c d c b a a b c d
c d a b b a d c
d c b a c d a b d c b a
即 D 0，故方程组只有零解．
1 1 M2 0 , 1 1 2 4 M5 6 , 0 3 1 4 M6 1 . 1 3
它们的代数余子式为
A1 ( 1)
1 31 2
0 1 0 A ( 1)1 3 2 4 1 1 2 , , 2 1 1 0 1 1 2 5 A ( 1)1 31 2 0 1 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 0 , A ( 1)1 31 2 0 1 0 . 6 0 3 0 1
Laplace展开定理.
由此可知，D1 和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一
项都相差符号为 1 i1 ik j1 jk
…，第n列加到第n+1列，用 b12,b22, bn2 乘第1列，第2列，
第二章
行列式
…，第n列加到第n+2列，…，用 b1n ,b2n ,
…，第n列加到第2n列，则 D2n 化为
a11 a12
a1n a11b11 a12b21 a1nbn1
a21 a22
a2n a21b11 a22b21 a2nbn1
§2.8 Laplace展开定理
利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1 阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。 但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k 阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明 这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。
k 1 k n 1 行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们
的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
证明：设D中取定k行后所得的子式为M1, M 2 , , Mt , 它的
代数余子式分别为 A1, A2, , At , 下证 D M1A1 M 2 A2 M t At
—（1）
2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互为余子式。
abcd
例2.8.1 写出行列式 D g h p q 中取定第一行和
stuv
wx y z
第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。 二阶子式共有 C42 6 个。
大学线性代数Laplace展开定理和行列式计算方法小结.pdf
Laplace 展开定理二、Laplace 定理行列式按某几行或几列展开定义:12(1)k i i i +++- ()22111k kj j j i i i M +++++++'- 即，中,k n (1)≤≤个元素，按原来的顺序,余下的元素按原来的顺序,余子式.其中ki i i 12,,, kj j j 12,,, 12kj j j ++++ ，D =M '525435+24++如Da aa aa a=111221223132a a111314a a313334Laplace 定理a ab b 1212+213+34c c 34d d c c0000a a=)......k kk a a a a 1111 ...a ...rb b 111...11a...b b 11k a 1.. 01．利用行列式定义直接计算2．利用行列式的性质计算3．化为三角形行列式4．降阶法5．逆推公式法6．利用已知行列式（范德蒙行列式）7．加边法（升阶法）8．数学归纳法9. 分拆法2123n n n降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用Laplace 定理a100 00naa+.0n x x D -=D=加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
x a +na1n a D =。
行列式的Laplace展开定理
行列式的Laplace展开定理行列式的Laplace 展开定理一、行列式按一行或一列的展开我们知道，若D 为n 阶行列式，A ij 为行列式元素a ij 的代数余子式，那么对任意的i ≠j ，如下四个等式都成立。
a i 1A i 1+a i 2A i 2+L +a in A in =D ； a i 1A j 1+a i 2A j 2+L +a in A jn =0；a 1j A 1j +a 2j A 2j +L +a nj A nj =D ；a 1i A 1j +a 2i A 2j +L +a ni A nj =0。
上式称为n 阶行列式按一行（列）展开的定理。
我们问：n 阶行列式是否可以按二行（列）展开？更一般的，n 阶行列式是否可以按k 行或k 列展开？如果可以，行列式的展开式是怎样的？我们先回顾n 阶行列式中元素a ij 的余子式和代数余子式的概念。
定义1 在n 阶行列式D 中，把元素a ij 所在的第i 和第j 列划去后，剩下的n −1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记为M ij 。
称A ij =(−1) i +j M ij 为元素a ij 的代数余子式，即a 11a 21ML La 1, j −1a 2, j −1Ma 1, j +1a 2, j +1M a i −1, j +1a i +1, j +1M a n , j +1L La 1n a 2n MM ij =a i −1, 1L a i −1, j −1a i +1, 1L a i +1, j −1M Ma n 1La n , j −1L a i −1, n ； A ij =(−1) i +j M ijL a i +1, nM La n , n二、行列式的Laplace 展开定理为了将n 阶行列式按一行（列）展开的定理推广到按k 行或k 列展开，先把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义1 在n 阶行列式D 中，任取k 行，k 列（1≤k ≤n −1) ），位于这k 行、k 列交点处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式M 称为D 的一个k 阶子式。
拉普拉斯定理公式
拉普拉斯定理公式拉普拉斯定理公式是数学中一个非常重要的定理，在解决行列式相关问题时发挥着关键作用。
咱先来说说啥是拉普拉斯定理。
简单来讲，它就是关于行列式按照某行或者某列展开的一种规则。
比如说，一个 n 阶行列式，如果咱选定了某一行或者某一列，那么这个行列式的值就等于这一行或者这一列的各个元素分别乘以它们对应的代数余子式，然后把这些乘积加起来。
我记得有一次给学生们讲这个定理的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着回答他：“就像你搭积木，每一块积木都有它的位置和作用，拉普拉斯定理就是帮你找到这些积木在整个结构中的价值。
”咱再深入聊聊这个定理的公式。
假设我们有一个 n 阶行列式 D，选定了第 i 行。
那么 D 就等于第 i 行的每个元素 aij 乘以它对应的代数余子式 Aij 之和。
用公式写出来就是：D = ∑(j=1 到 n) aijAij 。
要真正理解和运用这个定理，得通过大量的练习题。
有一回，课堂上做练习，有个题目是一个四阶行列式，让用拉普拉斯定理来计算。
不少同学一开始都抓耳挠腮，不知道从哪儿下手。
我就引导他们，先选定一行或者一列，然后找出每个元素对应的代数余子式。
慢慢地，大家开始有了思路，一个个算出了答案，那股兴奋劲儿，就像解开了一个超级难的谜题。
在实际应用中，拉普拉斯定理常常能让复杂的行列式计算变得简单清晰。
比如说在求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性等问题时，它都能大显身手。
学习拉普拉斯定理公式，就像是在数学的海洋里掌握了一把神奇的钥匙，可以打开很多难题的大门。
虽然一开始可能会觉得有点难理解，但只要多练习、多思考，就能逐渐体会到它的妙处。
就像我们在生活中遇到的很多困难，一开始看起来毫无头绪，但只要找到了那个关键的“定理”，就能迎刃而解。
所以，同学们，别害怕这个定理，勇敢地去探索它，相信你们一定能在数学的世界里畅游！。
行列式laplace定理
行列式laplace定理行列式的Laplace定理是指，对于一个n阶行列式，如果我们将第i行和第j列去掉，我们可以得到一个(n-1)阶的行列式，这个行列式可以用原行列式中除掉第i行和第j列的部分来计算。
具体而言，在一个n阶行列式A中，我们可以选择第i行或第j列作为拆分的对象，假设我们选择第i行，那么我们可以将A表示为：A = \sum_{k=1}^n a_{ik}C_{ik}其中，C_{ik}表示A中除掉第i行和第k列的(n-1)阶行列式，也就是：C_{ik} =\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1,k-1} & a_{1,k+1} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,k-1} & a_{i-1,k+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,k-1} & a_{i+1,k+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \cdots & a_{n,k-1} & a_{n,k+1} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}然后，我们可以使用余子式来求解C_{ik}，即：C_{ik} = (-1)^{i+k}M_{ik}其中，M_{ik}表示A中第i行第k列元素的余子式。
将C_{ik}带入原式，可以得到：A = \sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{i+k}M_{ik}这个式子就是Laplace定理的一种形式。
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a 2 b2 c 2 d 2 0 0 0 2 2 2 2 0 a b c d 0 0 0 0 a 2 b2 c 2 d 2 0 2 2 2 2 0 0 0 a b c d
(a 2 b2 c 2 d 2 )4 .
2 2 2 2 4 a , b , c , d 由 不全为0，有 (a b c d ) 0 ，
M .
注： ① k 级子式不是唯一的.
k k （任一 n 级行列式有 C n C n个 k 级子式）．
② k 1 时，d 中每个元素都是一个1级子式；
k n 时，d 本身为一个n级子式．
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 d 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式d 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
∴ d ( 2) 1 0 ( 2) ( 1) 5 2 0 6 0 ( 1) 0 7.
三、行列式乘法法则
设有两个n 级行列式 a11 a12 a1n b11 b12 a21 a22 a2 n b21 b22 d1 , d2
b1n b2n bnn
即 D 0，故方程组只有零解．
若 k 级子式 M 在 d 中所在的行、列指标分别是
i1 , i2 ,
, ik ; j1 , j2 ,
, jk ，则在 M 的余子式 M 前
后称之为 M 的代数
加上符号 ( 1)
i1 i2 ik j1 j2 jk
余子式，记为 A ( 1)i1 i2
ik j1 j2 jk
M t At
② d
ak 1 *
为行列式 d 取定前 k 行运用Laplace 定理的结果．
1 0 例1 计算行列式 d 1 0
1 2 2, M 解： 1 1 0 M 3 1 4 1, 1 3 M 5 2 4 6, 0 3
1 2 1 3 M2 1 1
2 1 0 1
作一个2n级的行列式
a11 a n1 d 1 a1n 0 ann 0 b11 1 bn1 0 0 , b1n bnn
由拉普拉斯定理
d
a11 a n1
a1n b11 ann bn1
b1n bnn
aij bij .
又对d 作初等行变换：
ri ai 1rn1 ai 2rn 2
A1 , A2 ,
, At , 则 d M1 A1 M 2 A2
注：
① k 1 时， d M1 A1 M 2 A2 即为行列式 d 按某行展开；
a11 a1k 0 akk 0 b11 br 1 0 0 b1r a k1 brr a11 a1k b11 akk br 1 b1r brr
可得
0 0 d 1 0 c11 0 c n1 b11 1 bn1
ainr2 n , i 1,2,
c1n cnn , b1n bnn
, n,
这里 cij ai 1b1 j ai 2b2 j
ainbnj , i , j 1,2,
, n.
d ( 1)1 2
,
a n1 a n 2
则 d1d 2
ann c1n c2 n ,
bn1 bn 2
c11 c12 c21 c22
c n1 c n 2 cnn n 其中 cij ai 1b1 j ai 2b2 j ainbnj aik bkj ,
i , j 1,2, , n.
k 1
证
4 1. 3 1 1 0, 1
2 1 M4 2, 0 1 M 6 1 4 1. 1 3
它们的代数余子式为
A1 ( 1)
1 31 2
2 1 1 A ( 1) 3 1
A3 ( 1)1 31 4 1 2 5 , A4 ( 1)1 3 2 3 0 1 0 , 1 3 0 1 A5 ( 1)1 3 2 4 0 2 0 , A6 ( 1)1 3 3 4 0 1 0 . 0 3 0 1
§7 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
一、k 级子式 余子式 代数余子式
二、拉普拉斯(Laplace)定理 三、行列式乘法法则
一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 d 中任意选定 k 行 k 列
2 k ( k n)，位于这些行和列的交叉点上的 个元素
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 d 的一个 k 级子式；在 d 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级 行列 式 M ，称为 k 级子式 M 的余子式；
n ( n1) 2 n
cij ( 1)n cij ,
从而
aij bij cij ,
cij ai 1b1 j ai 2b2 j
ainbnj , i , j 1,2,
, n.
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx2 cx3 dx4 0, bx1 ax2 dx3 cx4 0, cx dx ax bx 0, 1 2 3 4 dx 1 cx2 bx3 ax4 0
Laplace 定理
设在行列式 d 中任意取 k ( 1 k n 1 )行， 由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 d, 即 若 d 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 为 M1 , M 2 ,
, M t ，它们对应的代数余子式分别为 M t At .
只有零解，其中 a, b, c, d 不全为0．
证 系数行列式
a b 2 D DD' c d
a D b c d b a d c c d a b
b a d c d c b a
c d a b a b c d
d c . b a c d a b d c b a
b a d c