行列式展开定理
§3 行列式的展开定理
§1 行列式的定义 §2 行列式的性质与计算 §3 行列式展开定理、克拉默法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0
§3 行列式的展开定理
( xn xn1 )
( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( xn x1 )( xn x2 ) ( xn xn1 )
§3 行列式的展开定理
先证明3阶范德蒙行列式
111
D3 x1 x2 x3
( xi x j )
x12 x22 x32 1 ji3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
ai1 , n ai1 ,n
an1
an, j1 an , j1
ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
行列式按行列展开定理
行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式展开定理
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a13 a14ຫໍສະໝຸດ M32= a21 a23 a24
a41 a43 a44
A32=(-1)3+2M32 =-M32
下页
一、余子式与代数余子式
定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,
= (3n-1 + 3n-2 + + 32 + 3) + 2
3 3n-1 - 1
3n + 1
=
+2=
2
2
下页
例5. 证明范得蒙（Vandermonde）行列式
1 1 1 1
a1 a12 Dn = a1n-3
a2 a22 a2n-3
a3 a32 a3n-3
an an2 = (ai - a j ) ann-3 1 j i n
下页
1 2 34
例2．计算行列式 D = 1 0 1 2 3 -1 -1 0 1 2 0 -5
解： 将某行(列)化为一个非零元后展开
1 2 34 D= 1 0 1 2
3 -1 -1 0 1 2 0 -5
r1 + 2r3 r4 + 2r3
7 0 14 1 0 12 3 -1 -1 0 7 0 -2 -5
余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.
令Aij=(-1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
再如，求4阶行列式中a13的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
行列式按行列展开定理讲解学习
行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它是计算行列式的一个有效方法。
行列式是一个与矩阵相关的数值，它对于矩阵的性质和变换具有重要的作用。
行列式展开定理的全称为“按某一行（列）展开”，它是通过一系列代数运算将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的方法。
设A是一个n阶矩阵，其行列式用det(A)表示。
行列式展开定理可以按任意一行或一列展开，我以按行展开为例。
设A的第i行的元素为a[i1]、a[i2]、……、a[in]，则根据行列式展开定理，行列式的展开可以表示为如下形式：det(A) = a[i1]∙A[i1] + a[i2]∙A[i2] + … +a[in]∙A[in]其中A[i]表示经过去掉第i行和第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
我们可以继续展开每个A[i]，直到展开到2阶行列式或者1阶行列式为止。
对于2阶行列式，计算公式为：det(B) = b11∙b22 - b12∙b21其中B是2阶矩阵，b11、b12、b21、b22为矩阵B的元素。
对于1阶行列式，计算公式为：det(C) = c11其中C是一个1阶矩阵，c11为矩阵C的元素。
通过不断展开每个子矩阵，并根据2阶和1阶行列式的计算公式，我们最终可以将n阶行列式的计算转化为一系列的代数计算，从而得到行列式的具体数值。
行列式展开定理的应用非常广泛，例如在解线性方程组、求逆矩阵、计算行列式的值等方面都有重要的作用。
它不仅可以帮助我们更深入地理解矩阵的性质，还能够为我们提供一种高效的计算方法。
总之，行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它通过一系列代数运算将n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的值，具有广泛的应用价值。
行列式的展开定理
行列式的展开定理
行列式的展开定理是指给定一个n阶行列式A，n≥1，对A进行展开，则A等于其各行中任取一项，乘上对于这一项的代数余子式，按行号排列
的和。
展开定理的主要思想是求解行列式，可以将原本n阶行列式简化为二
阶行列式，逐渐简化，最后变为一阶行列式，其值即为最终求出的行列式值。
展开定理的乘积分配律为：对于一个n阶行列式A，其中的任一一行
乘以一个常数c，那么这个行列式的值就相应乘以一个常数c。
展开定理的符号表示方法为：记A为行/列式，aij表示A的第（i，
j）项。
通常情况下，行列式展开定理表示为：
A=a11|A11|+a12|A12|+…+ain|Ain|，其中|Aij|表示行列式A的第i
行第j列的余子式。
经常使用的展开定理有两种：一类是Sarrus定理，一类是Laplace
定理。
Sarrus定理：3阶行列式可以按照a11,a12,a21,a22,a31,a32的顺序
展开，即A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-
a11a23a32。
Laplace定理：n阶行列式可以按照每行或每列任取一项，乘以这一
项的代数余子式，按行号或列号排列求和。
行列式计算法则
行列式计算法则行列式是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵和向量运算中起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论行列式的计算法则，包括展开定理、性质和应用。
1. 展开定理行列式的展开定理是计算行列式的重要方法之一。
对于一个n 阶行列式A，可以通过展开定理将其转化为n-1阶行列式的和的形式。
展开定理的具体形式如下：\[|A| = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}\]其中，\(a_{ij}\)表示矩阵A的第i行第j列的元素，\(M_{ij}\)表示剩余元素构成的n-1阶行列式，\(i\)和\(j\)分别表示所选取的行和列。
通过展开定理，可以将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式的和的形式，从而简化行列式的计算过程。
2. 性质行列式具有许多重要的性质，这些性质对于行列式的计算和应用都具有重要的意义。
其中一些重要的性质包括：- 交换性质：行列式中交换两行（列）的位置，行列式的值相反。
- 线性性质：如果行列式的某一行（列）可以表示为两个向量的线性组合，那么该行列式可以表示为两个行列式的和。
- 数乘性质：如果行列式的某一行（列）所有元素都乘以一个数k，那么行列式的值也乘以k。
这些性质为行列式的计算提供了重要的理论基础，同时也为行列式的应用提供了便利。
3. 应用行列式在线性代数和相关领域中有着广泛的应用。
其中一些重要的应用包括：- 线性方程组的求解：通过行列式的方法可以求解线性方程组的解，特别是对于n阶线性方程组，行列式的方法是一种重要的求解手段。
- 矩阵的求逆：矩阵的逆可以通过行列式的方法求解，行列式为0的矩阵没有逆矩阵，而非零行列式的矩阵存在逆矩阵。
- 线性变换的性质：行列式可以用来判断线性变换是否保持了面积或体积的性质，从而对线性变换的性质进行分析。
通过行列式的计算和应用，我们可以更好地理解线性代数中的重要概念，同时也可以解决实际问题中的相关计算和分析。
总结行列式是线性代数中的重要概念，它通过展开定理、性质和应用为线性代数和相关领域的计算和分析提供了重要的方法和工具。
1.4行列式展开定理
余子式和代数余子式的定义 按行（列）展开定理 范德蒙德行列式
1.4 行列式按行(列)展开
一、余子式，代数余子式
由于三阶、二阶行列式可直接算出，因而计算行列式中 一个常用方法就是把高阶行列式归化为低阶行列式。 a11 a12 a1n 例如 M11 ?
在n阶行列式 D
a21 an1
(-1)1+n (a1 an )(a2 an ) (an1 an )
n j i 1
(a j ai ).
n 1 j i 1
(a j ai ).
例 计算行列式
1 D
1
1
1
1 1 1 1 1 3 9 27 1 2 4 8
解
D是4阶范德蒙德行列式的转置， 1 1 1 1 D(1, 1, 3, 2) ( 1 1)(3 1)( 2 1) 1 1 3 2 (3 1)( 2 1) D 1 1 9 4 ( 2 3) 240 1 1 27 8
解:
M 23 3 2 1 5
15 2 13,
2 3
A23 (1)
M 23 13
练习1：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
D
2 4 1 1
3 4 1 2 -3 1
1
4 0
R2－4R1
0 1
4 1 0 -2
1 1
1
＝ (-1)
(－1)2+1
21
别丢了代数余 -1 0 0 － 子式的符号 -3 1 0
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路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
如何继续？
一、余子式和代数余子式
1.aij的余子式：在
中划去元素aij 所在的第i
行和第 j 列元素，得到的n-1阶行列式。记作：Mij
2.元素aij的代数余子式： Aij＝(－1)i+jMij
例如，在
中，
M32＝
A23 =(-1)2+3M23=
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有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行(
列)化到只剩一非零元时降阶处理.
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引例（续）
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例3 计算行列式
[分析]
首列元素全是1,第一行乘以(－1)加到下面各行只能使下面元素变 为0,其它元素却没有规律，不可取。 利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其下行的(－1) 倍,按首列展开后再使用该手法
两式相减得
A41+A42+A43+A44＝D=6
思考： 其它解法
A41+A42+A43+A44
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三、拉普拉斯定理＊
1.几个概念 (1) k 阶子式：任选k行k列 k阶行列式，记作 M .
(aij是行列式的一阶子式) (2) k 阶子式的余子式：划去k阶子式所在的k行k列
行列式展开定理
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月11日星期六
1.3 行列式展开定理
• 余子式、代数余子式 • 行列式按行（列）展开定理 • Laplace 定理＊
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
复习
例1.计算
解:
D
?
！
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
(化上三角形法)
－
＝57
引例
计算下列行列式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
解：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
= (－1)n+1x n-2
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例4 计算4阶范德蒙 (Vandermonde)行列式
[分析]
相邻两行元素较接近! 末行始, 后一行加上其前行的(－ x1) 倍, a11下面元素都变为0,按首列展开，按首列展开后提取各列公 因子得3阶范德蒙行列式。再从末行始, 后一行加上其前行的(－ x2)倍， … …
＝ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
证毕
例1.计算行列式
解法1：化上三角形法 解法2：降阶法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
D
= (-1)1+1
= (-1)3+1
路漫漫其修远兮)2+2
=5×(-1)2+3
= 10 利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
解：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
= (x2－x1)(x3－x1)(x4－x1)(x3－x2)(x4－x2)(x4－x3)
连乘积记号
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
可以证明n 阶“范德蒙行列式”
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
3.推论行: 列式某一行(列)的各元素与另一行 (列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
理解：
ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0 (i≠s)
第s行
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＝0
第s行
对于行列式的列，类似地有：
a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0 (j≠t)
综合定理及推论得 “代数余子式的 重要性质 ” :
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行
列
例5 设
，计算A41+A42+A43+A44.
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
思考:如何求 A41+A42+A43?
例7 设
，计算 A41+A42+A43+A44
解: a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44＝0 a41A41+a42A42+a43A43+a44 A44＝D A41+A42+2A43+3 A44＝0 2A41+2A42+3A43+4 A44＝D
解: a21A31+a22A32+a23A33+a24 A34+ a25A35＝0 a41A31+a42A32+a43A33+a44 A34+ a45A35＝0
2(A31+A32+A33 ) +( A34+A35 ) ＝0 (A31+A32+A33 )+2( A34+A35 ) ＝0
A31+A32+A33=0 A34+A35 =0
二、行列式按某行(列)展开定理
ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
行
a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
列
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ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
思路:
先证特殊情形再证一般情形；一般情形的证明通过转 化为特殊情形完成.
证：①先证
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②次证
思路： i 行逐一向下交换经 n－i 次至末行
化归为情形① j 列逐一向右交换经 n－j 次至末列
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
由①
＝(－1)i＋j aij Mnn ＝(－1)i＋j aij Mij
＝aijAij
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③最后
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
由②
n－k阶行列式，记M (3) k 阶子式的代数余子式:
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2. 拉普拉斯定理
行列式D中任意选定k行(1≤k≤n),这k行元素组成
的所有k 阶子式(共 积之和等于D.
个)与各自的代数余子式的乘
即：
D＝M1 A1＋M2 A2＋…＋Mt At (
)
注1:拉普拉斯定理是将行列式按某k行(列)展开 注2:行列式按行(列)展开是拉普拉斯定理 k=1的情形
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例8 用拉普拉斯定理计算行列式 解：
＝1×(－3)＋(－15)(－1)(－4)＋(－9)(－8) ＝9
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例9 计算行列式
解： 法一 按三、四、五行展开
= ﹣1080
法二 按第五列展开后再按第一列展开
分析: A41+A42+A43+A44
=a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44
=0
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巧用第3行的四个 1
例6 设
，求(1) A31+A32+A33 (2) A34+A35
[分析]注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定理
的推论,将A31+A32+A33与A34+A35分别看成整体，列方程组求解.