四阶行列式的一种展开法1
四阶行列式的直接计算方法
四阶行列式的直接计算方法四阶行列式的直接计算方法是通过按照公式进行计算来求解。
一个四阶行列式可以表示为一个 4x4 的方阵，其中包含了四个行和四个列。
根据行列式的定义，我们可以将一个四阶行列式表示为如下形式的算式：[begin{vmatrix}a &b &c & de &f &g & hi & j & k & lm & n & o & pend{vmatrix}]其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l、m、n、o、p 表示四阶行列式中的元素。
为了计算这个四阶行列式的值，我们可以使用展开定理。
展开定理可以将一个 n 阶行列式的计算问题转化为求解 n-1 阶行列式的计算问题，以此类推，直到转化为求解 2 阶行列式的计算问题。
对于四阶行列式的计算，我们可以选择按照第一行展开或者按照第一列展开。
假设我们选择按照第一行展开，展开定理可以写为：[begin{vmatrix}a &b &c & de &f &g & hi & j & k & lm & n & o & pend{vmatrix}= a cdot begin{vmatrix}f &g & hj & k & ln & o & pend{vmatrix}- b cdot begin{vmatrix}e & g & hi & k & lm & o & pend{vmatrix}+ c cdot begin{vmatrix}e &f & hi & j & lm & n & pend{vmatrix}- d cdot begin{vmatrix}e &f & gi & j & km & n & oend{vmatrix}]其中，每个小行列式都是三阶行列式，可以通过类似的方法继续展开计算。
四阶行列式的三种计算方法
四阶行列式的三种计算方法
三阶行列式性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。
性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面
利用对角线法则。
在已给的行列式的右边添加已给行列式的第一列和第二列，把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线成为次对角线。
这时候行列式的值就等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。
利用对角线法则进行计算时，将实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素乘积冠名负号，利用余子式。
将矩阵划去第i行和第j列所产生的的n-1阶行列式叫做矩阵a的元素aij的余子式，记为mij。
然后利用改写余子式的方法，将行列式的第二行和第三行也同样改写展开，最后按照+-+-+-的规律给每一项添加符号即可。
提出了一种计算三阶行列式的新方法,把三阶行列式的计算转化为两阶行列式的计算,并且与行列式按行(列)展开有很大的区别.1预备知识通过文献我们知道三阶矩阵的行列式的基本算法.现在我们看一看如何计算一个三阶矩阵的行列式。
四阶行列式的一种展开法1解读
四阶行列式的一种展开法正文四阶行列式的一种展开法笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。
四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。
具体方法如下：四阶行列式：a11D4a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)：a11a12a21a31a41a42a13a43a14 44a11a12224142a13a23a33（图表一）作乘积关系，可得如下八项：a11a22a33a44,a12a23a34a41,a13a24a31a42,a14a21a32a43,a41a32a23a14,a42a33a24a 11,a43a34a21a12,a44a31a22a13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。
a11a12a21a31a41a42aa43（图表二）a44a11a12224142a13a23a3343同前理可得如下八项：a11a23a34a42,a13a24a32a41,a14a22a31a43,a12a21a33a44,a41a33a24a12,a43a34a22a 11,a14a32a21a13,a42a31a23a14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三：a21a313241a42a43a1444a11a12224142a13a23a33 1四阶行列式的一种展开法正文（图表三）同前理可得如下八项：a11a24a32a43,a14a22a33a41,a12a23a31a44,a13a21a34a42,a41a34a22a13,a44a32a23a 11,a42a33a21a14,a43a31a24a12, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
四阶行列式的计算方法
四阶行列式的计算方法四阶行列式计算方法是初中数学中的重要知识点，是日后高中数学和大学数学中涉及到矩阵、线性代数等内容的基础。
本文介绍四阶行列式的计算方法，包括定义、展开、初等变换等内容。
一、定义行列式是一个方阵所具有的一个标量。
四阶行列式的定义如下：$$D=\\left|\\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\\\\\end{array}\\right|$$其中，$a_{ij}$ 表示 $i$ 行 $j$ 列的元素。
二、展开四阶行列式可以通过展开计算得出，下面介绍两种常见的展开方法。
1. 第一行展开法第一行展开法是将行列式按照第一行展开，得到如下式子：$$D=a_{11}\\left|\\begin{array}{ccc}a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\\a_{42} & a_{43} & a_{44} \\\\\\end{array}\\right|-a_{12}\\left|\\begin{array}{ccc}a_{21} & a_{23} & a_{24} \\\\a_{31} & a_{33} & a_{34} \\\\a_{41} & a_{43} & a_{44} \\\\\\end{array}\\right|+a_{13}\\left|\\begin{array}{ccc}a_{21} & a_{22} & a_{24} \\\\a_{31} & a_{32} & a_{34} \\\\a_{41} & a_{42} & a_{44} \\\\\\end{array}\\right|-a_{14}\\left|\\begin{array}{ccc}a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\\a_{41} & a_{42} & a_{43} \\\\\\end{array}\\right|$$其中，每个小行列式都是三阶行列式，可以利用第一行展开法进行递归计算，直至计算出所有小行列式的值，再带入到式子中求解。
降阶法四阶行列式计算公式
降阶法四阶行列式计算公式在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它可以用来描述矩阵的性质和特征。
在实际应用中，我们经常需要计算行列式的值，而四阶行列式是其中比较常见的一种。
在本文中，我们将介绍降阶法四阶行列式的计算公式，以及如何应用这个公式进行计算。
首先，让我们来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，可以通过递归的方式来定义。
对于二阶行列式来说，它的计算公式非常简单，|A| = a11a22 a12a21，其中a11、a12、a21和a22分别代表矩阵A的元素。
但是对于更高阶的行列式来说，计算就会变得更加复杂。
在这种情况下，我们可以使用降阶法来简化计算过程。
降阶法是一种通过将行列式中的某一行或某一列展开成元素和余子式的和，从而将高阶行列式降阶为低阶行列式的方法。
对于四阶行列式来说，我们可以使用这种方法将其降阶为二阶行列式，然后再利用二阶行列式的计算公式来求解。
下面，我们将介绍四阶行列式的降阶法计算公式。
假设我们有一个四阶方阵A，其元素记作aij，其中i和j分别代表行和列的索引。
那么，A的行列式可以表示为：|A| = a11a22a33a44 + a11a23a34a42 + a11a24a32a43。
a12a21a34a43 a12a23a31a44 a12a24a33a41。
+ a13a21a34a42 + a13a22a31a44 + a13a24a32a41。
a14a21a33a42 a14a22a31a43 a14a23a32a41。
通过上面的公式，我们可以看到，四阶行列式的计算需要考虑矩阵A的所有元素的排列组合，以及它们的正负号。
这使得直接计算四阶行列式变得非常复杂，因此我们可以使用降阶法来简化计算过程。
下面，我们将介绍如何利用降阶法来计算四阶行列式。
首先，我们可以选择矩阵A的某一行或某一列进行展开。
假设我们选择展开第一行，那么我们可以将四阶行列式展开为三个三阶行列式的和。
四阶行列式的计算方法
四阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和方程组的求解中有着广泛的应用。
在行列式的计算中，四阶行列式是比较常见的一种，接下来我们将介绍四阶行列式的计算方法。
首先，我们来看一个四阶行列式的一般形式：$$。
\begin{vmatrix}。
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\。
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\。
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\。
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\。
\end{vmatrix}。
$$。
其中，$a_{ij}$表示第i行第j列的元素。
要计算这个四阶行列式，我们可以利用展开定理或者其他方法来进行计算。
一种常用的计算方法是利用代数余子式进行展开。
我们可以选择第一行或者第一列进行展开，然后利用代数余子式来逐步简化计算。
以第一行展开为例，展开的公式为：$$。
\begin{vmatrix}。
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\。
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\。
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\。
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\。
\end{vmatrix} = a_{11}A_{11} a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} a_{14}A_{14}。
$$。
其中，$A_{ij}$表示元素$a_{ij}$的代数余子式。
代数余子式的计算方法是将元素$a_{ij}$所在的行和列划去，然后计算剩下元素构成的子行列式，并乘以$(-1)^{i+j}$。
求4阶行列式计算方法
求4阶行列式计算方法四阶行列式是一个由四行四列的矩阵展开得到的行列式。
计算四阶行列式的方法有很多种，下面我将介绍最常用的三种方法。
一、代数余子式法：代数余子式法是一种利用代数余子式进行展开的方法。
首先，选择第一行或第一列展开计算，可以简化运算。
以下以第一行展开为例进行说明。
1.对于一个四阶行列式A，我们选择第一行的第一个元素a11，计算其代数余子式A11，即划掉第一行和第一列后剩下的三阶行列式。
2.接着，计算第一行的第一个元素与其对应的代数余子式的乘积a11A11，即a11*A113.重复这个过程，对第一行的所有元素都进行相同的操作，并且每个乘积都要带上符号，根据元素的位置决定正负号。
最后，将所有计算得到的乘积相加，得到最终的行列式的值。
代数余子式法的计算过程相对繁琐，但适用于任意阶的行列式，适合理论推导和计算机实现。
二、二次交换法：二次交换法是一种通过交换行或列，将行列式转化为更简单的形式，进而计算行列式的方法。
以下以二次交换法计算四阶行列式为例进行说明。
1.首先，我们选择第一行和第一列的元素非零的项，记为a11、然后，将其余元素与a11对应的元素交换，得到一个新的四阶行列式B。
2.计算B的值，可以使用代数余子式法、三阶行列式的计算方法等。
3.由于交换了两次，所以最后结果要带上负号，即四阶行列式A的值为-B。
三、拉普拉斯展开定理：拉普拉斯展开定理是一种根据行列式的性质，将行列式展开为一系列代数乘积的方法。
以下以拉普拉斯展开定理计算四阶行列式为例进行说明。
1.选择第i行（或第i列）展开计算。
例如，我们选择第一行展开，则第一行元素a11,a12,a13,a14对应的代数余子式分别记为A11,A12,A13,A142.计算第一行元素与其对应的代数余子式的乘积，并带上正负号：a11A11-a12A12+a13A13-a14A143.重复这个过程，将所有计算得到的乘积相加，得到最终的行列式的值。
需要注意的是，在计算过程中，每个乘积的符号是根据元素的位置决定的。
四阶行列式的展开法则
四阶行列式的展开法则行列式是数学中一种重要概念，它主要用来计算多个变量之间关系的结果。
在行列式的各种应用中，讨论四阶行列式的展开法则是必不可少的。
简而言之，四阶行列式的展开法则是一种行列式的展开计算方法，它是由一些规则和公式组成的，可以用来帮助计算四阶行列式的值。
这种展开方法可以用来计算多种具有四阶行列式的问题。
四阶行列式的展开法则可以用若干步骤来描述：（1）先，把四阶行列式写成一个矩阵，其中包含4行4列，每行每列上有一个变量。
（2）着，根据展开法则，可以把这个矩阵展开成4个四阶行列式，每个行列式的每一项均由矩阵的每行每列的变量组成。
（3）后，对于每个展开行列式，都可以用某种展开计算方法（如乘积展开、分数展开等）来计算出其值。
结合以上步骤，我们完整地描述了四阶行列式的展开法则。
同时，为了更好地理解展开法则，我们还可以把它的原理用数学形式表述出来：首先，把四阶行列式写成一个矩阵，其中包含4行4列，每行每列上有一个变量，矩阵表达式为A，其中aij为矩阵A的第i行第j列的元素；然后，使用展开法则，可以把四阶行列式展开成四个行列式，它们之和等于原四阶行列式，即：A=(-1)^n *（a11 * det(A11) + a21 *det(A21) + a31 *det(A31) + a41 *det(A41)）其中，Aij是指矩阵A的第i行移除第j列后所得到的3阶行列式；det(Aij)表示3阶行列式Aij的代数余子式；n表示行列式A的阶数。
最后，对于每个展开行列式，也可以使用一般的行列式展开计算方法（如乘积展开）来计算出其值。
本文介绍的四阶行列式的展开法则，可以有效解决多种有关四阶行列式的问题，也可以有效地应用于不同的数学计算中。
它的关注点主要集中在如何迅速准确地计算出四阶行列式的值，从而帮助我们更好地理解和掌握解决各种数学问题的方法和原理。
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四阶行列式的一种展开法
笔者通过学习与使用行列式的运算，从中悟出四阶行列式的一种展开法，此法只适宜对四阶行列式展开而言。
四阶行列式的计算，通常是在讲授了行列式的性质后，采取降阶的方法进行计算，难免计算的繁杂，有时，按以下介绍的方法，仍能达到快而准的效果。
具体方法如下：
四阶行列式：
44
43
42
413433323124
23222114131211
4a a a a a a a a a a a a a a a a D
第一次将该行列式前三列重复书写在该行列式的右边，可在前四列中作出两条对角线，然后在此七列中作出相应的平行线，可得(图表一)：
（图表一）
作乘积关系，可得如下八项：
a 11a 22a 33a 44,a 12a 23a 34a 41,a 13a 24a 31a 42,a 14a 21a 32a 43,a 41a 32a 23a 14,a 42a 33a 24a 11,a 43a 34a 21a 12,a 44a 31a 22a 13, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号是正负相间的。
（图表二）
同前理可得如下八项：
a 11a 23a 34a 42,a 13a 24a 32a 41,a 14a 22a 31a 43,a 12a 21a 33a 44,a 41a 33a 24a 12,a 43a 34a 22a 11,a 14a 32a 21a 13,a 42a 31a 23a 14, 这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
第三次先将图表二中的第2、3、4列作一个轮换，即第2列变到第4列上去，第3列变到第2列上去，第4列变到第3列上去，这样可得到一个新的四列关系，尔后参照第一次的作法，可得图表三：
43
42
4144
43
42
413332
31
343332
312322212423222113121114131211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 43
42
4144
43
42
413332
31
343332
31
2322212423222113121114131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 42
4144
43
42
413332
31
343332
31
2322212423222113121114131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
（图表三）
同前理可得如下八项：
a11a24a32a43,a14a22a33a41,a12a23a31a44,a13a21a34a42,a41a34a22a13,a44a32a23a11,a42a33a21a14,a43a31a24a12,
这八项的符号可由它们的下标排列的逆序数确定，不难知道，此八项的符号仍是正负相间的。
综合三次变形，其符号确定方法，可得四阶行列式的及展开如下：
D4=a11a22a33a44-a12a23a34a41+a13a24a31a42-a14a21a32a43+a41a32a23a14-a42a33a24a11
+a43a34a21a12-a44a31a22a13+a11a23a34a42-a13a24a32a41+a14a22a31a43-a12a21a33a44
+a41a33a24a12-a43a34a22a11+a14a32a21a13-a42a31a23a14+a11a24a32a43-a14a22a33a41
+a12a23a31a44-a13a21a34a42+a41a34a22a13-a44a32a23a11+a42a33a21a14-a43a31a24a12四阶行列式的展开式共有24项，全如上面所述结论式。
下面将从三个方面进行证明。
证明：
一、前述展开四阶行列式的结论中的每一项，均由四阶行列式中的元素组成，而且四个元素取自不同的排列。
由于每次排列的各列中，相邻4列始终没有相同的列，所以，组成每项的元素绝对不会相同。
即满足行列式的展开项的特征。
二、由所作出的对角线关系可知，在每一次所得的乘积中，每一个元素只能有两条线经过，所以，一个元素只能在两个乘积中出现，共作三次图表。
所以只能得六项含有该元素，在n阶行列式中，当首选某一个元素为某一展开项中的元素时，其余元素的选择只能从余下的n-1阶子式中去选择n-1个元素组成该项，方法有(n-1)!种。
对于四阶行列式而言，且有(4-1)!=6种，所以该展开法符合上述原则。
三、按上述三次所作的展开项中，每一项的行标的排列应为1234或4321，此二排列的逆序数为0和6，均为偶数，所以每一项的符号全由列标排列的逆序数确定，第一次所得的第一项的列标为1234，其逆序数为零，所以，该项前应冠以正号。
而第二项恰为将1234作一次向前的轮换而得的2341，由于是4个元素参与轮换，相当于作3次置换，逆序数发生改变，并由前偶数变为现今的奇数，所以，第二项前应冠以负号。
第三项又是对第二项的列标作一轮换而得到的列标，因此，就在该项前冠以正号，依此类推，前八项的符号为+,-,+,-,+,-,+,-,由于第二次与第二次所作的图表是在前一次的基础之上将234列作一轮换，而3个元素作一轮换相当于向前置换两次，逆序数的奇偶特性未发生改变，所以它们所得八项的符号仍与第一次一样为正负相间的。
因此，展开式的第一项为正，第二项为负，第三项为正，第四项为负，依此下去，各项符号是正负相间的。
下面举例说明。
例1：计算四阶行列式：
111101*********D4=
解：D 4=-1+1-1+1-1+1-1-1-1=-3 例2：计算四阶行列式：
4
565534527537367D4=
展开图表如下：
（例题2图表一）
（例题2图表二）
（例题2图表三）
解: D 4=7∙6∙3∙4-6∙7∙5∙5+3∙2∙5∙6-7∙3∙4∙5+5∙4∙7∙7-6∙3∙2∙7 +5∙5∙3∙6-4∙5∙5∙3+7∙7∙5∙6-3∙2∙4∙5+7∙5∙5∙5-6∙3∙3∙4 +5∙3∙2∙6-5∙5∙5∙7+4∙4∙3∙3-6∙5∙7∙7+7∙2∙4∙5-7∙5∙3∙5
+6∙7∙5∙4-3∙3∙5∙6+5∙5∙5∙3-4∙4∙7∙7+6∙3∙3∙7-5∙5∙2∙6 =420-1056+180-420+980-252+450-300+1470-120+875-216+180-875+144 -1470+280-525+840-270+375-784+378-300 =-10
例3：计算四阶行列式：
5654565
34553457532753367
73674
5
56
4
5
5
5354535273527373767376
455645455345552375236773677
3
52
3
5
8
9457433452D4------=
展开图表如下：
（例题3图表一）
（例题3图表二）
（例题3图表三）
解： D 4=2∙(-4)∙8∙3-(-5)∙7∙5∙(-3)+4∙5∙4∙2-3∙3∙(-9)∙(-5)+(-3)∙(-9)∙7∙5 -2∙8∙5∙2+(-5)∙5∙3∙(-5)-3∙4∙(-4)∙4+2∙7∙5∙2-4∙5∙(-9)∙(-3) +3∙(-4)∙4∙(-5)-(-5)∙3∙8∙3+(-3)∙8∙5∙(-5)-(-5)∙5∙(-4)∙2+3∙(-9)3∙4 -2∙4∙7∙3+2∙5∙(-9)∙5-3∙(-4)∙8∙(-3)+(-5)∙7∙4∙3-4∙3∙5∙2
+(-3)∙5∙(-4)∙4-3∙(-9)∙7∙2+2∙8∙3∙3-5∙4∙5∙(-5)
=-192-525+160-405+567-160+375+192+140-540+240+360+600-200-324 -168-430-288-420-120+240+378+144+500 =4
通过以上三例说明，该展开式简单易学，在未学习行列式性质之前，也能计算四阶行列式并加以应用。
此法容易记忆，很快地掌握四阶行列式的计算方法。
今作此文，方便计算四阶行列式时，减少繁杂的运算，提高运算速度。
但是五阶以上的行列式不能用此法，因为元素多，排列种数（全排列）增大，不可能用此简便的方法，将所给元素进行全排列。
2009年8月于水城
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