三阶行列式展开
3 行列式行列式的按行(列)展开
则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作
业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)
行列式按行(列)展开-线性代数
矩阵求逆
通过行列式按行(列)展开，可以计算矩阵的 逆矩阵。
矩阵求行列式
行列式按行(列)展开是计算矩阵行列式的基 本方法之一。
在特征值与特征向量中的应用
1 2
特征值求解
行列式按行(列)展开可以用于求解矩阵的特征值。
特征向量求解
通过行列式按行(列)展开，可以求解矩阵的特征 向量。
3
判断特征值的个数
通过行列式不为0的条件，可以判断特征值的个 数。
替换元素
将选定列中的其他元素替换为零。
03
02
提取因子
将选定列中的元素按照对应行提取 出来，作为新的因子。
计算行列式
根据二阶行列式的计算方法，计算 得到新的行列式。
04
计算实例
假设有一个三阶行列式|A|，其元素如下
| a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 |
计算实例
01
| a31 a32 a33 |
$|a_{21} quad a_{22}|$
行列式的定义
三阶行列式：由三个元素 $a_{11}$，$a_{12}$， $a_{13}$和$a_{21}$， $a_{22}$，$a_{23}$以及 $a_{31}$，$a_{32}$， $a_{33}$构成的二阶行列式， 记作
$|a_{11} quad a_{12} quad a_{13}|$
03
2023
PART 03
行列式按列展开
REPORTING
定义与性质
定义
行列式按列展开是将行列式中的元素 按照某一列的对应行进行展开，得到 一个与原行列式等价的二阶行列式。
性质
行列式按列展开后，其值不变，即 |A|=|A|'，其中A为原行列式，A'为按列 展开后的行列式。
行列式的完全展开式公式
行列式的完全展开式公式行列式是线性代数中的一个重要概念，它的完全展开式公式看起来可能有点复杂，但咱们一步步来，肯定能搞明白。
先来说说啥是行列式。
简单来讲，行列式就是一个由数字排列成的方形阵列所确定的一个数值。
就像一个神秘的密码组合，只有解开它，才能得到背后隐藏的信息。
行列式的完全展开式公式呢，其实就是解开这个密码的钥匙。
对于一个 n 阶行列式，它的完全展开式可以写为：\[\begin{align*}\vert A \vert&=\sum_{\sigma\inS_n}sign(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}\\ \end{align*}\]这里的符号看起来有点吓人，但别慌！咱们慢慢解释。
先来说说这个 \(S_n\) ，它表示的是 1 到 n 的全排列的集合。
而\(sign(\sigma)\) 则是排列 \( \sigma \) 的符号，这个符号的计算也有一套规则。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。
有个学生，咱们就叫他小李吧，他一开始看到这个公式，眼睛瞪得大大的，一脸的迷茫和无助。
我就跟他说：“别害怕，咱们一步步来。
”我先给他举了个二阶行列式的例子：\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\]然后让他自己试着算一算，小李皱着眉头，拿起笔，认真地算了起来。
一开始还出错了，但经过几次尝试，终于算对了，那高兴的样子，就像解开了一道超级难题。
咱们再回到 n 阶行列式的完全展开式公式。
要计算这个公式，就得把所有的排列\( \sigma \) 都考虑进去，然后根据符号计算每一项的值，最后加起来。
这听起来是不是有点繁琐？但这就是数学的严谨之处呀！为了更好地理解，咱们再看一个三阶行列式的例子：\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\]它的完全展开式就是：\[\begin{align*}&a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}\end{align*}\]计算过程中可一定要仔细，不能马虎，一个数字错了，结果就全错啦。
高二数学三阶行列式2
三阶行列式
教学内容【知识结构】 1、三阶行列式 ①对角线方式展开②按某一行(或列)展开法333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a+13a 32312221a a a a记 322211a a M =3323a a ，111111)1(M A +-=；312112a a M =3323a a ， =12A 1221)1(M +-；312113a a M =3222a a ， 133113)1(M A +-= 。
称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。
则三阶行列式就可以写成D =333231232221131211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++,2、用三阶行列式求三角形的面积：若ABC ∆三个顶点坐标分别为),(11y x 、),(22y x 、),(33y x ，则11223311121ABCx y S x y x y ∆= A 、B 、C 三点共线的充分必要条件为1122331101x y x y x y =【例题精讲】例1．方程131321111=x的解=x ____6_______.例2．方程020014211111=--x x的解为_________________．21=x ，5log 22=x例3. 关于x 的多项式xxxxx 22111---中含23,x x 项的系数分别是 -2和4 例4.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）21141183---； （2）a b cb c a c a b（3）222111a b c a b c ； （4）xy x y y x y x x yxy+++解：(1) -4 (2) 3333c b a abc --- (3) (a-b)(b-c)(c-a) (4) 3322y x --例5.设=-+----=31211142,410132213A A A D 则 0例6.按要求展开行列式：302213231D -=-； （1）按对角线展开；（2）按第一行展开；（3）按第一列展开；解：-40例7. 计算下列行列式：(1)2130;154-- (2)0011052112---;解：注意：这种三角型行列式的值等于其对角线上元素的乘积。
第26讲 二阶行列式与三阶行列式(讲义 练习)(解析版)
第26讲 二阶行列式与三阶行列式知识点概要1.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法： 设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项） 用加减消元法解方程组（*）:当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a21b b 表示算式1221b a b a -，即21a a21b b 1221b a b a -=．从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。
记=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则：①当=D 21a a21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x. ②当D =0时，0x y D D ==方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0≠x D 或0≠y D ，方程组（*）无解。
系数行列式1122a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。
2.三阶行列式（1）三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开：②按某一行(或列)展开法：333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a +13a 32312221a a a a记322211a a M =3323a a ，111111)1(M A +-=，312112a a M =3323a a ，=12A 1221)1(M +-，312113a a M =3222a a ，133113)1(M A +-=称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j .则三阶行列式就可以写成D =333231232221131211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++.这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。
第一章 行列式 S3 行列式按行(列)展开
得
aaiijj
0
0
0
0
a1, j
a11
a1, j1
a1, j1
a1n
D (1)i1(1) j1 ai1, j ai1, j
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
anj
an1
a a n, j1
n, j1
aij (1)(i j)2 Mij aij (1)i j Mij aij Aij
11
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
17
假设（1）对于 n 1阶范德蒙行列式成立，
对(1)式，由下而上依次从每一行减去上一行的x1倍，得
定理2 n(n≥2)阶行列式的任一行（列）元与另一行（列）对应 元的代数余子式乘积之和为零。即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 或
a1 j A1t a2 j A2t
n
ain Akn ais Aks 0, (i k, i,k 1, 2, ,n) s1
n
anj Ant asj Ast 0, ( j t, j,t 1, 2, ,n) s1
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
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9.4（2）三阶行列式按一行(或一列)展开一、教学内容分析三阶行列式按一行(或一列)展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法．本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行(或一列)展开法则．二、教学目标设计⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．三、教学重点及难点三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定． 四、教学过程设计一、情景引入【实验探究1】(1)将下列行列式按对角线展开：2233b c b c =_______________2233a b a b =_______________2233a c a c =_______________1133b c b c =_______________1122b c b c =_______________111222333a b c a b c a b c =_______________ (2)对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？[说明](1)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三阶行列式111222333a b c a b c a b c 与相应的二阶行列式间的关系．(2)将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能不唯一，可以有111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+等等．二、学习新课１．知识解析在刚才的实验中，将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成了含有三个二阶行列式运算的式子，主要有：111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+ 111221111222123333322333a b c bc b c b c a b c a a a b c a c b c a b c =-+111221111222123333322333a b c ac a c ac a b c b b b a c a c a c a b c =-+-等等．请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？事实上，以111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+为例，先将展开式111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---变形为：111222123132312213231321333()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =-+-+-，然后分别提取公因式，可以得到111222123321322312332333()()()a b c a b c a b c b c b a c a c c a b a b a b c =-+-+- 再利用实验中已有的展开式22233233b c b c b c b c -= ① 22233233a c a c a c a c -=② 22233233a b a b a b a b -=③从而很容易就得到结果了．其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素1a ，1b ，1c 的余子式．．．，添上相应的符号(正号省略)，如22133b c A b c =22133a c B a c =-22133a b C a b =，1A 、1B 、1C 分别叫做元素1a ，1b ，1c 的代数余子式．．．．．．于是三阶行列式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：111222222222111333333333a b c bc a c a b a b c a b c b c a c a b a b c ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定．为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验探究２．【实验探究2】请学生结合刚才确定1a ，1b ，1c 的余子式和代数余子式的方法，完成下表，并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法．【工作1】【工作2】总结代数余子式的确定方法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿[说明](1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结．(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i行，第j列)有关，其代数余子式的正负号是“(1)i j+-”．一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符２．例题解析例题1.按要求计算行列式：302213231-- (1)按第一行展开； (2)按第一列展开．[说明](1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)；(2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便．例题2.计算：(1)111b c a c a b a b c ef df ded ef-+- (2)222222222333333b c a c a b a b c b c a c a b -+〖参考答案〗(1)0 (2)0[说明](1)设计这样一组例题主要有两个目的：一，考查学生的逆向思维能力；二，为后续知识的学习做准备；(2)由例题2(2)计算结果，我们可以发现：如果将三阶行列式的某一行(或一列)的元素与另一行(或一列)的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；如果一个二阶行列式或(三阶行列式)有两行(或两列)相同，那么这个行列式等于零．３．问题拓展思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则，为什么这节课还要学习按一行(或按一列)展开呢？你觉得这有什么意义吗？一个三阶行列式按一行(或按一列)展开后就转化为二阶行列式的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常用的方法．只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行列式(哪怕是n阶行列式)最后都可以转化为二阶行列式的运算．三、巩固练习教材第99页，练习9.4（2）．四、课堂小结(1)余子式、代数余子式的概念；(2)三阶行列式按一行(或一列)展开方法．五、作业布置根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减．五、教学设计说明本节课的教学内容是三阶行列式按一行(或一列)展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法．单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要．我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法．。