【精选】三阶行列式与代数余子式的关系课件
行列式及其性质PPT课件
上三角形行列式
逐次按第一列展开
a11 a12 a13 a14 a22 a23 a24 a33 a34 a44
a11a22a33a44
上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积
第14页/共32页
例 计算行列式的值
1 2 30 0 0 10 3 0 01 0 1 0 2
按第一列展开
0 10
2 30
1 0 30 2 0 10 3 0 01 0 1 0 2
0 10
200
1 (1)11 0 0 1 3 (1)13 3 0 1
1 0 2
0 1 2
1 3 2 5
第10页/共32页
下三角形行列式
逐次按第一行展开
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a11A11 a12 A12 a13 A13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
1 4 3
按第二行展开 1 (1)21 18 4 4 3
1(18)(3) (4)4 70
第27页/共32页
解答 1、（2）
原式
r2 2r3 1 0 2 0 1 0 13 0
0 2 5 3
3110
102
按第四列展开
3 (1)34 1 0 13 311
2、将代数式还原成 行列式，得
三阶行列式的余子式和代数余子式求法
三阶行列式的余子式和代数余子式求法在学习数学的过程中，三阶行列式就像那种神秘的调料，放进去之后，菜肴的风味瞬间提升。
不知道你有没有这种感觉，行列式看起来挺复杂的，但实际上就像一块拼图，只要把各个部分组合好，嘿，竟然就能找到答案。
今天咱们就来聊聊三阶行列式的余子式和代数余子式。
这个话题一听就觉得很严肃，但咱们轻松点，慢慢聊，没事儿，咱们不急。
余子式是个什么东西呢？想象一下，你在餐厅点了一道菜，菜上来了，你发现其中有一样东西不喜欢。
你想把那样东西去掉，但这道菜的其他部分依然要保留。
余子式就是这样一个小家伙。
简单来说，三阶行列式的余子式，就是在行列式中去掉某一行和某一列之后，剩下的部分的行列式。
就好比说，你把那个不喜欢的菜去掉，剩下的那些美味的食材，经过处理之后，再给它们算一算，看看还剩多少美味。
再说说代数余子式。
这个东西比余子式多了个“代数”二字，看起来有点复杂，但其实就是在余子式的基础上，加了点小花样。
代数余子式的概念有点像调味品的使用，虽然是同一种材料，但用法不同，味道也就不同。
代数余子式的计算是在余子式的基础上，还要考虑行列式的符号问题。
你可以把它想成是加了辣椒油的饺子，虽然饺子是饺子，但加了油之后，嘿，味道就是不一样。
它的计算公式是根据位置来决定的，行列式的元素位置决定了符号，偶数位置是加，奇数位置是减，简单明了。
现在，我们来看看三阶行列式的余子式和代数余子式怎么计算。
咱们先来个三阶行列式的简单例子，设有一个行列式 A，如下所示：A = begin{vmatrixa_{11 & a_{12 & a_{13 。
a_{21 & a_{22 & a_{23 。
a_{31 & a_{32 & a_{33。
end{vmatrix好，现在如果我们想要找第一行第一列的余子式，咱们就要把第一行和第一列去掉。
剩下的就是这个部分：M_{11 = begin{vmatrix。
线性代数PPT行列式
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
线性代数二阶三阶行列式PPT讲稿
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 a A i2 j2 a A in jn 0, i j .
四、行列式的计算
1、将行列式化成三角行列式计算 例１ 计算行列式
1 5 3 3 2 0 1 1 D 3 1 1 2 5 1 3 4
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
利用行列式的上述性质，往往可以使 行列式的计算简化，但我们知道阶数越低 的行列式越容易计算。比如二阶行列式比 三阶行列式要容易计算得多。因此，我们 自然地提出，能否把行列式转化为一些阶 数较低的行列式来计算？为此先给出余子 式和代数余子式的概念。
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
列式不变．
a11 a1i a1 j a1n
例如
a21 a2i k a2 j a2 j
an1 ani anj anj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ri
krj
a21
(a2i ka2 j )
解
1 5 3 3
1 5 3 3
2 D
3
0 1 1 0 r2 2r1 10 5 5
数学：9.4《三阶行列式》课件
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33
a11 a12 b1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a22 b2 . a x a x a x b ; a31 a32 b3 31 1 32 2 33 3 3
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1
三阶行列式
三阶行列式
定义
设有9个数排成 3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
若记
或
b1 b2 b 1
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 b1 D1 b2 b3 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
第三章 行列式 第四节 子式和代数余子式 行列式的依行依列展开课件
n 1
但 1 x a1 x a1 ,所以
n x a1 x
n
an .
例6 计算行列式
1 a1 Dn a12 1 a2 2 a2 1 an 2 an
作业
P88-89
3，4，5
an1 an 2
an1 an 2
an1 an 2
在这n个行列式的每一个中，除了第i行外，其余 的行都与D的相应行相同. 因此，每一行列式的 第i行的元素的代数余子式与D的第i行的对应元 素的代数余子式相同. 这样，由定理3.4.1，
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1,2,, n)
a 21 a31 a 41
中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于 这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式
a 21 a 24 M . a31 a34
定义2
n (n>1)阶行列式
a11 D ai1 an1 a1 j aij anj a1n ain ann
的某一元素 a ij 的余子式 M ij 指的是在D中划去 a ij 所在行和列后所余下的n－1阶子式. 例2 例1的四阶行列式的元素 a 23 的余子式是
D1 ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn , ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0. 因而
例4 计算四阶行列式 3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3 在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由 第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四 列上，得：
三阶行列式PPT教学课件
三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
二、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a12 a13
4 6 32 4 8 24 14.
11 1 例3 求解方程 2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6,
由 x2 5x 0 解得 x 2 或 x 3.
例4 解线性方程组
2xx112xx22
x3 3x3
济发达和新兴的工业区。
东亚的经济差异
差异
东 日本,韩国,台湾和 部 香港地区及我国的 沿 东部沿海为经济发 海 达和新兴工业区
原因
气候温暖,平原较广,耕地也多, 人口稠密,有发展农业的悠久历 史。沿海地带又有优良港口,发 展工农业、交通、科学技术和 对外贸易的条件优越
西 畜牧业和畜产品加
部 工业在经济中点重 内 要地位,矿产资源 陆 也在开发利用之中
三阶行列式代数余子式
三阶行列式代数余子式行列式，哎呀，听起来是不是有点高深？别担心，今天咱们聊聊三阶行列式和代数余子式，保证让你听了不想打瞌睡。
你知道吗？三阶行列式就像一个调皮的小孩子，虽然不大，但它的玩法可多了。
先来个简单的介绍。
三阶行列式就是一个三行三列的方阵，想象一下，这个方阵就像是一个小广场，广场上有三个摊位，分别卖着不同的东西。
行列式的值就像这个广场的热闹程度，越热闹，值就越大。
说到代数余子式，这个名字听起来是不是有点唬人？其实啊，它的意思很简单。
代数余子式就是在某一行某一列去掉之后，剩下的行列式。
就像你去逛一个朋友的派对，结果发现那个朋友没在了，你只能看看其他人玩得怎么样。
去掉一个元素之后，剩下的部分依然有趣。
这玩意儿怎么计算呢？简单得很，先把你要去掉的那一行和那一列删掉，然后算剩下的行列式。
其实就像拿掉一个蘑菇，看看剩下的比萨到底好不好吃。
现在来点实际的例子，让我们动手实践一下。
假设你有一个三阶行列式，里面的元素都是一些数字，比如说，1、2、3、4、5、6、7、8、9。
咱们可以把它写成这样：begin{vmatrix1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix好吧，这个行列式看起来可能有点复杂，但没关系，咱们一步一步来。
我们可以用一种叫做“展开”的方法来计算。
你可以选择任何一行或者一列，咱们就挑第一行来试试。
那第一行的每一个元素，乘上它的代数余子式，然后再加起来。
这就像你在市场上买菜，首先得选个摊位，然后再看每样菜的价格。
选了第一行，咱们开始计算。
第一个元素1的代数余子式，就是去掉第一行和第一列，剩下的行列式。
也就是：begin{vmatrix5 & 68 & 9end{vmatrix计算这个小行列式，你就会发现它的值是 (5 times 9 6 times 8)，也就是45减去48，结果是3。
接下来是2，计算它的代数余子式：begin{vmatrix4 & 67 & 9end{vmatrix这个计算下来就是 (4 times 9 6 times 7)，结果是36减去42，结果是6。
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称其为方程组(1.1.1)
的系数行列式 注1:从以上易见,行列式 D1恰好是将系数行 列式 D 中的两个 x1 的系数分别换为常数项后得 到的行列式,而D2 恰好是将系数行列式 D 中的两 个 x2 的系数分别换成常数项后所得到的行列式 .
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
4
例1解方程组
2 x 3 y 1 4x 5 y 6
a b c d
(1.1.2)
为了便于表示上式,我们引入记号
规定:
a c b ad bc d
,
(1.1.3)
并称其为二阶行列式.且在这样的记号中,横向排 的称为行,纵向排的称为列,从左上角到右下角的 线称为主对角线 . 每一个数均称为一个元素 . 如 (1.1.3) 中有四个元素 , 排为两行两列 , 分别称为 第一行、第二行和第一列、第二列 , 而主对角线 上有两个元素.(1.1.3)式称为二阶行列式的定义 式.
2. 行列式与代数余子式的关系 (1). 二阶行列式与代数余子式的关系
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21
a11 (1)11 M11 a12 (1)12 M12
a11 A11 a12 A12
同理可推出
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21 a21 A21 a22 A22 a11 A11 a21 A21 a12 A12 a22 A22
称其为三阶行列式.同二阶一样,横向排的称为行, 纵向排的称为列,每个数均称为元素,左上角到右 下角的线称为主对角线. 仿照前面,利用三阶行列式的概念 ,记方程组 (8.1.6)的系数行列式为 D ,然后将 D 中的第一、 b3 后便得到 二、三列元素分别换为常数项 b1 、b2 、 D2 和 D3 , 于是方程组 (8.1.6) 的解可表 行列式 D1 、 示为 : D1 D2 D3
0 1 D1 1 4 2 3
1
2 0
1
2 1 0 2 3 1 21 4
5 13, D2 3 1 5 47, D3 3 2 1 4 2 1
于是,该方程组的解为
x1 13 , 28 x2 47 , 28 x3 21 28
7
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
x1 D , x2 D , x3 D
6
线 性 代 数 部 分
第八章
行列式
例2 解方程组
2 x1 x 2 x 3 0 3 x1 2 x 2 5 x 3 1 x 3x 2x 4 2 3 1
解
2 1 D 3 1 2 3
系数行列式
1 5 8 5 9 2 6 30 28 0 2
第九章
矩
阵
§ 8.1 行列式的定义 § 9.1 矩阵的概念 §9.1 矩阵的概念
§ 9.2行列式的性质 矩阵的运算 § 8.2 § 9.2 矩阵的运算 § 9.3 矩阵的逆 § 9.3 矩阵的逆 §8.3 行列式的计算 § 9.4 矩阵的秩 §9.4 矩阵的秩
§8.4 克莱姆法则
第八章 线 性 代 数 部 分 行列式
n 二、阶行列式定义
1.余子式与代数余子式 在一个行列式中,称去掉某个元素 aij所在的行 和列后剩下的比原来低了一阶的行列式称为元素 aij i j M 1 M ij 称为元素 aij 的 的余子式,记作 ij ,而 i j A A 1 M ij 代数余子式,记作 ij ,即 ij
(1.1.1)
它可以通过加减消元法求解得
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
2
b1a22 b2a12 x 1 a11a22 a12a21 b a ba x2 2 11 1 12 a11a22 a12a21
(当a11a22 a12a21 0时)
1 3 2 7 4 6 0
如在行列式
5 8
中
21
元素5的代数余子式为 A21 1
M 21 M 21
3 4 28 7 0
元素-4的代数余子式为 A13 1
线 性 代 数 部 分 第八章
1 3
5 2 M13 M13 51 8 7
8
行列式
1
§8.1
行列式的定义
本节首先由二元与三元一次线性方程组 引出二阶及三阶行列式的概念,在此基础上给 出一般 n 阶行列式定义. 一、二阶与三阶行列式 1.二阶行列式 在初等数学中,大家都学过二元一次线性方 程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
解 又
易见系数行列式
2 3 D 10 12 22 0 4 5 1 3 2 1 D1 5 18 13, D2 12 4 16 6 5 4 6
13 16 8
于是其解为 x1 22 , x2 22 11 2.三阶行列式 对于三元一次线性方程组
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
3
1 3 例如 4 2 1 (2) 3 4 14
于是(1.1.2)式便可以表示为:
b1 a12 b2 a22 x1 , x2 a11 a12 a21 a22 a11 a12 a a a a 0 其中 11 22 12 21 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
线 性 代 数 部 分 第八章 行列式
51 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a21a32 a13 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11 a31 a32 a33 (8.1.7)