三阶行列式
三阶矩阵的行列式
三阶矩阵的行列式一、下面介绍三阶行列式概念. 设已知9个数排成正方形表111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则数112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为对应于这个表的三阶行列式，用记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示，因此111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---．（5）关于三阶行列式的元素、行、列等概念，与二阶行列式的相应概念类似，不再重复.●例12124312351122(4)32321(4)5213235-=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯ 302241220610=+--+-=．利用交换律和结合律，可把（5）式改写如下：111213212223112233233212213323311321322231313233()()()a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =---+-． 把上式右端3个括号中的式子表示为二阶行列式，则有111213222321232122212223111213323331333132313233a a a aa a a a aa a a a a a a a a a a a a a a =-+．上式称为三阶行列式按第一行的展开式.●例2 将例2中的行列式按第一行展开并计算它的值. 解21231414343122352523235---=-+212(22)2(18)24223610=⨯--+⨯-=+-=．二、三阶方程组的行列式 设三阶方程组的系数矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则只用第三类初等变换的高斯消元法求得其上三角矩阵如下：()()11121311221221112313211111223312233113213213223112213311233211221221a a a 0a a -a a /a a -a a /a 00(a a a +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a )/a a -a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦U要求三个对角元素的连乘积不为零。
三阶行列式
表示成含有几个二阶行列式运算的式子 吗？
.
3、余子式与代数余子式
a1 b1 c1
a2 b2 c2 a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2
a3 b3 c3 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2,
a1 b2c3 b3c2 b1 a3c2 a2c3
一般地，把三阶行列式中某个元素所在 的行和列划去，将剩下的元素按原来的 位置关系组成的二阶行列式叫该元素的 余子式.
把余子式添上相应的符号（正号省略） 叫做该元素的代数余子式.
A1
b2 b3
c2 c3
B1
.
a2 a3
c2 c3
代数余子式符号的确定：
一个元素 aij 的代数余子式的符号:
由下标i+j的奇偶性决定:如果i+j为偶数, 那么代数余子式取正号;如果i+j为奇数, 那么代数余子式取负号;
1 3
3
32 1 0 2
3 2 2
1
2
1 3
.
.
3 4 1 4 1 3
例3:试将 2 5
5 22
3 22
5
2 53 1 3 4 写成三阶行列式的形式是 2 5 2 __________.来自例3.计算:a2
b2 b3
c2 c3
b2
a2 a3
c2 c3
c2
a2 a3
.
a b c 注意: 红线上三元素的
1
1
1 乘积冠以正号，蓝线上
a b c 三元素的乘积冠以负号．
2
2
2
a3 b3 c3
a1b2c3a2b3c1a3b1c2
三阶行列式与矩阵迹
三阶行列式与矩阵迹在线性代数中，三阶行列式与矩阵迹是两个重要的概念。
它们在矩阵运算和矩阵性质研究中具有重要作用。
下面我们将详细介绍三阶行列式与矩阵迹的计算方法及其应用。
一、简介三阶行列式与矩阵迹的概念1.三阶行列式：一个三阶行列式是由一个三阶方阵的元素按照一定规则组成的。
它表示的是这个三阶方阵所描述的线性变换对任意一组输入的输出结果。
三阶行列式的定义为：$$|A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$2.矩阵迹：矩阵迹是一个矩阵所有元素的和的奇数倍，即矩阵迹等于矩阵的主对角线元素之和乘以奇数。
对于一个三阶矩阵A，其矩阵迹表示为：$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$二、计算三阶行列式的方法1.递推法：通过递推的方式计算三阶行列式，首先计算二阶行列式，然后将结果与第三个元素相乘，最后将所有结果相加。
2.拉普拉斯展开式：根据行列式的定义，可以将三阶行列式表示为三个二阶行列式的乘积减去中间元素的乘积。
通过拉普拉斯展开式，可以快速计算三阶行列式。
三、矩阵迹的计算方法1.直接计算法：直接将矩阵的主对角线元素相加，再乘以奇数。
2.高斯消元法：通过高斯消元法计算矩阵的秩，然后将秩乘以矩阵主对角线元素之和得到矩阵迹。
四、三阶行列式与矩阵迹的关系1.对于一个三阶方阵A，其行列式与矩阵迹有如下关系：$$|A| = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} + a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{23}a_{31}$$2.矩阵迹是行列式的一条对角线元素之和，即：$$trace(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$五、举例说明三阶行列式和矩阵迹的计算与应用1.计算三阶行列式：$$|A| = begin{vmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{vmatrix} = 1times5times9 + 2times6times7 - 3times4times8 = 37$$2.计算矩阵迹：$$trace(A) = 1 + 5 + 9 = 15$$3.应用：在机器学习领域，矩阵迹常用于计算代价函数的梯度。
三阶行列式向量
三阶行列式向量一、什么是行列式向量在线性代数中，矩阵是一个有限个数的数按一定规律排列成的矩形阵列。
在矩阵的基础上，行列式向量是一种重要的概念。
它是通过将数按一定规则排列形成的一种新的数学结构。
行列式向量不仅可以用于解线性方程组，还在计算机科学、统计学等领域有着广泛的应用。
二、三阶行列式向量的定义三阶行列式向量是由3x3矩阵中元素按一定规则排列形成的。
具体而言，三阶行列式向量由三行三列的矩阵形成，如下所示：[a b c d e f g ℎi] 其中，a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 是矩阵中的元素。
三阶行列式向量可用记法表示为：∣∣∣∣∣∣a b c d e f g ℎi ∣∣∣∣∣∣ 三、计算三阶行列式向量的方法计算三阶行列式向量的方法有多种，其中常用的方法是按代数余子式和拉普拉斯展开定理进行计算。
下面将分别介绍这两种计算方法。
3.1 按代数余子式计算按代数余子式计算三阶行列式向量的方法主要包括以下几个步骤：1. 将原始矩阵按第一行展开，得到：a ∣∣∣e f ℎi ∣∣∣−b ∣∣∣d f g i ∣∣∣+c ∣∣∣de g ℎ∣∣∣2. 计算各个代数余子式的值，其中代数余子式的计算方法为：(−1)i+j M ij，其中M ij表示将第i 行第j 列的元素划去后所形成的2x2矩阵的行列式向量。
3. 将步骤1中的各个代数余子式的值带入，计算得出最终的行列式向量的值。
3.2 拉普拉斯展开定理计算拉普拉斯展开定理是计算行列式向量的常用方法之一，其步骤如下：1. 选择矩阵中的任意一行或一列，假设选择第一行。
2. 以选择的行或列为基准，将行列式向量展开成若干个二阶行列式向量。
3. 计算每个二阶行列式向量的值，并根据相应的符号将它们加和得到最终的行列式向量的值。
3.3 计算示例假设有以下的三阶行列式向量：∣∣∣∣∣∣123456789∣∣∣∣∣∣ 按代数余子式的方法，展开计算如下：1∣∣∣5689∣∣∣−2∣∣∣4679∣∣∣+3∣∣∣4578∣∣∣ 计算代数余子式的值：1(5×9−6×8)−2(4×9−6×7)+3(4×8−5×7)计算得出最终的行列式向量的值。
三阶行列式的计算
三阶行列式称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。
目录1 基本概念2 计算方法1 基本概念2 计算方法1 基本概念对于三元线性方程组，如上图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。
记称上式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。
2 计算方法标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。
这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的三个对角线上的数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。
例如a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3结果为a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1(注意对角线就容易记住了）这里一共是六项相加减，整理下可以这么记：a1(b2·c3-b3·c2) + a2(b3·c1-b1·c3) + a3(b1·c2-b2·c1)此时可以记住为：a1*a1的代数余子式+a2*a2的代数余子式+a3*+a3的代数余子式某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。
行列式的每一项要求：不同行不同列的数字相乘如选了a1则与其相乘的数只能在2，3行2，3列中找，（即在b2 b3 中找）c2 c3而a1(b2·c3-b3·c2)+a2(b1·c3-b3·c1)+a3(b1·c2-b2·c1)是用了行列式展开运算：即行列式等于它每行的每一个数乘以它的代数余子式之和某个数的代数余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式。
三阶矩阵行列式计算公式
三阶矩阵行列式计算公式
三阶矩阵行列式计算公式：
1、矩阵行列式：当一个矩阵中元素按行（列）排列时，这个矩阵的行（列）式就是由这个矩阵中各元素的多元一次积组成的式子。
2、三阶矩阵行列式计算公式：
当一个矩阵的阶数为3时，其行列式的计算公式为：
△=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32 -
（a13·a22·a31+a11·a23·a32+a12·a21·a33）
其中aij表示矩阵的第i行第j列的元素的值。
3、三阶矩阵行列式的展开计算方法：
当一个矩阵的阶数为3时，其行列式一般用展开的方法来计算。
展开是把一元二次方程表达式分解成多个定义同等的一元二次式。
三阶矩阵行列式计算步骤如下：
（1）选取矩阵中一行或一列，并写出矩阵行列式的展开式；
（2）把选出的行或列换成与其他行（列）不同的其他行（列）；
（3）根据求行列式的性质，把展开式中系数的符号颠倒；（4）重新组合，用得到的新式子计算矩阵行列式的值；（5）经过几次混合计算，最终可以求得矩阵的行列式的值。
_三阶行列式
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
例1.将行列式 D 2 1 2 3
展开并求值. 1 3 0 1 0 1 解： D 3 2 (2) 32 3 1 3 1 1 3
0 1 3 1 3 0 D 2 1 3 32 3 1 2 1 2 3
若 a1 A 1 a2 A 2 a3 A 3 0
d1 A1 d 2 A2 d3 A3 则：x a1 A1 a2 A2 a3 A3
b 2 b1 A1 b2 A2 b3 A3 0 改写为： c1 A1 c2 A2 c3 A3 0 c 2
一般选择0较多的行或列进行展开求值.
例2.证明下列恒等式：
a1 a2 a3 0 c1 a1 b1 b2 b3 b1 a1 c1 c2 c3 b1 a1 b1 b2 b3 c1 c2 c1 c2 c3 0 0 c2 0, a2 0 c3 a3 a1 0 c1 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b2 0, a2 b3 a3 b2 a2 b3 a3 c1 a1 0 c3 a2
D a1 A1 b1B1 c1C1 a2 A2 b2 B2 c2C2 a3 A3 b3 B3 c3C3
一、三阶行列式的展开II(续) 定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
a1 D a2 a3 b1 b2 b3
2 1
(b1c3 b3c1 ) b1c2 b2c1 b2c3 b3c2 b1 b2 b2 b3
b1
c1
b3 c3 c1 c2
c2 c3
不妨令：
A1 b2 b3 c2 c3 A2 b1 b3 c1 c3 b1 A3 b2 c1 c2
三阶行列式求法
求解三阶行列式的方法可以使用Sarrus法则或展开法。
1. Sarrus法则:三阶行列式的Sarrus法则是一种通过计算交叉相乘的方式求解行列式的方法。
具体步骤如下：假设有一个三阶行列式：| a b c || d e f || g h i |(1) 从左上角的元素开始，将每个元素与其右下方的元素相乘，连乘三次，并将乘积相加：a * e * i +b * f * g +c *d * h(2) 从右上角的元素开始，将每个元素与其左下方的元素相乘，连乘三次，并将乘积相减：c * e * g + a * f * h + b *d * i(3) 将上述两个结果相减，即可得到行列式的值。
2. 展开法:三阶行列式的展开法是一种将行列式按照某一行（或列）展开成若干个二阶行列式的方法。
具体步骤如下：假设有一个三阶行列式：| a b c || d e f || g h i |(1) 选择一行（或列）进行展开，例如选择第一行展开。
(2) 将展开的行（或列）的元素与其对应的代数余子式相乘，然后交替相加或相减：a * A11 -b * A12 +c * A13其中A11，A12，A13 分别是对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法为，将包含对应元素的行和列划去，然后计算剩下的二阶行列式的值。
例如，A11 是划去第一行和第一列后剩余二阶行列式的值。
(3) 将上述结果相加或相减，即可得到行列式的值。
通过Sarrus法则或展开法，可以求解任意三阶行列式的值。
请注意，这些方法可以扩展到更高阶的行列式。
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aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa332112322311312213322113312312332211333231232221131211---++=称为三阶行列式.事实上行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，所以对于二阶行列式和三阶行列式计算公式可以用对角展开来记，如图2.8，其中实线连接的无素乘积前用负号.三阶行列式的计算也可以用降阶的方法来计算；aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211333231232221131211+-=利用三阶行列式，我们可以把向量积写成行列式形式，如果)(aaaa zyx，，=，)(aaab zyx，，=，则bbbaaazyxzyxkjiba=⨯在上述行列式中，将i，j，k看成是一般的参数，按行列式计算方法计算即可.直接计算（或者通过4.2节的行列式性质4.2.1，性质4.2.2，可以得到向量积的如下性质：性质4.2.3 设a ，b ，c ，是空间的任意向量，λ是实数，则c ；b c a c b a ；b a b a b a a ；b b a i j k i k k ，，j i ⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=⨯⨯-=⨯=⨯=⨯=⨯)()4()()()()3()2()1(λλλ；，例2.2.11 设)123()211(--=-=，，，，，b a ，求同时垂直于a ，b 的单位量. 解 由向量积的定义知k j i kj ib a ++=--=⨯53123211同时垂直于a ，b ，所以351)(0=⨯b a (3,5,1)就是要求的单位向量.例2.2.12 已知△ABC 的顶点A （1，2，3），B （3，4，5，），C （2，4，7，），求△ABC 的面积和角A 的正弦.解.264123211),4,2,1(222k j i kj iAC ），，，（AB +-=--=⨯==S △ABC=,1421=.32sin sin =>=⨯<=AC AB A 例2.2.13 证明恒等式.)·()·()(a c b b c a c b a -=⨯⨯证明 设，，，，，，，，，)()()(321321321c c c b b b a a a a b b ===则 ),,,)(232223131113332323121112331313211212(c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b ac b a +-+--++--+-=⨯⨯).()(),()(),()((.)·()·(332211333221133322112332211233221113322111c b c b c b a c a c a c a b c b c b c b a c a c a c a b c b c b c b a c a c a c a b a c b b c a ++++-++-+++-++=- 所以.)·()·()(a c b b c a c b a -=⨯⨯注意：上面的公式通常称为二重向量积展开式，我们也可以不用向量的坐标，而直接用向量的积来证明（请看补充题2.2）.从这个公式可以看出，向量积不满足结合律，就是说，一般).()(c b a c b a ⨯⨯≠⨯⨯向量的混合积 定义 2.2.14 设aa a 321，，为三个向量，定义混合积[a a a 321，，]=)21(a a ⨯·a 3.如果),,,1111(z y x a =),,,2222(z y x a =),,,3333(z y x a =则可以得到（2）零向量0的公解式是唯一的；（3）把,,21v v …，v r 任意公成两组,,2v v i il …，v jt 与,,2v v j jl v jt （s+t=r ）,则有（++v v i il 2…v is ） （++v v i il 2…v jt ）={0}；（4）设v i 的一个基为},,,{ααij il ⋯（1≤i ≤r ）,则 是v v v r +⋯+21的一个基；（5）.dim dim dim )dim(2121v v v v v v r r +⋯+=+⋯+这个定理的证明与r=2的情形基本一样，这里就不再重复了.习题6.5习题6.5.1 设M （R ）是全体实函数所成的实数域上的线性空间，W 1是全体偶函数所成的子集，W 2是全体厅函数所成的子集，证明：W 1与W 2是M （R ）的子空间，且M （R ）= W 1 ○+W 2. 习题 6.5.2 设W 1与W 2分别是齐次线性方程组021=⋯++x x x n 与x x x n =⋯==21的解空间.证明R n= W 1 ○+W 2,这里R 是实数域. 习题6.5.3 如果v v v 21⊕=，而v v v 12111⊕=，证明：v v v v 21211⊕⊕=. 习题6.5.4 试用几何空间的例子来说明：若U ，V ，Y 是子空间，且满足条件U ○+V=X ，X U ⊂，是否必有?)()(V Y U Y Y ⊕= 6.6 线性空间的同构定义6.6.1 数域F 上两个线性空间V 与V '称为同构，如果存在一个由V 到V /的又射W V −→−:ϕ，它具有性质： （1）;,),()()(V ∈∀+=+βαβϕαϕβαϕ （2）F k V k ∈∈∀=,),()(αακααϕ.这样的映射ϕ称为线性空间V 与V '的同构映射，记作V V '≅. 由定义可以看出同构映射有如下性质：);()()()(2);()(,0)0(122112211αϕαϕαϕαααϕϕϕϕr r r r k k k k k k a a +⋯++=+⋯++-=-=、、3、V 中向量α1，ααr ，，⋯2线性相关的充分必在条件是V '中的对应量)()()(21αααϕϕϕr ，，，⋯线性相关；4、如果ϕ是线性空间V 到线性空间V '的同构映射，则V V '=dim dim ；5、同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积仍是同构映射. 这5条很容易证明的，作为习题留给读者自己来做.定理6.6.2 数域F 上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.证明 必要性上面已有，现证充分性。
设},,{21a a a n B ⋯=是线性空间V 的一个基，},,{21'⋯''='a a a n B 是线性空间V '的一个基，下面我们就来找一个V 到V '的同映射. 我们取V 到V '的这们一个映射：使关于基B 与B '有相同坐标的向量相对应，即ααααααααϕ'''+⋯++='→+⋯++=n n n n x x x x x x 22112221:，ϕ为双射是显然的.我们来证明ϕ具有定义6.6.1中所述性质.任取V ∈βα,，且设ααααααβαnn n n x y y x x x +⋯++=+⋯++=22112211则αααβαnnn y x y x y x )()()(222111++⋯++++=+按ϕ的定义，同样可证)()(αϕαϕk k =，故ϕ是同构映射，即V 到V '同构. 在线性空间的抽象讨论中，同构的线性空间都有相同的代数性质，因而对于同构的线性空间没有必在再加以区别，我们可以把同构的线性空间看作是同一个空间.因此，定理6.6.2说明了，维数是有限维线性空间唯一的本质特征.特别，每一个数域F 上n 维线性空间都与F n 同构，而同构的空间有相同的性质，所以，我们以前所得到的关于有序n 元数组的向量空间的一些结果，在一般的线性空间中也是成立的，而不必一一重新证明.。