3 行列式行列式的按行(列)展开
则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作
业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)
a11a22
ann .
1.3.3 n阶行列式的计算
计算方法主要有两种：
1.化三角线法
2.降阶法
例1 计算下列行列式
1 1 1 3
2 3 0
0 1 1 1 2 1 1
a a a a
b 2b 3b 4b
c 3c 4c 5c
d 4d 5d 6d
1 0
例2 计算行列式
0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1
i 1,2, 3
1
2 -4
例1
计算三阶行列式 D - 2 2 1 -3 4 -2
解
按第一行的展开式，有
D 121 Nhomakorabea4 2
2
2
1
3 2
( 4 )
2 2 3 4
4 4 2(4 3) 4( 8 6)
8 14 8 14.
假设对 n-1 阶范德蒙德行列式, (1)式成立. 对 n 阶范德蒙德行列式, 作如下变换, ri –x1ri-1 ( i = n, n–1, · · · , 2, 1 ). 得
1 1 1 0 x 2 x1 x 3 x1 Dn 0 x 2 ( x 2 x1 ) x 3 ( x 3 x1 ) n 2 ( x x ) x n 2 ( x x ) 0 x2 2 1 3 3 1
提示：按第一列拆开,再提取公因子
例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 1 1 1 x1 x2 xn 2 2 2 Dn x1 ( x i x j ). x2 xn n i j 1 n1 x n1 x n1 x1 2 n
(1)
证: 用数学归纳法 1 1 x 2 x1 ( x i x j ), D2 x1 x 2 2 i j 1 所以, 当 n=2 时, (1)式成立.
D, i j k 1 aik Ajk 0, i j
n
D, i j k 1 aki Akj 0, i j
n
上(下)三角行列式计算公式
a11 a21
0 a22
0 0 ann a1n a2 n ann
a11a22
ann .
a n1 a n 2 a11 a12 0 a22 0 0
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M12 M 12
a11 a12 M 44 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
A44 1
4 4
ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ai 3 Aj 3 0, i j
因此
D,当i j aik Ajk k 1 0,当i j
3
D,当i j aki Akj k 1 0,当i j
3
1.3.2 n阶行列式的按行(列)展开
定理5 n阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
§1.3 行列式的按行(列)展开
1.3.1 三阶行列式的按行(列)展开
对于三阶行列式，容易验证：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a a a a a a 22 23 a 21 23 a 21 22 a a a a 11a 12a 13a
32 33 31 33 31 32
M 44 M 44
注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和 一个代数余子式.
利用代数余子式，可得
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a a22 a23 a a21 a23 a a21 a23 11 12 13 a a a a a a 32 33 31 33 31 33 a31 a32 a33
有:
1 x n x1 x n ( x n x1 ) n 2 ( x x ) xn n 1
按第一列展开, 并把每列的公因子( xi –x1 )提出, 就
1 1 1 x x3 xn Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) 2 n 2 x n 2 x n 2 x n–1阶范德蒙德行列式 2 3 n
a14 a24 a34 a44
a21 a22 例如：D a31 a32 a41 a42
A23 1
2 3
a11
a12
a14 a34 a44
M 23 a31 a32 a41 a42
M 23 M 23 .
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算.
定义： 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和
第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 aij 的 余子式. 记为 M ij
称 Aij 1 M ij 为元素 aij 的代数余子式.
i j
a11
a12
a13 a23 a33 a43
1 1 1 0
1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 ( n 3) . n
提示1：所有行之和为常数 提示2：由于行列式中大部分元素均为3，若将 行列式的第三行的(-1)倍分别加到其余各行，将 使这些行中的3全部化为零。
例3 计算行列式
ax + by ay + bz az + bx D = ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz
§3 行列式的展开定理
§1 行列式的定义 §2 行列式的性质与计算 §3 行列式展开定理、克拉默法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0
§3 行列式的展开定理
( xn xn1 )
( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( xn x1 )( xn x2 ) ( xn xn1 )
§3 行列式的展开定理
先证明3阶范德蒙行列式
111
D3 x1 x2 x3
( xi x j )
x12 x22 x32 1 ji3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
ai1 , n ai1 ,n
an1
an, j1 an , j1
ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
行列式按行(列)展开-线性代数
矩阵求逆
通过行列式按行(列)展开，可以计算矩阵的 逆矩阵。
矩阵求行列式
行列式按行(列)展开是计算矩阵行列式的基 本方法之一。
在特征值与特征向量中的应用
1 2
特征值求解
行列式按行(列)展开可以用于求解矩阵的特征值。
特征向量求解
通过行列式按行(列)展开，可以求解矩阵的特征 向量。
3
判断特征值的个数
通过行列式不为0的条件，可以判断特征值的个 数。
替换元素
将选定列中的其他元素替换为零。
03
02
提取因子
将选定列中的元素按照对应行提取 出来，作为新的因子。
计算行列式
根据二阶行列式的计算方法，计算 得到新的行列式。
04
计算实例
假设有一个三阶行列式|A|，其元素如下
| a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 |
计算实例
01
| a31 a32 a33 |
$|a_{21} quad a_{22}|$
行列式的定义
三阶行列式：由三个元素 $a_{11}$，$a_{12}$， $a_{13}$和$a_{21}$， $a_{22}$，$a_{23}$以及 $a_{31}$，$a_{32}$， $a_{33}$构成的二阶行列式， 记作
$|a_{11} quad a_{12} quad a_{13}|$
03
2023
PART 03
行列式按列展开
REPORTING
定义与性质
定义
行列式按列展开是将行列式中的元素 按照某一列的对应行进行展开，得到 一个与原行列式等价的二阶行列式。
性质
行列式按列展开后，其值不变，即 |A|=|A|'，其中A为原行列式，A'为按列 展开后的行列式。
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x yyx； 2)111111121n n----； 3)121111n n na a xD a xa x---=-.解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xxy y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=按展开. 3)法1 按1r 展开得()112112121223121211(,,,)(,,)(,,).()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x x M x x x x-----==---.将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得111212121.n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，其中1,;0,ij i j i j=⎧=⎨≠⎩当当δ为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨≠⎩当当 显然(,)xy f x y =δ.2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号1,;0,.ij i j i j <⎧=⎨>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则1.ij ji +=ρρ2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列12467,,,,a a a a a中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式122131121(,,,)()()()(,,)().n n n j i i j nV a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=-∏例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcd b b acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++ .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵；2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++ .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=.。
第一章 行列式 S3 行列式按行(列)展开
得
aaiijj
0
0
0
0
a1, j
a11
a1, j1
a1, j1
a1n
D (1)i1(1) j1 ai1, j ai1, j
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
anj
an1
a a n, j1
n, j1
aij (1)(i j)2 Mij aij (1)i j Mij aij Aij
11
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
17
假设（1）对于 n 1阶范德蒙行列式成立，
对(1)式，由下而上依次从每一行减去上一行的x1倍，得
定理2 n(n≥2)阶行列式的任一行（列）元与另一行（列）对应 元的代数余子式乘积之和为零。即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 或
a1 j A1t a2 j A2t
n
ain Akn ais Aks 0, (i k, i,k 1, 2, ,n) s1
n
anj Ant asj Ast 0, ( j t, j,t 1, 2, ,n) s1
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
行列式的几种基本计算方法
2.1 行列式的定义
在一个排列中, 如若一组数位置的前后和次序的大小相反, 简单的说就是如果后面的数比前面的数小, 那么这就是一个逆序. 而排列中逆序的总数就是逆序数. 当逆序数为偶数时, 则为偶排列, 反而言之. 比如中, 是逆序, 且逆序数为, 则这个排列为奇排列.
阶行列式的定义 . 也可记为或, 其中为排列的逆序数, 就是对所有级排列求和.
行列式在我们的高等数学中是一种非常有用的计算工具, 而对于现实生活中的一些实际问题, 行列式都或多或少的与之有着一定的联系.
比如：在数学中可利用行列式来求解线性方程组, 或者也可以通过统计数据建立线性关系来判断其变化规律, 做出相应的预测, 还可以预知自然生态中物种的存活期等等的这些生活中的实际问题. 那么, 了解行列式, 认识行列式, 并且掌握行列式的算法就显得尤为重要. 当行列式的阶数相对比较低（不超过三阶）时, 一般可以按照行列式的定义或性质直接计算出结果. 但是对于阶数比较高的阶行列式, 用定义和性质直接去计算就行不通了, 因此, 对于研究阶行列式的基本计算方法, 在数学中是十分有必要的. 本文首先给出了行列式的定义并讨论了行列式的性质, 从而引出行列式的一些基本的常见的计算方法, 并通过例题对计算方法进行了简单的说明.
性质三 一行的公因式可以提出来, 即
实际上假如, 就有如果行列式中有一行（列）为, 那么行列式为.
推论 假如一个行列式中有一行（列）的元素是, 则行列式等于.
性质四 把行列式的其中一行（列）的倍数添加到另一行（列）, 则前后两个行列式依然相等. 即
性质五 如若行列式中有两行（列）的对应元素相同, 则行列式值为0.
所以的系数为.
故原行列式等于 .
3. 6 拆项法
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
行列式按行(列)展开
a a a a a a a a a
D
xa
xa
c1 c2 cn
[ x ( n 2)a ] 1 x a 1 a
1 a
xa
xa
20
r2 r1 r3 r1 rn r1
1 [ x ( n 2)a ]0 0 0
ak 1 ak 2 akn an 2 ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
11
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
3 11
7 17 8
按第二列展开
7 25 8 0 3 0 11 5 2
1 ( 1)
2 2
0 3
5 9
5 2
按第二行展开
5 ( 1)
2 3
7 25 3 11
5(77 75) 10
19
例2：
xa a a a
a xa a a 1
a a a a
a a a
( xi a , i 1,2,3,4)
（可以化为箭形行列式）
r2 r1 r3 r1 r3 r1 r4 r1
行列式性质按行(列)展开法则
高阶行列式求解示例
递归降阶法
对于高阶行列式，可以采用递归降阶的 方法进行求解。即选择一行（列），将 这一行（列）的每个元素分别与其代数 余子式相乘并求和，从而将原行列式降 阶为一个低一阶的行列式。通过不断重 复这一过程，最终可以将高阶行列式降 阶为二阶或三阶行列式进行求解。
矩阵运算与行列式的关系
矩阵运算中的很多性质与行列式的性质密切相关，如矩阵的乘法、转置、逆等运算都与行列式有紧密联系。在求 解线性方程组时，我们常常需要利用矩阵的性质进行化简和计算。
线性方程组求解与行列式的应用
对于n元线性方程组，我们可以利用克拉默法则（Cramer's Rule）进行求解。克拉默法则是一种利用行列式求解 线性方程组的方法，它涉及到计算系数行列式和各个未知数的系数行列式，然后利用这些行列式的值求出未知数 的解。
03
把行列式的某一行(列)的各元素 乘以同一数然后加到另一行(列) 对应的元素上去，行列式不变。
04
行列式计算规则
01
对于二阶和三阶行列式，可以 直接套用公式进行计算。
02
对于高阶行列式，可以采用按行 (列)展开法则进行计算，即选择 某一行(列)，将其各元素与对应 的代数余子式相乘后求和。
03
在按行(列)展开时，需要注意 代数余子式的符号取决于被删 除的行和列的序号之和的奇偶 性。
选择要展开的行或列
根据题目要求或行列式的特点，选择合适的行或 列进行展开。通常选择含有零元素较多或元素较 简单的行或列。
行列式按行展开
利用矩阵的秩
通过分析系数矩阵的秩和常数项矩阵的秩， 判断方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等 于常数项矩阵的秩时，方程组有解；否则无 解。
引入参数法
通过引入参数将原方程组转化为参数方 程组，利用克莱姆法则求解参数方程组 的解，再回代求解原方程组的解。
• 适用性广：该方法适用于任何阶数的行列式，具有普适性。
行列式按行展开的优点与不足
要点一
计算量较大
要点二
难以直接观察行列式性质
对于高阶行列式，按行展开可能涉及大量的计算，导致计 算效率低下。
按行展开后，原行列式的结构和性质可能被掩盖，不利于 进一步分析和研究。
对未来研究的展望
探索更高效的计算方法
利用高斯消元法
通过高斯消元法将原方程组化简为阶 梯形方程组或最简形方程组，从而直 接求解方程组的解。
06 总结与展望
行列式按行展开的优点与不足
简化计算
通过按行展开，可以将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的和，从而简化计算过程。
直观性
按行展开的方法较为直观，易于理解和掌握。
行列式按行展开的优点与不足
行列式按行展开有助于理解行列式的本质和性质，加深对线性代数相关概 念的理解。
02 行列式按行展开的基本原 理
代数余子式的概念
代数余子式定义
在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行 列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$， $A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
行列式按行展开的公式为：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$，其中$a_{ij}$是所选行中的元素，$A_{ij}$ 是对应的代数余子式。
行列式按行(列)展开
D=
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
= ( −1)
3+3
a11 a12
a14
a33 a21 a22 a24 . a41 a42 a44
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
定理３ 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的 定理３ 代数余子式乘积之和, 即 D= ai1 Ai1+ ai2 Ai2 +· · · + ain Ain 或 D= a1j A1j+ a2j A2j+· · · + anj Anj
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1 x3 ⋮
n x3 − 2
把每列的公因子(xi-x1)提出,就有
⋯ ⋯ ⋯ 1 xn ⋮
n xn − 2
x2 Dn = ( x 2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( xn − x1 ) ⋮
n x2 − 2
= ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( x n − x1 ) =
1 xn
(1)
n n x1n−1 x2 −1 ⋯ xn −1
∏ 其中记号“
”表示全体同类因子的乘积.
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1
证 用数学归纳法.
D2 = = x2 − x2 =
x1 x2
2≥i > j ≥1
∏ (x − x ),
i j
所以当n=2时(1) 式成立. 现在假设(1) 式对于n-1阶范德蒙德行列式成 立， 要证(1) 式对于n阶范德蒙德行列式也成立.
§6