行列式按行(列)展开
线性代数课件1-4行列式按行(列)展开
实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。
3 行列式行列式的按行(列)展开
则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作
业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)
(简)1.5行列式按行展开定理
1 −1 0 例 2： D = ⋮ 0 0
a 1− a
1
0
1
⋯
2
0 0 0 ⋮
0 0 0 ⋮
−1 ⋮ 0 0
a 1− a
⋮ 0 0
⋯
2
⋯ ⋱
求D=?
⋯ 1 − a n−2 a n −1 −1 1 − a n −1 ⋯
0 0 0
分析：特点是 行作和为 分析：特点是n行作和为 0，0，0……1，再展开 ， ， ， 即可降阶！ 即可降阶！
或 D , 当i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0, 当i ≠ j; k =1 1, 当i = j , δ ij = 其中 0, 当 i ≠ j ;
n
例1
设
3 −5 2 1 1 1 0 −5 D= , −1 3 1 3 2 −4 −1 − 3
D的( i , j )元的余子式和代数余子 式依次记作 M ij 和Aij， 求
调，这样数 aij 就调成(1, j )元，调换的次数为 i − 1. ⋯ 列调换， 再把第 j列依次与第 j − 1列、第 j − 2列、 、第1列调换， 这样数 aij 就调换成(1,1)元，调换的次数为 j − 1 .
总 ， i + j − 2次 换 把 aij调 (11)元 所 之 经 调 ， 数 成 , ， 得 的 列 D = (−1)i+ j−2 D1 = (−1)i+ j D1， D中1,1)元 行 式 而 1 ( 的 余 式 是 中 i, j)元 余 式 ij . 子 就 D ( 的 子 M
⋯
0 0 0
1 0 0
解：D
1 × r 2 + r 1 , ⋯ ,1 × r n + r 1
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++=L L ； 2)按一列展开法则1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++=L L . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x y yxO O； 2)111111121n n----O OL ； 3)121111n n n a a x D a x a x---=-M O O .解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n nn xA yA xx y y x y -+-+=+=+-=+-.2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=L L 按展开. 3)法1 按1r 展开得法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x xM x x xx-----==---O OO O. 将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑L .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++M O OL L L12121n n n n a x a x a x a ---=++++L . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得 定理3.2 当i j ≠时，11220i j i j in jn a A a A a A +++=L ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++=L . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++=L δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++=L δ，其中为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数显然(,)xy f x y =δ. 2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯=L δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =.1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号例3.5 1)若正整数i j ≠，则2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列 中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑L τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcdbb acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++O OO .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫⎪⎝⎭L L 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=-L L ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵； 2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++L .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =ONN O；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=ONN O.。
行列式按行展开
4
二：定理1.4（拉普拉斯定理）
若在n阶行列式D中，任意选取k行k 列， 这样组成的所有k阶子式其对应的代数余子式 乘积之和等于行列式D的值。（证略）
5
5 60 0 0 1 5 6 0 0 例 D 0 1 5 6 0 0 01 5 6 0 0 0 1 5
6
5 6 0
1 6 0
56
50
D
1 5 6
一、 n阶行列式展开定理
定理3 n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元 素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
aij Aij i 1,2,, n j 1
按行展开
1
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
n
19
例5（伪范德蒙）
1111 abcd D a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4
111 1 1
abcd x a2 b2 c2 d 2 x2 a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
构造范德蒙行列式 对比x^3的系数。
20
例6（递推降阶法）
21 121
121 D
27
思考题6
a b ab 1 a b ab 1 a b ab
D ... ... ... 1 a b ab 1 ab
28
思考题7
x z z ... z z y x z ... z z y y x ... z z D ... ... ... ... ... ... y y y ... x z y y y ... y x
... ... ... 1 21 12
按第一行展开，可得 Dn 2Dn1 Dn2
行列式按行列展开定理讲解学习
行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式按一行(列)展开
证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的 实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展 开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的 定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指 将该行列式拆分成若干个二阶子行列 式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的 应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的 值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运 算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
感谢观看
3. 将上述求和结果作 为分子，分母保持不 变，得到按选定行 （或列）展开后的行 列式。
02
行列式按一行(列)展开的 公式
展开公式
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【练习】计算
3
1
1 3 1 3 1
2 4 1 3
解
5 1 D 2 0 1 5 1 1 0 5 1 3 1 3
c1 2c3 11 D c4 c3 0
5
5
r2 r1
1 ( 1) 3 3 11 1 1 0 5 5 0 0
D中项 aij a1 j1 ai 1 ji1 ai 1 ji1 anjn 符号为
(1)
( i 1( i 1)( i 1)n) ( jj1 ji 1 ji 1 jn )
i 1
(1)
(1)
(1)
j 1 ( j1 ji 1 ji 1 jn )
Aij 1
i j
M ij， 称为元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a 21 D a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a11 a12 a14 a 24 M 23 a 31 a 32 a 34 a 41 a 42 a 44 a 34 a 44 A 12 3 M M . 23 23 23
行列式按某一行(列)展开定理 n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
j 1, 2, , n
选1、3行，2、4列，得到D的一个2阶子式 M M的余子式 N
1
8
i j
(1)
( j1 ji 1 ji 1 jn )
行列式按某一行(列)展开定理 n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain i 1,2,, n 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
1 x2
n 2 x2
1 x3
1 xn
n 2 n 2 x3 xn
n-1阶范德蒙行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 1
0 Dn 0 0
x2 x1 x2 ( x2 x1 )
n 2 x2 ( x2 x1 )
x3 x1 x3 ( x3 x1 )
xn x1 xn ( xn x1 )
n 2 n 2 x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
按第1列展开，并把每列的公 因子 ( x i x1 ) 提出， 就有
，称为 M 的代数余子式.
其中 i1 , i2 , , ik , j1 , j2 ,, jk分别为 k 阶子式在 D 中的 行标、列标,记 A (1)( i1 i2 ik )( j1 j2 jk ) N
例如
2 1 0 8 4 3 0 0 D 0 2 1 5 0 4 7 0
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0, (i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ). 命题得证.
二、行列式按某k行(列)展开(Laplace定理)
定义2 在 n 阶行列式D中,任意取定 k 行, k 列 (1 k n),
位于这些行和列交叉处的 k 2个元素，按照原来的顺序
构成一个 k 阶行列式 M ，称为 D 的一个 k 阶子式. 定义3 划去这 k 行 k 列，余下的元素按照原来的顺序 构成一个 n k 阶行列式N，称为 M 的余子式.在其前面 冠以符号(1)
( i1 i2 ik )( j1 j2 jk )
( 1)n1 ... ... 0 0 a n 1 a a n 2
a n ( 1)n 1 ( 1)1 n1
a n a n 2
例3
证明范德蒙 (Vandermonde)行列式(n≥2)
1 x1 1 x2
2 x2
1 xn
2 xn
2 Dn x1 n 1 x1
n 1
aij Aij中每一项可写成
aij ( 1)i j M ij aij ( 1)i j [( 1) ( j1 ji 1 ji 1 jn ) a1 j1 ai 1 ji 1 ai 1 ji 1 anjn ] ( 1)i j ( 1) ( j1 ji 1 ji 1 jn ) aij a1 j1 ai 1 ji 1 ai 1 ji 1 anjn
1 3
5
1
1
5
1
1
6 2 0 ( 1) 5 5 0
6
2
5 5
40.
【注】 直接应用按行(列)展开定理计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式, 因此, 计算行列式时,一般选择行(列) 中零元素多的行(列)展开; 或者先利用行列式性质将某行(列)化为仅含一个非零 元素, 再按此行(列)展开, 化为低一阶行列式, 如此继续 下去, 直到化为三阶或二阶行列式求解.
1 0 1 5 0
0 4 1 4 0
0 2 3 1 2 0 4 1 4 0 2 3 5
2 3 1 2 3 1 r2 2r1 2 5 4 1 4 10 0 7 2 r3 r1 2 3 5 0 6 6
10 2 7 2 6 6
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j .
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
即 i 行元素与 j 行对应元素的代数余子式乘积之和为0. i 列元素与 j 列对应元素的代数余子式乘积之和为0.
【注】本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂， 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需 要利用行列式的性质(如提取公因子、调换各行(列)的次 序等)将此行列式化成范德蒙行列式, 然后根据公式计算 出结果.
推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素 的代数余子式乘积之和等于零，即
n i j 1
( xi x j ).
(1)
n 1 n 1 x2 xn
证 用数学归纳法
1 D i x j ), 2 i j 1 x2
当 n 2 时（ 1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙行列式结论成立，要证明 对于n阶范德蒙行列式，结论也成立. 对于n阶范德蒙行列式，从第n行开始依次减去上一行的 x1倍，得到 1 1 1 1
2 22 2n Dn 3 32 3n . n n2 nn 1 1 2 3 n 1 22 32 n2 1 2n 1 3n 1 . n n 1
解 每一行提取各行的公因子，于是得到
1 Dn n ! 1 1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范 德蒙行列式知 D n n ! ( i j ) n !(2 1)(3 1)(4 1)( n 1) n i j 1 (3 2)(4 2) ( n 2) (4 3) ( n 3) [n ( n 1)] n !( n 1)!( n 2)! 2!1!.
往证 D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain () 证明思路: ① (*)式两端所含项数相同, 并且各项互不相同; ② 右端 aij Aij 每一项都是D中的项, 并且带有相同的符号. a11 a1 j 1 a1 j 1 a1n
M ij ai 11 ai 1 j 1 ai 11 ai 1 j 1 a n1 anj 1 ai 1 j 1 ai 1 n ai 1 j 1 ai 1 n anj 1 ann
j 1, 2, , n
【说明】行列式按某行(列)展开是“降阶”简化计算行 列式的重要方法.
例1 计算行列式
5 1
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
D 0 2 0 2
0 4 1 4 0
解
5 1
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3
5
2 5
3
1 2
D 0 2 0 2
§1.3 行列式按行(列)展开
分析三阶行列式的一个规律： 现以第二行元素为标准, 将 各项分组 a11 a12 a13
a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
( xi x j ).
1 5 25 125
n i j 2
( xi x j )
【练习1】计算
1 1 1 2 4 3 (2 5)(4 5)(3 5) 4 16 9 (4 2)(3 2)(3 4) 12 8 64 27
【练习2】 计算
1
1
1
证明
det( aij ) 按第 把行列式 D a aik ( kj行展开有 1, , n) 可得 把行列式中的 jk 换成 a11 a1n
第i 行 ai 1 ain 相同 ai 1 A A a A Dj 1 aa A a A =0 i 2 j 1j 2 in jn jn j1 jn aij11 aajn 第j行 in an1 ann
a21 (a12a33 a13a32 ) a22 (a11a33 a13a31 ) a23 (a11a32 a12a31 )