行列式按行(列)展开及计算
3 行列式行列式的按行(列)展开
则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作
业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)
2_3行列式按一行或一列展开及行列式的计算
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式 .
Page 4
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
0 2 0 0 0
解
5 3 −1 2 1 7 2 5 D= 0 −2 3 1 0 −4 −1 4 0 2 3 5
Page 22
5 3 −1 2 −2 3 1 3 1 r2 + (− 2 )r1 2+ 5 0 − 2 = (− 1) 2 − 2⋅ 5− 4 −1 4 0 − 4 − 1 4 r3 + r1 2 3 5 0 2 3 5 −2 3 1 −7 2 = −10 0 − 7 2 = −10 ⋅ (− 2 ) 6 6 0 6 6
Page 9
aij aij M M anj aij aij M = ( − 1)
i+ j
L
0 M M
L
0 M M
(− 1)i + j − 2 ai −1, j L ai −1, j −1 L ai −1,n =
L L a n , j −1 0 M M L a n , j −1 L L L ann 0 M M ann
a14 a 34 a 44
D=
A23 = (− 1)
M 23 = − M 23 .
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x yyx； 2)111111121n n----； 3)121111n n na a xD a xa x---=-.解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xxy y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=按展开. 3)法1 按1r 展开得()112112121223121211(,,,)(,,)(,,).()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x x M x x x x-----==---.将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得111212121.n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，其中1,;0,ij i j i j=⎧=⎨≠⎩当当δ为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨≠⎩当当 显然(,)xy f x y =δ.2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号1,;0,.ij i j i j <⎧=⎨>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则1.ij ji +=ρρ2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列12467,,,,a a a a a中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式122131121(,,,)()()()(,,)().n n n j i i j nV a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=-∏例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcd b b acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++ .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵；2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++ .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=.。
行列式按行展开
4
二：定理1.4（拉普拉斯定理）
若在n阶行列式D中，任意选取k行k 列， 这样组成的所有k阶子式其对应的代数余子式 乘积之和等于行列式D的值。（证略）
5
5 60 0 0 1 5 6 0 0 例 D 0 1 5 6 0 0 01 5 6 0 0 0 1 5
6
5 6 0
1 6 0
56
50
D
1 5 6
一、 n阶行列式展开定理
定理3 n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元 素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
aij Aij i 1,2,, n j 1
按行展开
1
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
n
19
例5（伪范德蒙）
1111 abcd D a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4
111 1 1
abcd x a2 b2 c2 d 2 x2 a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
构造范德蒙行列式 对比x^3的系数。
20
例6（递推降阶法）
21 121
121 D
27
思考题6
a b ab 1 a b ab 1 a b ab
D ... ... ... 1 a b ab 1 ab
28
思考题7
x z z ... z z y x z ... z z y y x ... z z D ... ... ... ... ... ... y y y ... x z y y y ... y x
... ... ... 1 21 12
按第一行展开，可得 Dn 2Dn1 Dn2
行列式按一行(列)展开
证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的 实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展 开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的 定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指 将该行列式拆分成若干个二阶子行列 式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的 应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的 值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运 算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
感谢观看
3. 将上述求和结果作 为分子，分母保持不 变，得到按选定行 （或列）展开后的行 列式。
02
行列式按一行(列)展开的 公式
展开公式
线性代数课件14行列式按行列展开
111
1
a1 a2 a3
an
Dn a12 a22 a32
an2
a a a n1
n1
n1
1
2
3
a n 1 n
(a j ai )
1i jn
第 i 行乘以 a1 加到第 i + 1 行
1
1
1
Dn 0
a2 a1 a2 (a2 a1)
a3 a1 a3(a3 a1)
0
an2 2
(a2
a1 )
an2 3
1 4 N
1 2
02 M
0 3
进一步，N的代数余子式
A (1)1224 M 0
例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式
121 012 310
121 划去 2 所在的行和列，0 1 2
310
得子式 0 2 ，注意2在第一行第二列 30
所以，2 的代数余子式= (-1)1+2 0
2 6
30
121 划去 1 所在的行和列 ， 0 Dn 2 0 0
10 21
01 00
0 0 2 10 0 0 1 21
2 1 0 01 1 2 0 00
00 00
21 12
注意第一个行列式是n-1阶，第二个是n-2阶，有：
(a3
a1
)
按第一列展开
a2 a1 Dn a2 (a2 a1)
a3 a1 a3 (a3 a1)
an2 2
(a2
a1 )
an2 3
(a3
a1)
每列依次提出公因子，得到
1 an a1 an (an a1)
an2 n
(an
a1 )
行列式按行(列)展开
行列式按行（列）展开
a11 a12
定义1 在n 阶行列式 D a21 a22
a1n
ain 中，划去元素aij 所在的
an1 an2
ann
第i 行和第j列，余下的(n-1)2 个元素按原来的排列构成的n-1阶行 列式，称为元素aij 的余子式，记作Mij。在Mij前面加上符号(-1)i+j 后，得到(-1)i+jMij，称它为aij的代数余子式，记作Aij，即
Aij=(-1)i+jMij
436
例1 已知三阶行列式 D 5 2 1 ，分别求元素a21，a32的余子式和代
数余子式。
728
解 根据定义知，元素a21的余子式和代数余子式分别为
3 6 M 21 =12
2 8
A21 (-1)21
3 6
= -12
2 8
元素a32的余子式和代数余子式分别为
46
bn1
b1n
bnn
分析 对D1 作行运算，相当于对D 的前k 行作相同的行运算，且D 的后n 行不变;对D2作列运算，相当于对D 的后n 列作相同的列运算， 且D 的前k 列不变。
证 因为对D1 作适当的运算ri+krj，可将D1 化为下三角形;同理，对D2 作适当的列运算ci+kcj，可将D2 化为下三角形，分别设为
bnn
D (-1)(i-1)( j-1) D1 (-1)i j b11M11 (-1)i j aijMij aij Aij
定理1 n 阶行列式D 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子 式乘积之和，即
D ai1Ai1+ai2 Ai2 + +ain Aini 1, 2, n)
行列式按一行或一列展开及行列式的计算
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
0 an1
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
Page 13
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
Page 10
aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
Page 12
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
ai1
ain , ain
当 i j 时,
an1 ann
第i行 第 j行
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第周 星期第节
课次
2
授课方式
（请打√）
理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□
课时
安排
2
授课题目（教学章、节或主题）：
第二讲 行列式按行（列）展开及计算
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
熟练掌握行列式按行（列）展开；掌握运用行列式的定义与性质计算行列式；熟悉一些典型行列式的计算；熟悉用数学归纳法证明行列式.
一般可推广为：
作业：
1．复习 ；
1．预习 ；
3．习题 ：6（5）；8（1）（6）；9
教学后记
（按行（列）展开法则）
推论行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
或
例1、
解法1:
解法2：
例2、设 ，（1）求 ；（2） 。
解：（1）
（2）
二、行列式的计算
例3、例4、证明范德蒙行列式
证明：数学归纳法.
成立.
假如 成立，欲证 也成立，
例5、证明
教学重点及难点：
重点：行列式按行（列）展开；利用行列式的定义与性质计算行列式
难点：行列式的计算
教 学 基 本 内 容
备注
一、行列式按行（列）展开
引理一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 元 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积.
定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即