第三节行列式按行展开
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第一章 第3节 按行(列)展开定理 (1)
克莱姆法则亦可叙述为 如果线性方程组的系数行列式|A|≠ 则方 定理 : 如果线性方程组的系数行列式 ≠0,则方 程组一定有解,且解是唯一的 程组一定有解 且解是唯一的。 且解是唯一 定义：当方程组右边的常数项全部为零时， 定义：当方程组右边的常数项全部为零时，方程 组变为齐次线性方程组 组变为齐次线性方程组
了解定理的证明
证：写成矩阵方程A ⋅ x = b → x = A ⋅ b
A可逆
x1 A11 A21 L An1 b1 x A A22 L An2 b2 1 12 2 = M det A M M M M xn A1n A2n L Ann bn
−1
1 ∴ xj = (b1A1 j + b2 A2 j + L+ bnAnj ) det A = det Aj (b) det A (1 ≤ j ≤ n)
练习: 练习 解线性方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3x − 6 x4 = 9, 1 2 2 x2 − x3 + 2 x4 = −5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
当系数矩阵可逆时，有惟一解： 系数矩阵可逆时 惟一解：
xj =
det Aj (b) det A
(1 ≤ j ≤ n)
T
其中Aj (b)：A的第j列换成b = (b1 , b2 ,L, bn ) 后的矩阵
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n A= M M M an1 an2 L ann
定理: 定理
如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零, 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零
3行列式按一行展开
0 39
20
5 1
例 计算行列式
3 1 2 0 7 2 5 2 3 1 0 3 5 0
5
2 5
D 0 2 0 2
0 4 1 4 0 3 1 2 0 7 3 1 0 1 3 5 0
21
5 1
解
3
1 2 3 3 1 5
2 5 2
D 0 2 0 2
2
0 2 0 2
定义 划去aij的所在的行和列所得的行列式称为 aij的余子式，记作Mij，（－1)i+jMij称为aij 的代数余子式，记作Aij.
从定义知道, aij的代数余子式和余子式只 与i,j有关,与aij的值无关.
6
例设
3 0 1 4
2 5 1
2 7 0 3 2 6 0
D
1 3
求a23的余子式和代 数余子式.
a2 j2 a3 j3
3 j2 j3P3
( j2 j3 ) 2
a11 a13
j2 j3 P {2,3}
( 1) ( 1)
( j2 j3 )
a2 j2 a3 j3 a12
j 3 P {1,3} 2 j
( 1)
(j 3 ) 2 j
a2 j2 a3 3j
j2 j3P {1,2}
a11 a1n
i 1
ai 1
ain
1 n
a11 a1n (i )
D ai 1 ain ( 1) an1 ann ( 1) [ai 1 ( 1)
i 1 11
an1 ann M i 1 ain ( 1) M in ]
0 13 16 5 21 3 14 0
第一章 行列式 S3 行列式按行(列)展开
得
aaiijj
0
0
0
0
a1, j
a11
a1, j1
a1, j1
a1n
D (1)i1(1) j1 ai1, j ai1, j
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
anj
an1
a a n, j1
n, j1
aij (1)(i j)2 Mij aij (1)i j Mij aij Aij
11
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
17
假设（1）对于 n 1阶范德蒙行列式成立，
对(1)式，由下而上依次从每一行减去上一行的x1倍，得
定理2 n(n≥2)阶行列式的任一行（列）元与另一行（列）对应 元的代数余子式乘积之和为零。即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 或
a1 j A1t a2 j A2t
n
ain Akn ais Aks 0, (i k, i,k 1, 2, ,n) s1
n
anj Ant asj Ast 0, ( j t, j,t 1, 2, ,n) s1
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
第三讲 行列式按行按列展开
单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室批准：日期：年月日任课教员：刘静课程名称：线性代数章节名称：第一章行列式课题：第三讲行列式按行按列展开目的、要求： 1. 行列式的按行按列展开法则；2. 掌握行列式的计算方法。
难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。
器材设备：多媒体设备课前检查教学内容课堂组织教学内容： 本讲主要介绍：1. 行列式的按行（列）展开法则；2. 掌握行列式的计算方法。
教学方法与思路：1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念；2. 对于三阶行列式，容易验证：111213222321232123212223111213323331333133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。
由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法，从而给出一个引理；4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。
教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。
教学步骤：教学内容、方法、步骤教学内容课堂组织1. 介绍余子式和代数余子式的概念；2. 引理；3. 行列式的按行（列）展开法则；4. 应用举例。
5. 小结并布置作业。
21222120n n n nna a a a中仅含下面形式的项232323,,)(1,,,,)11231123(1)n n n nj j j j j j nj j j nj a a a a a a a a τ=-2323(1,,,,)23n nj j j j j nj a a a 恰是11M 的一般项，所以1111111111(1)D a M a M a A +==-=的第 i 行除了ij a 外都是111110j n ij n njnna a a a a a 行依次与第i-1行，第i-2行，……，第2行进行交换；再将第j 列与第1j -列，第2j -列，……，列交换，这样共经过(1)(1)i j i j -+-=+-交换行与交换列的步骤。
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
第三节行列式按行展开
2 n
其中(1) N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M 11的一般项. 所以，D = a11M 11 = a11 (1)1+1 M 11 = a11 A11
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（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij ≠ 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a11 a1 j a1n i 1 2 1 i ai 1, j ai 1, j 1 0 = D ' 0 aij 0 j 1 2 j 1 anj an , j 1 ann a a a
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D = aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain (i = 1, 2, , n) 或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj ( j = 1, 2, , n)
中的代数余子式，记为Aij , 即 Aij = (1)i + j M ij
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a11 a21 例如：D = a31
a32的余子式
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a32 的代数余子式
a41
a13 a23 a14 a24
a11 M 32 = a21 a41
a11 A32 = (1)3+ 2 a21 a41
a13 a23 a43
a14 a24 a44
a43
a44
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
其中(1) N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M 11的一般项. 所以，D = a11M 11 = a11 (1)1+1 M 11 = a11 A11
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（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij ≠ 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a11 a1 j a1n i 1 2 1 i ai 1, j ai 1, j 1 0 = D ' 0 aij 0 j 1 2 j 1 anj an , j 1 ann a a a
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D = aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain (i = 1, 2, , n) 或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj ( j = 1, 2, , n)
中的代数余子式，记为Aij , 即 Aij = (1)i + j M ij
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a11 a21 例如：D = a31
a32的余子式
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a32 的代数余子式
a41
a13 a23 a14 a24
a11 M 32 = a21 a41
a11 A32 = (1)3+ 2 a21 a41
a13 a23 a43
a14 a24 a44
a43
a44
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
第三节 行列式按行(列)展开
−2 2 −3 −1 4 − 5 c2 − c1 = −4 × 1 1 −1 (−4) × 1 0 0 c3 + c1 8 −2 7 8 − 10 15 = (−4) × (−1)
2 +1
4 −5 = 4 × (60 − 50) = 40 − 10 15
三、行列式按行（列）展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式的乘积之和，即
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
b
要特别注意按照第一 行展开后剩余的2n-1 阶行列式的写法，并 注意其特点。
+ b ( − 1)1+ 2 n 0 c c 0
d 0
a ⋱ a b D = a × ( −1)1+1 ⋰ c 0 c d ⋱ ⋰
b
0
d 0 0 d
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
1 2 3 D= 2 0 7 2 3 1
解：第二行（列)有一个零元，可以利用展开定理， 化三阶行列式为2个二阶行列式的计算（这里按照第 2列展开）：
1 2 3 7 3 1+ 2 2 3+ 2 1 D = 2 0 7 = 2 × (−1) + 3 × (−1) 2 1 2 7 2 3 1
= − 2 ( 2 − 14 ) − 3( 7 − 6 ) = 24 − 3 = 21
第三节 行列式按行（列）展开
本节介绍的主要内容 余子式和代数余子式 行(列)只有一个非零元的展开引理 按行（列）展开定理 利用展开定理求范德蒙德行列式 利用展开定理求行列式
一、余子式和代数余子式 余子式 在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j 列划去后，留下的元素按照原来的位置构成的n-1 阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，即作Mij.
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a1n 0 ann
a11 0 an1
a1 j aij anj
a1n 0 ann
a11 0 an1
a1 j 0 anj
a1n ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain ann
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3 3 2 例1.3.1 按第三行展开，计算行列式 1 9 0 2 0 1
2 4 M 3 4
M的余子式和代数余子式分别为
3 4 N= 4 5
A=(-1)
(2 4) (2 3)
3 4 4 5
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定理1.3.4
(拉普拉斯定理) 在n(n 2)阶行列式D aij 中，
任意取定k 行（列）（ 1 k n 1 ），由这k 行（列）元素组成 的所有k阶子式与它们的代数余子式乘积的和等于行列式D.
, ik 和 后，
, jk , 则在M 的余子式前添加符号(-1)(i1 i2
ik ) ( j1 j2 jk )
所得到的n k阶行列式，称为k阶子式M 的代数余子式，记为A， N
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3
2 1
4
2 2 4 3 例如 四阶行列式D 4 2 1 5 2 3 4 1 如果选定第二、四行，第二、三列，可确定D的一个二阶子式为
定理1.3.2 (异乘变零定理) n 阶行列式D aij 的某一行 （列）的所有元素与另一行（列）中对应元素的代数余 子式乘积的和等于零，即 ai1 As1 ai 2 As 2 a1 j A1t a2 j A2t ain Asn 0 (i s ) anj Ant 0 ( j t )
1.3.1 余子式与代数余子式
定义1.3.1 在n(n 1)阶行列式D aij 中，将元素aij 所在的 第i行和第j列划去，剩下元素按原来相对位置所 构成的n 1阶行列式，称为D中元素aij的余子式， 记为M ij .
aij的余子式M ij 前冠以符号(1)i j 后，称为aij 在D 中的代数余子式，记为Aij ,即 Aij (1)i j M ij
在D中划去k行k列后，余下的元素按原来的次序构成 一个n k阶行列式，称为k阶子式M的余子式，记为N .
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如果k阶子式M 在D中所在的行标和列标分别为i1 , i2 , j1 , j2 , 即 A (-1)(i1 i2
ik ) ( j1 j2 jk )
其中cij为D1的第i行元素与D2的第j列相应元素乘积的和，即
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1.3.3 拉普拉斯（Laplace）定理
1、 k阶子式的余子式和代数余子式 定义1.3.2 在n阶行列式D aij 中，任意选定k 行k列（1 k n），
位于这些行和列交叉处的k 2个元素按原来的次序构成一个k阶行 列式M , 称为行列式D的一个k阶子式.
a14 a24 a44
A32 (1)3 2 a21 a41
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
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3 练习：D 5 2
0 0
4 3 , 求2和－2的代数余子式。
2 1
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1.3.2 行列式按某一行（列）展开
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
例1.3.2 用拉普拉斯定理计算行列式 3 1 2 3 D 5 2 0 0 0 1 4 1 2 0 3 0
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jn )
由行列式定义，D中仅含有如下形式的项 N ( j2 j3 N (1 j2 j3 jn ) a [( 1) (1) a11a2 j anj 11
2 n
a2 j2
anjn ]
其中(1)N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M11的一般项. 所以，D a11M11 a11 (1)11 M11 a11 A11
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例如：D
a32的余子式
a11 a21 a31 a41
a14 a24 a44
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a11 a13 a23 a43
a32 的代数余子式
a11 M 32 a21 a41
a13 a23 a43
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总结 对于行列式D aij D, aij Asj j 1 0, n D, aij Ait i 1 0,
n
is is jt jt
1 1 2 练习 计算行列式 5 2 7 2 5 4
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定理1.3.3 (行列式相乘规则) 设D1 aij 与D2 bij 是两个 n 阶行列式，则它们的乘积也可表示为一个n 阶行列式，即 c11 D D1 D2 c21 cn1 cij ai1b1 j ai 2b2 j c12 c22 cn 2 ainbnj c1n c2 n cnn (i, j 1, 2, , n)
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（3）一般情形； a11 D ai1 0 an1 a12 0 0 ai 2 an 2 0 0 a1n 0 ain ann
进而，可将D展成n个象情形（2）的行列式之和.
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a11 D ai1 an1
a1 j 0 anj
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
ain Ain (i 1, 2, anj Anj ( j 1, 2,
, n) , n)
证明 分三种情况证，我们只对行证明此定理.
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（1）首先讨论行列式D的第一行的元素除a11 0外，其余都为0的情形； a11 a21 an1 0 a22 an 2 0 a2 n ann
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（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a a a
11 1j 1n
0 an1
aij anj
0 ann
i
i 1
2 2
1 1
j
j 1
ai 1, j anj
ai 1, j 1 an , j 1
0 D' ann
D (1)i j 2 D' (1)i j aij Mij aij Aij