行列式展开定理
§3 行列式的展开定理
§1 行列式的定义 §2 行列式的性质与计算 §3 行列式展开定理、克拉默法则
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
a11 A21 a12 A22 a1n A2n 0
§3 行列式的展开定理
( xn xn1 )
( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( xn x1 )( xn x2 ) ( xn xn1 )
§3 行列式的展开定理
先证明3阶范德蒙行列式
111
D3 x1 x2 x3
( xi x j )
x12 x22 x32 1 ji3
( x2 x1 )( x3 x1 )( x3 x2 ).
ai1 , n ai1 ,n
an1
an, j1 an , j1
ann
称之为元素 aij 的余子式,记作 Mij ．
§3 行列式的展开定理
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij之为元素 aij 的代数余子式．
注：
① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式
和一个代数余子式．
② 元素 aij 的余子式和代数余子式与 aij 的大小 无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．
(简)1.5行列式按行展开定理
1 −1 0 例 2： D = ⋮ 0 0
a 1− a
1
0
1
⋯
2
0 0 0 ⋮
0 0 0 ⋮
−1 ⋮ 0 0
a 1− a
⋮ 0 0
⋯
2
⋯ ⋱
求D=?
⋯ 1 − a n−2 a n −1 −1 1 − a n −1 ⋯
0 0 0
分析：特点是 行作和为 分析：特点是n行作和为 0，0，0……1，再展开 ， ， ， 即可降阶！ 即可降阶！
或 D , 当i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0, 当i ≠ j; k =1 1, 当i = j , δ ij = 其中 0, 当 i ≠ j ;
n
例1
设
3 −5 2 1 1 1 0 −5 D= , −1 3 1 3 2 −4 −1 − 3
D的( i , j )元的余子式和代数余子 式依次记作 M ij 和Aij， 求
调，这样数 aij 就调成(1, j )元，调换的次数为 i − 1. ⋯ 列调换， 再把第 j列依次与第 j − 1列、第 j − 2列、 、第1列调换， 这样数 aij 就调换成(1,1)元，调换的次数为 j − 1 .
总 ， i + j − 2次 换 把 aij调 (11)元 所 之 经 调 ， 数 成 , ， 得 的 列 D = (−1)i+ j−2 D1 = (−1)i+ j D1， D中1,1)元 行 式 而 1 ( 的 余 式 是 中 i, j)元 余 式 ij . 子 就 D ( 的 子 M
⋯
0 0 0
1 0 0
解：D
1 × r 2 + r 1 , ⋯ ,1 × r n + r 1
行列式展开公式证明
行列式展开公式证明行列式展开公式，也称为拉普拉斯定理或余子式展开定理。
它是用于计算n阶方阵行列式的一种方法。
下面给出行列式展开公式的证明。
设A为一个n阶方阵，其元素为a_ij，其中1≤i,j≤n。
我们要证明行列式展开公式：det(A) = a_11 * A_11 + a_12 * A_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * A_1n其中，A_ij表示元素a_ij的代数余子式。
证明过程如下：1. 首先，我们将A的n阶行列式拆分成n个部分，每个部分都以第一行的一个元素a_1j为基础。
det(A) = a_11 * B_11 + a_12 * B_12 + ... + a_1n * B_1n 其中，B_ij表示将矩阵A的第一行和第j列删除后得到的(n-1)阶方阵。
2. 接下来，我们对每个B_ij应用归纳法。
当n=2时，显然有：B_11 = a_22, B_12 = a_21B_21 = a_12, B_22 = a_11那么det(A) = a_11 * (a_22) + a_12 * (a_21) = a_11 * a_22 - a_12 * a_21，这是二阶方阵的行列式计算公式。
3. 假设对于所有小于n的正整数k，行列式展开公式成立。
我们来看B_11，即删除A的第一行和第一列后得到的(n-1)阶方阵。
根据归纳假设，我们可以将其展开为：B_11 = b_11 * C_11 + b_12 * C_12 + ... + b_1(n-1) * C_1(n-1) 其中，C_ij表示将矩阵A的第一行和第一列删除后得到的(n-2)阶方阵。
4. 然后，我们可以将det(A)展开为：det(A) = a_11 * (b_11 * C_11 + b_12 * C_12 + ... + b_1(n-1) * C_1(n-1))+ a_12 * (b_21 * C_21 + b_22 * C_22 + ... + b_2(n-1) * C_2(n-1))+ ...+ a_1n * (b_n1 * C_n1 + b_n2 * C_n2 + ... + b_n(n-1) * C_n(n-1))5. 接下来，我们观察每一项的乘积。
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x yyx； 2)111111121n n----； 3)121111n n na a xD a xa x---=-.解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xxy y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=按展开. 3)法1 按1r 展开得()112112121223121211(,,,)(,,)(,,).()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x x M x x x x-----==---.将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得111212121.n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，其中1,;0,ij i j i j=⎧=⎨≠⎩当当δ为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨≠⎩当当 显然(,)xy f x y =δ.2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号1,;0,.ij i j i j <⎧=⎨>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则1.ij ji +=ρρ2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列12467,,,,a a a a a中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式122131121(,,,)()()()(,,)().n n n j i i j nV a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=-∏例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcd b b acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++ .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵；2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++ .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=.。
行列式按行列展开定理讲解学习
行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ija 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积：ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组：11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
行列式的Laplace展开定理
解
按
1，2
行展开。这两行共组成
C
2 5
= 10
个二阶子式，但其中不为零的只
有 3 个，即
1 M1 = 2
2 1
=
−3 ， M 2
=
1 2
0 2
=
2，M3
=
2 1
0 =4 2
对应的代数余子式为
120
220
020
A1 = (−1)1+2+1+2 2 1 2 = −7 ，A2 = (−1)1+2+1+3 0 1 2 = −6，A3 = (−1)1+2+2+3 0 1 2 = 0。
a11
a21 M M ij = ai−1,1 a i +1,1 M an1
L a1, j−1 L a2, j−1
M L ai−1, j−1 L ai+1, j−1
M L an, j−1
a1, j+1 a2, j+1
M ai−1, j+1 ai+1 , j+1
M an, j+1
L a1n L a2n
M L ai−1,n ； L ai+1,n
行列式的 Laplace 展开定理
一、行列式按一行或一列的展开 我们知道， 若D为n阶行列式，Aij为行列式元素aij的代数余子式，那么对任
意的 i ≠ j ，如下四个等式都成立。
ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + L + ain Ain = D ；
ai1 A j1 + ai2 A j2 + L + ain A jn = 0 ；
行列式展开定理
行列式展开定理行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它是计算行列式的一个有效方法。
行列式是一个与矩阵相关的数值，它对于矩阵的性质和变换具有重要的作用。
行列式展开定理的全称为“按某一行（列）展开”，它是通过一系列代数运算将一个n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的方法。
设A是一个n阶矩阵，其行列式用det(A)表示。
行列式展开定理可以按任意一行或一列展开，我以按行展开为例。
设A的第i行的元素为a[i1]、a[i2]、……、a[in]，则根据行列式展开定理，行列式的展开可以表示为如下形式：det(A) = a[i1]∙A[i1] + a[i2]∙A[i2] + … +a[in]∙A[in]其中A[i]表示经过去掉第i行和第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
我们可以继续展开每个A[i]，直到展开到2阶行列式或者1阶行列式为止。
对于2阶行列式，计算公式为：det(B) = b11∙b22 - b12∙b21其中B是2阶矩阵，b11、b12、b21、b22为矩阵B的元素。
对于1阶行列式，计算公式为：det(C) = c11其中C是一个1阶矩阵，c11为矩阵C的元素。
通过不断展开每个子矩阵，并根据2阶和1阶行列式的计算公式，我们最终可以将n阶行列式的计算转化为一系列的代数计算，从而得到行列式的具体数值。
行列式展开定理的应用非常广泛，例如在解线性方程组、求逆矩阵、计算行列式的值等方面都有重要的作用。
它不仅可以帮助我们更深入地理解矩阵的性质，还能够为我们提供一种高效的计算方法。
总之，行列式展开定理是线性代数中的重要定理之一，它通过一系列代数运算将n阶行列式转化为n-1阶行列式来计算行列式的值，具有广泛的应用价值。
行列式的展开定理
行列式的展开定理
行列式的展开定理是指给定一个n阶行列式A，n≥1，对A进行展开，则A等于其各行中任取一项，乘上对于这一项的代数余子式，按行号排列
的和。
展开定理的主要思想是求解行列式，可以将原本n阶行列式简化为二
阶行列式，逐渐简化，最后变为一阶行列式，其值即为最终求出的行列式值。
展开定理的乘积分配律为：对于一个n阶行列式A，其中的任一一行
乘以一个常数c，那么这个行列式的值就相应乘以一个常数c。
展开定理的符号表示方法为：记A为行/列式，aij表示A的第（i，
j）项。
通常情况下，行列式展开定理表示为：
A=a11|A11|+a12|A12|+…+ain|Ain|，其中|Aij|表示行列式A的第i
行第j列的余子式。
经常使用的展开定理有两种：一类是Sarrus定理，一类是Laplace
定理。
Sarrus定理：3阶行列式可以按照a11,a12,a21,a22,a31,a32的顺序
展开，即A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-
a11a23a32。
Laplace定理：n阶行列式可以按照每行或每列任取一项，乘以这一
项的代数余子式，按行号或列号排列求和。
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a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a13 a14ຫໍສະໝຸດ M32= a21 a23 a24
a41 a43 a44
A32=(-1)3+2M32 =-M32
下页
一、余子式与代数余子式
定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,
= (3n-1 + 3n-2 + + 32 + 3) + 2
3 3n-1 - 1
3n + 1
=
+2=
2
2
下页
例5. 证明范得蒙（Vandermonde）行列式
1 1 1 1
a1 a12 Dn = a1n-3
a2 a22 a2n-3
a3 a32 a3n-3
an an2 = (ai - a j ) ann-3 1 j i n
下页
1 2 34
例2．计算行列式 D = 1 0 1 2 3 -1 -1 0 1 2 0 -5
解： 将某行(列)化为一个非零元后展开
1 2 34 D= 1 0 1 2
3 -1 -1 0 1 2 0 -5
r1 + 2r3 r4 + 2r3
7 0 14 1 0 12 3 -1 -1 0 7 0 -2 -5
余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.
令Aij=(-1)i+jMij， Aij称为元素aij的代数余子式.
再如，求4阶行列式中a13的代数余子式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a22 a24
2.2 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式 定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,
余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.
令Aij=(-1)i+jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.
例如，求4阶行列式中a32的代数余子式
7 14 =(-1)(-1)3+2 1 1 2
7 -2 -5
r1 - r2 r3 + 2r2
6 02 1 12 9 0 -1
=1(-1)2+2 6 2 =-6-18 =-24. 9 -1
下页
0aba
例3. 计算行列式 D = a 0 a b
ba0a aba0
解：D =
b +2 a a b a
1a b a
0 a a-b = (b + 2a) b a a-b
0 b -b
b -b
= b2 (b + 2 a ) ( b - 2 a)
下页
2 1 1 1
-1 2 1 1
例4. 计算行列式 Dn = -1 -1 2 1
-1 -1 -1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 -1 2 1 1 0 2 1 1
解： Dn = -1 -1 2 1 + 0 -1 2 1
-1 -1 -1 2 0 -1 -1 2
1 1 1 1
= 3 + D + D 0 3 2 2
=0 0 3 2
n-1
n -1
n -1
0 0 0 3
= 3n-1 + 3n-2 + + 32 + D2 , ( D2=5 )
-2 3 1
解：按第一行展开
D=a11A11 +a12A12 +a1nA1n =1(-8)+0+(-2)5 =-18.
按第二列展开
D=a12A12 +a22A22 +a32A32
=0 (-1)1+2 1 3 +1 (-1)2+2 1 -2 +3 (-1)3+2 1 -2
-2 1
-2 1
13
=0+1(-3)+3(-1)5 =-3-15 =-18 .
M13= a31 a32 a34
a41 a42 a44
A13=(-1)1+3M13 =M13
下页
二、展开定理
定理1 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应
的代数余子式乘积的和.即
D=ai1Ai1 +ai2Ai2 + + ainAin (i=1, 2, , n)， D=a1jA1j +a2jA2j + + anj Anj (j=1, 2, , n).
a32 - a1a3
a3n-2 - a1a3n-3
a3n-1 - a1a3n-2
1
an - a1 an2 - a1an
ann-2 - a1ann-3 ann-1 - a1ann-2
b +2 a 0 a b
10 a b
= (b + 2 a )
b +2 a a 0 a
1a 0 a
b +2 a b a 0
1b a 0
= (b + 2a )
00 b 0 1 0 ab 1a 0a 1b a0
= (b +2 a) b ( -1 ) 1+3
10b 1aa 1b 0
= (b + 2a) b
10 b
a2n-1 - a1a2n-2 a3n-1 - a1a3n-2
an - a1 an2 - a1an
ann-2 - a1ann-3 ann-1 - a1ann-2
下页
1
0
Dn
=
0
0
0
1
a2 - a1 a22 - a1a2
a2n-2 - a1a2n-3 a2n-1 - a1a2n-2
1
a3 - a1
定理2 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元
素的代数余子式乘积的和等于零.即
ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn =0 (i j)， a1iA1j+a2iA2j+ + ani Anj =0 (i j).
下页
三、利用展开定理计算行列式
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
a1n-2 a2n-2 a3n-2 ann-2
a1n-1 a2n-1 a3n-1 ann-1
证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得
1
1
1
1
0
Dn
=
0
0
0
a2 - a1
a3 - a1
a22 - a1a2
a32 - a1a3
a2n-2 - a1a2n-3 a3n-2 - a1a3n-3
1 0 -2 D= 1 1 3
-2 3 1
解：按第一行展开
D=a11A11 +a12A12 +a13A13
=1(-1)1+1 1 3 +0(-1)1+2 1 3 +(-2)(-1)1+3 1 1
31
-2 1
-2 3
=1(-8)+0+(-2)5 =-18.
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例1．分别按第一行与第二列展开行列式
1 0 -2 D= 1 1 3