38 数列的求和-艺考生文化课百日冲刺

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高中数学考前归纳总结数列求和的常用方法

一．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+，222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2n n n +++++=例1、已知{}n a 是首项为1的等比数列，若n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，求数列1{}na 的前n 项和n S 。

解析：若1q =，则由369S S =，得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由369S S =，得9×a 11－q 31－q ＝a 11－q 61－q，解得q ＝2.故1112n n n a a q --==，则111()2n n a -=. 于是数列1{}na 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为111[1()]1222()221212n n n n S -⨯-==-⨯=--。

练习：（1）等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=_____（答：413n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。

二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是132********123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制120052)11111(个转换成十进制数是_______（答：200521-）二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、数列{(1)}nn -的前2 010项的和2010S 为 ( ) A ．－2 010 B ．－1 005 C ．2 010 D ．1 005解、法一： S 2 010＝－1＋2－3＋4－…－2 007＋2 008－2 009＋2 010＝－(1＋3＋5＋…＋2 009)＋(2＋4＋6＋…＋2 010)＝－1 005×2 0102＋1 005×2 0122＝1 005.法二： S 2 010＝－1＋2－3＋4－5＋6－…－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 009＋2 010) ＝1005111111005++++⋅⋅⋅+=个练习：求：1357(1)(21)nn S n =-+-+-+--（答：(1)nn -⋅）三、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法），如例3、已知1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数， 12(0)()()n a f f f n n=+++⋅⋅⋅+ *1()(1)()n f f n N n-+∈ ，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n －1 B ．a n ＝n C ．a n ＝n ＋1 D ．a n ＝n 2解析：∵1()()12F x f x =+-是奇函数， ∴()()F x F x -=-．即11()1()122f x f x --=-++，∴11()()222f x f x -++=.即只需m ＋n ＝1，则f (m )＋f (n )＝2，而12(0)()()n a f f f n n =+++⋅⋅⋅+1()(1)n f f n-+ ① 11(1)()()(0)n n a f f f f n n-=++⋅⋅⋅++ ② ①＋②，得112[(0)(1)][()()][(1)(0)]2(1)n n a f f f f f f n nn-=++++⋅⋅⋅++=+ ∴a n ＝n ＋1.练习：①求证：01235(21)(1)2nn n n n n C C C n C n +++++=+；②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___ （答：72）四、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 如例4、设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，求数列{a n b n }的前n 项和S n 。

艺考生文化课百日冲关答案

艺考生文化课百日冲关答案随着文化课在艺术类录取中所占的比重越来越高，很多艺术生在集训时也没有落下文化课。

但是由于艺术生的文化课底子薄，如何快速提分成为了摆在艺术生面前的一大难题。

并且，在集训时，很多专业课培训机构没有配备文化课老师，学生只能靠自学，学习效率和效果得不到保障。

针对该问题，长期从事艺术生文化课教学的刘老师给大家提出三点建议。

一、合理分配集训时间专业课、文化课同步学习以往的艺术生在集训时往往只学习专业课，完全放弃文化课的复习。

把文化课放在艺考后集中复习。

这样的考生，在艺考后复习文化课时才发现早已跟不上复习进度，知识点出现严重断层。

太多的经验和教训告诉我们，集训时一定要同步复习文化课。

整天抱怨说专业课太多，时间不够用的同学，只是给自己找的“为赋新词强说愁”的理由。

如果一个培训机构不给学生留出文化课的复习时间，这样的培训机构只能说还不懂艺考，或者说是以牺牲学生文化课的代价来提高机构的专业课过关率。

告诫各位考生，无论多忙，每天一定要挤出2-3个小时的文化课复习时间，平时的点滴积累往往比临时抱佛脚效果要好的多。

二、各科复习规划安排集训时，建议各科按以下原则复习：每天必看科目：政治、历史、地理、英语，政史地这三科大多以记忆性知识为主，所以，利用集训时的零散时间完全可以随时复习。

英语主要是背单词，把背单词养成一种习惯，可以使用口袋单词本，随时随地记单词。

数学由于解题时间较长，考生最好在安静的环境中复习，所以建议一周复习一次数学科目。

语文可以每天读读文言文，不需要做题，能把文言文的大概意思理解透就可以，毕竟在高考试卷中，文言文所占分值较大。

三、艺考后文化课复习安排艺考后的三个月是艺术生提分的黄金时期，这三个月的复习效果直接决定高考的成功与否。

建议考生们考完试以后，迅速调整状态，以最快的适应程度投入到文化课复习中来。

由于复习时间较短，大而全的复习模式已经不适应该阶段复习模式，考生们可以使用艺考生文化课百日学案，直抓重点复习，以达到快速提分的目的。

2020高考数学艺考生冲刺一本通课件：第14讲数列的通项与求和

知知识识梳梳理理典例变式基础训练能力提升真题演练
(5)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。
常见的裂项技巧:
①1
��(��+1)
=
1 ��
−
��+1 1.
②1
��(��+2)
知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练
【解】(1)当 n=1 时,a1=S1=1;
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=��22+�� − (��-1)22+(��-1)=n. a1 也满足 an=n,故数列{an}的通项公式为 an=n.
(2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(-1)nn.
适合此等式.所以
an=
-1,�� = 1, 2��-1,�� ≥
2.
知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练
题型三数列求和 (一)分组与并项求和【例 3】 (2019·黄山模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=��22+��,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和.
(4)Sn 与 an 的关系
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,则
an=
��1,�� = 1, �� -��-1,��
≥
2,这个关系式对任意数列均成立.
知知识识梳梳理理典例变式基础训练能力提升真题演练

高考数学艺体生百日突围专题数列的通项与求和(综合篇含答案)

【高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题三数列的通项与求和数列的通项【背一背根底知识】：假设数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.2．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-． 3．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== 4.等差数列性质：假设n S 是公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和，那么 ①()n m a a n m d =+-；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a +=+； ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列；5.等比数列性质：假设n S 是公差为d 的等比数列{n a }的前n 项和，那么 ①n m n m a a q -=；②假设*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，那么m n p q a a a a = ③232,,,n n n n n S S S S S --仍是等差数列〔其中1q ≠-或n 不是偶数〕；【讲一讲根本技能】 1. 必备技能：〔1〕等差数列的断定：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔2〕等比数列的断定：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n 项和公式法；作解答题时只能用前两种方法〔3〕数列通项公式求法：①观察法：对数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系构造，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.②累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+=1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数③累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数④构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+〔其中p 是常数〕型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.⑤利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项对递推公式为nS 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适宜n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适宜n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2. 典型例题例1 在数列{}n a 中，11,a =()11,2.1n n n a a n a --=≥+(1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S .【分析】〔1〕递推式，要求通项公式，我们应该把进展变形，看能否构成等差〔比〕数列，由111n n n a a a --=+得1111111n n n n a a a a ---+==+，从而新数列1{}na 是等差数列，通项可求；〔2〕根据〔1〕求出2n n a a +=1(2)n n +=111()22n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕由于()11,21n n n a a n a --=≥+，那么11111111111n n n n n n a a a a a a ----+==+⇔-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差1的等差数列，那么1n n a =，所以n a =()1,n N n *∈.例2例3 在数列{}n a 中，n n a n na 21+=+，且21=a . (1)求数列{n a }的通项公式； (2)求数列{2n n a a +}的前n 项和n S 【分析】〔1〕由n n a n n a 21+=+得+12n n a na n =+，即111n n a n a n --=+，故2113a a =，3224a a =， , 111n n a n a n --=+,用累乘法得12(1)n a a n n =+，故4(1)n a n n =+；〔2〕根据〔1〕求出n a =4(1)n n +=114()1n n -+，利用拆项消去法即可求出该数列的前n 项和. 【解析】〔1〕∵n n a n n a 21+=+，∴+12n n a na n =+， ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅122142143(1)n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅⋅=++. 〔2〕因为n a =4(1)n n +=114()1n n -+，所以n S =11111114(1)4()4()4()223341n n -+-+-++-+=41n n +.例 3 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*N n a S n n ∈-=，数列{}n b 中，11b ，121n n n b b b +=+．〔*n N ∈〕〔1〕求数列{}n a ,{}n b 的通项n a 和n b 〔2〕设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】〔1〕由22n n S a =-，可得当n ≥2时，1122n n S a --=-，两式相减可得12n n a a -=，从而可知数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得2n a n =；根据121nn n b b b +=+，两边取倒数，可得数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求{}n b 的通项；〔2〕()212n nn na c nb ==-⋅，所以数列{}n c 的前n 项和n T 利用错位相减法可求数列{}n c 的前n 项和.【解析】【练一练趁热打铁】{}n a 中，其前n 项和n S 满足：11=S ，1221--=n n S n n S (n ≥2).求数列{a n }的通项公式.【答案】2(1)n a n n =+．【解析】2.设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2)数列{}3log n n a a +的前n 项和n T . 【答案】〔1〕13n n a =；〔2〕nT =11(1)(1)232n n n +--．【解析】〔1〕由题意，2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=，∴1113333n n n n a --=-=，13n n a =，又113a =适宜上式，∴13n n a =，*n N ∈．〔2〕由〔1〕3log n na a +=13nn -，所以n T =211112333n n -+-++-=211112333n n +++----=11(1)(1)331213n n n -+--=11(1)(1)232n n n +--. 数列的求和【背一背根底知识】1. 数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =+++．2．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=． 3．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩，【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时假设有公式可提，并且剩余项的和易于求得，那么这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n 项的差，通过相加过程中的互相抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，其中{a n }假设为等差数列，那么1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1.常见的拆项公式： ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1； ②1nn ＋k＝1k (1n －1n ＋k )； ③12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)； ④1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．例1数列{}n a 满足11a ＝，1()(1)1n n na n a n n ＋＝＋＋＋，*n ∈N ．〔1〕证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；〔2〕设3n n n b a ={}n b 的前n 项和n S ．【分析】〔1〕将等式两边同时除以(1)n n +即可使问题得证；〔2〕先由〔1〕得出n b 的表达式，再用错位相减法即可求解．【解析】例2正项数列{n a }，{n b }满足：，{n b }是等差数列，且对任意正整数n ，都有成等比数列．〔1〕求数列{n b }的通项公式；〔2〕求n S ＝12111na a a +++．【分析】〔1〕因为成等比数列，所以，由得，解得：，所以公差，数列的通项公式为；〔2〕由知，，所以，采用裂项相消的方法，即可求出．【解析】〔1〕∵对任意正整数n ，都有成等比数列，且数列{n a }，{n b }均为正项数列， ∴n a ＝〔n∈N *〕．由a 1＝3，a 2＝6得又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝，b 2＝，∴数列{b n }是首项为，公差为的等差数列．∴数列{b n }的通项公式为n b ＝〔n∈N *〕．〔2〕由〔1〕得，对任意n∈N *，＝(1)(2)2n n ++，从而有，∴例3数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-. 〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设{}n a 的前n 项和为n T ，求n T .【分析】〔1〕由题知112()n n a n a n +++=+，所以{n a n +}是首项为2公比为2，利用等比数列的通项公式即可求得数列{n a n +}的通项公式，从而即可求得数列{}n a 的通项公式．〔2〕采用分组求和法求和．【解析】【练一练趁热打铁】1. 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，n ∈*N ． (1)求数列{}n a 的通项；〔2〕设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】〔1〕13n na =；〔2〕1213344n n n S +-=⋅+．【解析】2. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12--=n n na S n n ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且3352b T T +=．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n M ，求证：4151<≤n M ．【答案】〔1〕4-3n a n =；〔2〕见解析．【解析】3. {}n a 是各项均为正数的等比数列，31a +是2a 与4a 的等差中项且212n n n a a a ++=+．〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2(1)n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕12n n a -=；〔Ⅱ〕1122+12n n n --+．【解析】〔20*5=100分〕1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=1341,,a a a 成等比数列．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔Ⅰ〕21n a n =+；〔Ⅱ〕 22 4.n n T n +=+-【解析】〔Ⅰ〕依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ ,解得13,2.a d =⎧⎨=⎩ 因此1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+．〔Ⅱ〕依题意，1212212+=+⨯==+n n n n a b ． 12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++ =23122 (2)n n +++++4(12)12n n -=+-22 4.n n +=+- 2. 设数列{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有22n n S a n =-．〔1〕设2n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，〔2〕求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕详见解析〔2〕2(1)24+(1)n n T n n n +=-++【解析】由①—②得：2341212+12+12++122n n n T n ++'-=⨯⨯⨯⨯-⨯22242n n n T n ++'-=--⨯2(1)24n n T n +'=-+由123n T n ''=++++可得(1)2n n n T +⋅''= +n n T T '=2n T ''=2(1)24+(1)n n n n +-++3. 数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= 〔1〕求证：数列{}n a 是等差数列；〔2〕设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕21n n + 【解析】4. 数列{}n a 满足11=a ，*++∈=-N n n a a na n n n ,11．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设nnn a b 2=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求n T ．【答案】〔1〕)(1*∈=N n na n ；〔2〕22)1(1+⋅-=+n n n T ．【解析】5. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N *=-∈．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设+1131,log 1n n n n nb b bc a n n ==++{}n c 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕()1=3n n a n N *∈；〔2〕11n -+ 【解析】〔1〕当1n =时，由21n n S a =-，得：11=.3a由21n n S a =- ① ()-1-1212n n S a n =-≥ ② 上面两式相减，得：()11=23n n a a n -≥所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得：()1=3n n a n N *∈。

2019艺考生文化课冲刺点金-数学课件：第三章专题二数列

2 1 ( 1)

2. 3
2
3.已知等比数列{an}的公比为q=

1 2
.
(2)证明:对任意k∈N+,都有ak,ak+2,ak+1 成等差数列.
(2)证明: 对任意的k N ,
2ak2 (ak ak1) 2a1q k1 (a1q k1 a1q k ) a1q k1(2q 2 q 1),
(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.
(2)因为数列{an}的公差d 1, 且S5 a1a9, 所以5a1 10 a12 8a1;即a12 3a1 10 0 , 解得 5 a1 2.
5.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
解得k 6或k 1(舍去),因此k 6.
3.已知等比数列{an}的公比为q= 1

1 2
.
(1)若a3= 4 ,求数列{an}的前n项和;
(1)解
:由a3

a1q 2

1 4
及q

1, 2
得a1
1,
1[1 ( 1)n] 2 ( 1)n1
所以数列{an}的前n项和Sn
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
(2)由(1)知,当d 0时, an 11 n,
①当1 n 11时, an 0,
| a1 | | a2 | | a3 | | a n | a1 a2 a3 a n
n(10 11 n) 2
所以有an 2n1, n N*.

专题11 数列求和及其综合应用-艺体生考前冲刺专项讲解与训练 .

2019年高三艺术生考前专项解读与训练专题11 数列求和及其综合应用裂项相消求和[核心提炼]1．常见的裂项类型 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ； (3)1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1； (4)14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (5)n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －1－1n ·2n . 2．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式a n 拆分成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2019·福建质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝2，S 5＝15，数列{b n }的前n 项和T n 满足T n ＝(n ＋5)a n .(1)求a n ；(2)求数列{1a n b n}的前n 项和．【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d .依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2S 5＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝25a 1＋10d ＝15，解得a 1＝d ＝1.所以a n ＝n .(2)由(1)得，a n ＝n ，所以T n ＝n (n ＋5)．当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋5)－(n －1)(n ＋4)＝2n ＋4，当n ＝1时，b 1＝T 1＝6也满足上式，所以b n ＝2n ＋4(n ∈N *)．所以1a n b n ＝1n （2n ＋4）＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)．设{1a n b n }的前n 项和为P n ，则当n ≥2时， P n ＝1a 1b 1＋1a 2b 2＋…＋1a n b n ＝14[(1－13)＋(12－14)＋…＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)]＝14[(1＋12＋13＋…＋1n )－(13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2)]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝38－14（n ＋1）－14（n ＋2）. 当n ＝1时，P 1＝1a 1b 1＝16，也满足上式．综上，P n ＝38－14（n ＋1）－14（n ＋2）.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项拆分成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和．【对点训练】(2019·广西三市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n，则c n ＝2n ＋12n . 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n＝1，2进行验证．【对点训练】已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*)．(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，有T n＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，2T n＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，上述两式相减，得－T n＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1＝12×（1－2n）1－2－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16.得T n＝(3n－4)2n＋2＋16.(2)设b n＝2a n＋(－1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．10．(2019·张掖模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝－3S n ＋4，b n ＝－log 2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式与数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝b n 2n ＋1，其中n ∈N *，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ＋n ＋22n 的值．【解析】：(1)由题意知a 1＝1，因为a n ＝－3S n ＋4，所以a n ＋1＝－3S n ＋1＋4.两式相减并化简得a n ＋1＝14a n ，所以a n ＝(14)n －1. b n ＝－log 2a n ＋1＝－log 2(14)n ＝2n . (2)由(1)得，c n ＝n 2n . T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，① 12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1. 所以T n ＝2－n ＋22n . 可得T n ＋n ＋22n ＝2. [能力提升]1．(2018.湖南五市十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n ＞m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n ＜a nB ．S n ≤a nC ．S n ＞a nD ．大小不能确定【答案】C【解析】若a 1＜0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d ＞0，若d ＜0，数列是递减数列，则S m ＜a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1＜0，d ＞0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m ＞0，S m ＞0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n ＞a n .故选C.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n .【解析】：(1)设等差数列{a n }的公差是d .因为a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，所以d ＝－3，所以a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)因为数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，所以a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1，所以b n ＝3n －2＋q n －1.所以S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝n （3n －1）2＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)，故当q ＝1时，S n ＝n （3n －1）2＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝n （3n －1）2＋1－q n1－q. 3．(2018·广东五校协作体第一次诊断)数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；学-科网(2)设b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列 {b n }的前n 项和T n . 【解析】：(1)因为S n ＝2a n －a 1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－a 1，所以a n ＝2a n －2a n －1，化为a n ＝2a n －1.由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列得，2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，所以2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得a 1＝2.所以数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2.所以a n ＝2n .4．(2018·郑州质量预测(二))已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 3(－a n ＋1)，设数列{1b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，求证：T n ＜34. 【解析】：(1)由S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)，得S n －1＝12a n ＋n (n ≥2，n ∈N *)，两式相减，并化简，得a n ＋1＝3a n －2，即a n ＋1－1＝3(a n －1)，又a 1－1＝－2－1＝－3≠0，所以{a n －1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，所以a n －1＝(－3)·3n －1＝－3n .故a n ＝－3n ＋1.(2)证明：由b n ＝log 3(－a n ＋1)＝log 33n ＝n ，得1b n b n ＋2＝1n （n ＋2）＝12(1n －1n ＋2)， T n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32（n ＋1）（n ＋2）＜34.。

【配套新教材】高考数学复习人教版课本同步课件：专题六数列第四讲数列求和(核心课件)

常用的数学思想方法有：
（1）函数思想方法：根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建函数的思想如定
义域、值域、单调、奇偶、周期、最值、对称、范围和图像的交点个数等的研究；
（2）方程思想方法：通过列方程（组）建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程（组
）实现化未知为已知，从而实现解决问题的目的；（3）数形结合的思想：
D.121
[解析]
试题分析:根据已知条件,由于数列an 的通项公式是 an
1
,
n n1
则可知
an n 1 n Sn = n+1 n n n 1 2 1 n 1 1
由于前 n 项和为10 ,
则可知 n 1 1 10n 1 121n 120 ,故选 C
[典型例题]
3.设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，已知 a1 3, an1 2Sn 3(n N*) ， bn 2n 1 an ，
难点：递推公式向通项公式的转化.
考点1：数列求和核心知识整合
1.公式法（1）直接用等差、等比数列的求和公式求解. （2）掌握一些常见的数列的前 n 项和公式.
1 2 3 n n(n 1) ； 2
2 4 6 2n n2 n ；
1 3 5 (2n 1) n2 ；
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ； 6
1.
又 f 6 x f (4 x) 1 f 2 x 2 f x 3 f x 3，
f x f 6 x 3，
g x
g 6
x
f
x cos x
2
f
6
x
cos3π
πx 2
3.
令
S1Байду номын сангаас

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命题热点集训（三十八）数列的求和
1．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若,3163=S S 则=12
6s s 103.A 31.B 81.C 9
1.D 2．已知数列}{n a 的前n 项的乘积为*),(32N n T n n ∈=则数列}{n a 的前n 项的和为
)13(23.-n A )13(29.-n B )19(83.-n C )19(8
9.-n D 3．设}{n a 是公比为q 的等比数列，n s 是其前n 项和，若}{n s 是等差数列，则q 为
1.-A 1.B 1.±C 0.D
4．数列}{n a 中，,)1(1+=n n a n 其前n 项和为,10
9则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为
10.-A 9.-B 10.C 9.D
5．若数列}{n a 的前n 项和)142()1(2++-=n n S n n *),(1N n ∈-且,)1(n n n b a -=数列}{n b 的前n 项和
为,n T 则10T 等于
114.0A 225.B 115.C 44
5.D 6．已知*),(11
23N n n a n ∈-=
记数列}{n a 的前n 项和为,n S 则使0>n s 的n 的最小值为 10.A 11.B 12.C 13.D
7．若数列}{n a 是正项数列，且=+++n a a a 21*),(32N n n n ∈+则13221++++n a a a n = 8．设n s 是等差数列}{n a 的前n 项和，若点).0,0(O ),(),(),(p m h l S p C S m B S l A （其中),p m l <<且向量OC AB 与共线，则L 、m 、p 之间的关系是
9．已知数列n n S a },{是其前n 项和，且+=-17n n S a .2),2(21=≥a n
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设n n n n T a a b ,log log 1122+⋅=是数列}{n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．
10.已知数列}{n a 的前n 项和是,n S 且n n a S n n (2-=⋅∈*)N
(1)证明：数列}1{+n a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式；
(2)记,11++=
n n n n a a a b 求数列}{n b 的前n 项和⋅n T。

38 数列的求和-艺考生文化课百日冲刺

最新高考数学艺术生百日冲刺专题数列的综合应用测试题

高中数学 考前归纳总结 数列求和的常用方法