《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第7章 立体几何-3
且 P∈D1F⊂平面 A1ADD1， ∴P∈平面 ABCD 且 P∈平面 A1ADD1. 又∵平面 ABCD∩平面 A1 ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA 三线共点．
第七章
立体几何
第三节
空间点、直线、平面之间的位置关系
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
开卷速查
考
1.理解空间直线、平面位置关系的定义．
纲 2.了解可以作为推理依据的公理和定理． 导 学 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间 图形的位置关系的简单命题.
课前学案
基础诊断
解析：若三条线段共面，如果 AB，BC，CD 构成等腰三角形， 则直线 AB 与 CD 相交，否则直线 AB 与 CD 平行；若不共面，则直 线 AB 与 CD 是异面直线．
答案：D
4．如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB， AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为__________．
答案：5
课堂学案
考点通关
考点例析 通关特训
考点一
平面的基本性质及应用
Hale Waihona Puke 【例 1】 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点，求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
证明：(1)如图，连接 CD1，EF，A1B， ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， 1 ∴EF∥A1B 且 EF＝ A1B. 2 又∵A1D1 綊 BC，
(2)平行公理： 8 __________的两条直线互相平行——空间平行线 公理4： □ 的传递性． (3)等角定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 __________. 9 □
(4)异面直线所成的角： ①定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线 10 ______________叫做异 a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 □ 面直线a与b所成的角(或夹角)． 11 __________. ②范围：□
夯基固本 基础自测
1．平面的基本性质 名称 图示 文字表示 如果一条直线上 1 ____在一个 的□ 公理1 平面内，那么这 条直线在此平面 内 A∈l，B∈l， 且A∈α，B∈α 2 ⇒□ __________ 符号表示
公 理 2
3 __________ 过□ 上的三点，有且 只有一个平面
A、B、C三点不 共线⇒有且只有 一个平面α，使 A、B、C∈α
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面 α. ∴E，F，C，D1∈α，即 E，C，D1，F 四点共面． 1 (2)由(1)知，EF∥CD1，且 EF＝2CD1， ∴四边形 CD1FE 是梯形． ∴CE 与 D1F 必相交．设交点为 P， 则 P∈CE⊂平面 ABCD，
3．直线与平面的位置关系 位置关系 直线l在平面 α内 直线l与平面 α相交 直线l与平面 α平行 图示 符号表示 公共点个数
12 ________ □ 13 ________ □ 14 ________ □ 15 ________ □ 16 ________ □ 17 ________ □
4.平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平 行 两平面相 交 图示 符号表示 18 ________ □ 公共点个数 19 ________ □
20 ____＝l □
无数个(这些公共点 均在交线l上)
答案：
2 种方法——异面直线的判定方法 (1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面 内不经过该点的直线是异面直线． (2) 反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不 可能共面，从而可得两直线异面．
3 个作用——3 个公理的作用 (1)公理 1 的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直 线在平面内判断直线上的点在平面内； ④由直线的直刻画平面的平． (2)公理 2 的作用：公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断 “直线共面”的方法． (3)公理 3 的作用： ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线．
)
①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两 相交的三条直线最多可以确定三个平面 A．0 个 C．2 个 B．1 个 D．3 个
解析：①错误，②③正确． 答案：C
3． 已知空间中有三条线段 AB， BC 和 CD， 且∠ABC＝∠BCD， 那么直线 AB 与 CD 的位置关系是( A．AB∥CD B．AB 与 CD 异面 C．AB 与 CD 相交 D．AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 )
解析：连接 B1D1，D1C， 则 B1D1∥EF， 故∠D1B1C 为所求，又 B1D1＝B1C＝D1C， ∴∠D1B1C＝60° .
答案：60°
5．平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中既与 AB 共面又与 CC1 共面 的棱的条数为__________．
解析：如图，与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC1 平行的棱有 AA1，BB1；与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD， C1D1，故符合条件的棱共有 5 条．
1．已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b( ) A．异面 C．不可能平行 B．相交 D．不可能相交
解析：由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线， 但不可能为平行直线，若 b∥c，则 a∥b.与 a，b 是异面直线相矛盾．
答案：C
2．下列命题正确的个数为(
如果两个不重合的平 公 理3 面有一个公共点，那 P∈α，且 4 么它们有且只有□ P∈β⇒α∩β
____条过该点的公共 ＝l，且P∈l 直线
2.空间两直线的位置关系 (1) 5 □ 直线：同一平面内，有且只有一 共面直线 个公共点； 6 直线：同一平面内，没有公共点； □ 异面直线：不同在□ 7 一个平面内，没有公共点.
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【人教课标A版】【理科数学】高考一轮复习精品课件第七单元 立体几何
第七单元 │ 考纲要求
(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不 要求记忆公式)． 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以 作为推理依据的公理和定理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直 线上所有的点都在此平面内． 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
第七单元 │ 使用建议
(3)对本单元的重点内容是空间线面的平行与垂直、空间角 的计算，第39、40讲专题讲解，还在第42讲中讲解应用空间向 量解决线面位置关系，第43讲研究空间角与距离的求法． 2．教学指导 立体几何主要是培养学生的空间想象能力、推理论证能力、 运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，本单元重点 是空间的元素之间的平行与垂直关系、空间几何体的表面积与 体积，并关注画图、识图、用图的能力的提高，在复习时我们 要注重以下几点： (1)立足课标，控制难度．新课标对立体几何初步的要求， 改变了经典的“立体几何”把推理论证能力放在最突出的位置，
第七单元 │ 考纲要求
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，
那么这两个角相等或互补．
(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．
理解以下判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线 与此平面平行．
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两
第七单元 │ 命题趋势
其中线面位置关系的判定又常与命题、充要条件等有关知识融合在 一起进行考查，在几何体表面积与体积为载体的试题中渗透函数、 方程等数学思想方法；二是解答题以空间几何体为载体，考查立体 几何的综合问题．主要是位置关系的判定、空间角与距离的计算， 一般都可用几何法和向量法两种方法求解． 预测2012年新课标高考，对立体几何考查的知识点及试题的难 度，会继续保持稳定，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断 及几何体的表面积与体积的计算，应用空间向量处理空间角与空间 距离；而三视图作为新课标的新增内容，主要形式是在三视图为载 体的试题中融入简单几何体的表面积与体积的计算，也可能会出现 在解答题中与其他知识点交汇与综合．
高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲作业课件理
别是AC和PC的中点，∴OE∥PA，OE＝
1 2
PA＝1，则∠BEO即为异面直线
PA，BE所成的角，即∠BEO＝45°，
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第二十页，共二十五页。
解析
易证PO⊥平面ABCD，OB⊥平面PAC，所以PO⊥OB，△BOE是等腰直
角三角形，所以OB＝OE＝1，BC＝ 2，PO＝ PB2－OB2＝ 3，所以四棱锥
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第十一页，共二十五页。
解析
④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下： 取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共 面，设为α， 可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β. ∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合， ∴P，Q，R，S四点共面．故选D.
A组 基础关 1．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A， B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A C．点C但不过点M 答案 D
B．点B D．点C和点M
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第一页，共二十五页。
答案
解析 因为M∈AB⊂平面ABC，C∈平面ABC.M∈l⊂β，C∈β，所以 γ∩β＝直线CM.
在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线( )
A．不存在
B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有无数条
答案 D
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第八页，共二十五页。
答案
解析 在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与 CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有 不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，如图：
高考数学一轮总复习新课标通用课件：第7章 立体几何 第3讲
3．如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD －A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角 的余弦值为 导学号 25401653 ( )
A.15
B．25
3 C.5
D．45
[答案] D
[解析] 连接 BC1，易证 BC1∥AD1，则∠A1BC1 即为异面 直线 A1B 与 AD1 所成的角．连接 A1C1，由 AB＝1，则 AA1＝2， A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，
• 公理3：如一果条 两个不重合的平面有一个公共点 ，那么它们有且只有____________过该点的 公共直线．
2．直线与直线的位置关系
共面直线__平__行___ (1)位置关系的分类异面直线： _不相__同交__在___任__何____
一个平面内
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作 直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的__锐__角__(_或__直__角__)______ 叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角)．
[分析] (1)先判断直线 GH、MN 是否共面，若不共面，再 利用异面直线的判定定理判定．
• [解析] (1)图①中，直线GH∥MN； • 图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN
， • 因此直线GH与MN异面； • 图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与
MN共面； • 图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN， • 因此GH与MN异面． • 所以图②④中GH与MN异面．
• (2)方法一：在EF上任意取一点M ，直线A1D1与M确定一个平面， 这个平面与CD有且仅有1个交点 N，当M取不同的位置就确定不 同的平面，从而与CD有不同的交 点方N法，二而：直在A线1DM1上N任与取这一点3条P，异过面点P直与直线EF作一个平
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：立体几何
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2.下列四个命题中，正确的是 A.各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱 B.对角面是全等矩形的六面体一定是长方体 C.有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
√D.长方体一定是直四棱柱
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则四棱锥C－BFNM与D－AEHG是全等的两个 四棱锥， ∵NM⊥AB，则NM⊥EF， 又CN⊥EF，NM∩CN＝N， ∴EF⊥平面CMN，∴EF⊥平面DHG， ∵D∈平面DHG，A∉平面DHG，则AD与EF不垂直，故A错误； 三棱柱CNM－DHG为直三棱柱， 几何体AED－BFC的体积与三棱柱CNM－DHG体积相同，
4.已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命 题中正确的是
√A.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β C.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β D.若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
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√B.π6
π
π
C.4
D.3
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设 椭 圆 与 圆 柱 的 轴 截 面 如 图 所 示 ， 作 DE⊥BC 交 BC 于 点 E ， 则
∠CDE为“切面”所在平面与底面所成的角，设为θ.
设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，
√D.①是真命题，②是真命题
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2.下列四个命题中，正确的是 A.各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱 B.对角面是全等矩形的六面体一定是长方体 C.有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
√D.长方体一定是直四棱柱
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则四棱锥C－BFNM与D－AEHG是全等的两个 四棱锥， ∵NM⊥AB，则NM⊥EF， 又CN⊥EF，NM∩CN＝N， ∴EF⊥平面CMN，∴EF⊥平面DHG， ∵D∈平面DHG，A∉平面DHG，则AD与EF不垂直，故A错误； 三棱柱CNM－DHG为直三棱柱， 几何体AED－BFC的体积与三棱柱CNM－DHG体积相同，
4.已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命 题中正确的是
√A.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β C.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β D.若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
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√B.π6
π
π
C.4
D.3
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设 椭 圆 与 圆 柱 的 轴 截 面 如 图 所 示 ， 作 DE⊥BC 交 BC 于 点 E ， 则
∠CDE为“切面”所在平面与底面所成的角，设为θ.
设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，
√D.①是真命题，②是真命题
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【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第7章 7.3 空间直线、平面的平行
(1)在AC上求作点P,使 PE∥平面ABF,请写出作法并说明理由;
(2)求三棱锥A-CDE的高.
解 (1)取BC的中点G,连接DG,交AC于点P,连接PE,此时P为所求作的点,如
图所示.
理由如下:∵BC=2AD,∴BG=AD.
又BC∥AD,∴四边形BGDA为平行四边形,
∴DG∥AB,即DP∥AB.
9.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交
直线,那么这两个平面平行.
10.垂直于同一条直线的两个平面平行.
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.
( × )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直
面内.
3.过两条异面直线中的一条可以作唯一一个平面与另一条直线平行.
4.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
5.夹在两个平行平面间的与两个平面都相交的平行线段相等.
6.经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行.
7.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
8.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
同理连接B1Q,并延长,与CD也相交于点M.
1
由重心的性质可得 = 3 ,
1
1
所以 = ,所以 PQ∥A1B1.
1
1
=
又因为AB∥A1B1,所以PQ∥AB.
因为PQ⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以PQ∥平面ABC.
1
.
3
解题心得1.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知
2019高考数学(理)一轮复习课件 第七章 立体几何 第3讲 课件
____________过该点的公共直线． 公理 4：平行于同一条直线的两条直线____________．
互相平行
公理 2 的三个推论： 推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类
直线 直线 a 与平面 α 在平 斜交 面外 直线 a 与平面 α 垂直
有且只有一 个公共点
(2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 图形表示 符号表示 α∥ β 公共点 没有公共点
两平 斜交 面相 交 垂直
α∩β＝l α⊥ β 且 α∩β＝a
有一条公共 直线
1．辨明三个易误点 (1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不 要理解成“不在同一个平面内”． (2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的 条件． (3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
②③
[解析] 经过不共线的三点可以确定一个平面，所以①不正确； 两条平行线可以确定一个平面，所以②正确；两两相交的三 条直线可以确定一个或三个平面，所以③正确；命题④中没 有说清三个点是否共线，所以④不正确．
平面的基本性质 [典例引领] 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别 是 AB 和 AA1 的中点．求证：E、C、D1、F 四点共面．
A．30° C．60°
B．45° D．90°
[解析] 连接 B1D1，D1C，则 B1D1∥EF， 故∠D1B1C 为所求，又 B1D1＝B1C＝D1C， 所以∠D1B1C＝60° .
3．(2016· 高考山东卷)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内．则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交” 的(
高考数学理科(人教A)一轮复习课件 第七章 立体几何7-3
• 规律方法 (1)证明点或线共面问题，一般 有两种途径：①首先由所给条件中的部分 线(或点)确定一个平面，然后再证其余的 线(或点)在这个平面内．②将所有条件分 为两部分，然后分别确定平面，再证两平 面重合．
• (2)证明点共线问题，一般有两种途径： ①先由两点确定一条直线，再证其他各点 都在这条直线上；②直接证明这些点都在 同一条特定直线上．
• 答案：A
平面的基本性质及应用(师生共研)
• 例1 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中 ，E，F分别是AB和AA1的中点，求证：
• (1)E，C，D1，F四点共面； • (2)CE，D1F，DA三线共点．
证明 (1)如图，连接 CD1，EF，A1B， ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝21A1B.
• A．空间不同三点确定一个平面
• B．空间两两相交的三条直线确定一个平 面
• C．两组对边相等的四边形是平行四边形
• D．和同一直线都相交的三条平行线在同 一平面内
• 解析：A是假命题，当三点共线时，过三 点有无数个平面；B不正确，两两相交的 三条直线不一定共线；C不正确，两组对
• 3．下列命题正确的个数为( )
1．已知在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点， F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且CCFB＝CCGD＝23(如图所示)，求证：三条 直线 EF，GH，AC 交于一点．
证明：∵AEEB＝HAHD＝1， ∴EH∥12BD，EH＝12BD；而CCBF＝CCGD＝23，∴FBGD＝23，且 FG∥BD. ∴四边形 EFGH 为梯形，从而两腰 EF、GH 必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF，EF⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. 同理 P∈平面 ADC， ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上． 故 EF、GH、AC 三直线交于一点．
高三总复习人教A版数学(理)配套课件：第7章 第3讲
5
课前自主导学
6
• 1.平面的基本性质
图形
文字语言
如果一条直线
公理 1
上 的 ________ 在一个平面内， 那么这条直线
在此平面内.
符号语言
A∈l B∈l A∈α⇒l⊂α B∈α
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公理 2
公理 3
图形
文字语言
符号语言
过不在 ___________，有 且只有一个平面.
A，B，C三点不 共线⇒有且只有 一个平面α，使 A∈α，B∈α， C∈α.
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[证明] (1)如图，连接 CD1，EF，A1B， ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝12A1B. 又∵A1D1 綊 BC，
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
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∴A1B∥CD1， ∴EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面 α. ∴E，F，C，D1∈α， 即 E，C，D1，F 四点共面． (2)由(1)知，EF∥CD1，且 EF＝12CD1， ∴四边形 CD1FE 是梯形．
• 2种必会方法 • 异面直线的判定方法：
• (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的 连线和平面内不经过该点的直线是异面直 线．
• (2)反证法：证明两线不可能平行、相4交或证
• 3个必知作用 • 1. 公理1的作用：①检验平面；②判断直线在
平面内；③由直线在平面内判断直线上的点 在平面内． • 2. 公理2的作用：公理2及其推论给出了确定 一个平面或判断“直线共面”的方法． • 3. 公理3的作用：①判定两平面相交；②作两 平面相交的交线；③证明多点共线.
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2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共 直面 线
课前自主导学
6
• 1.平面的基本性质
图形
文字语言
如果一条直线
公理 1
上 的 ________ 在一个平面内， 那么这条直线
在此平面内.
符号语言
A∈l B∈l A∈α⇒l⊂α B∈α
7
公理 2
公理 3
图形
文字语言
符号语言
过不在 ___________，有 且只有一个平面.
A，B，C三点不 共线⇒有且只有 一个平面α，使 A∈α，B∈α， C∈α.
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[证明] (1)如图，连接 CD1，EF，A1B， ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝12A1B. 又∵A1D1 綊 BC，
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
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∴A1B∥CD1， ∴EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面 α. ∴E，F，C，D1∈α， 即 E，C，D1，F 四点共面． (2)由(1)知，EF∥CD1，且 EF＝12CD1， ∴四边形 CD1FE 是梯形．
• 2种必会方法 • 异面直线的判定方法：
• (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的 连线和平面内不经过该点的直线是异面直 线．
• (2)反证法：证明两线不可能平行、相4交或证
• 3个必知作用 • 1. 公理1的作用：①检验平面；②判断直线在
平面内；③由直线在平面内判断直线上的点 在平面内． • 2. 公理2的作用：公理2及其推论给出了确定 一个平面或判断“直线共面”的方法． • 3. 公理3的作用：①判定两平面相交；②作两 平面相交的交线；③证明多点共线.
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2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共 直面 线
高考数学(理)一轮复习课件：第7章 立体几何7-3
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第十二章
选考部分
【跟踪训练】
1．已知：空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的 1 1 点，且 CG＝ BC，CH＝ DC.求证： 3 3 (1)E、F、G、H 四点共面； (2)三直线 FH、EG、AC 共点．
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第十二章
符号语言 定一个平面 α 面 α，使 a⊂α，b⊂α 使 a⊂α，b⊂α 若 P∈α，P∈β，则 α∩β＝a， P∈a，且 a 是唯一的
一点 ， 若点 A∉直线 a，则 A 和 a 确 经过一条直线和直线外的_______ 相交 直线，有且只有一 a∩b＝P⇒有且只有一个平 经过两条_______
平行 直线，有且只有一 a∥b⇒有且只有一个平面 α， 经过两条_______
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第十二章
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小题快做 1.思考辨析 (1)两个平面 α、β 有一个公共点 A，就说 α、β 相交于过 A 点的任意一条直线．( × ) (2)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．( × ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( × )
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第十二章
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3 2．[教材改编]两两相交的三条直线最多可确定________ 个平面． 7 3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________个部分．
个平面 如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线 ———l1 ———l2 ———l
公理 4
平行于同一直线的两条直线平行
l1∥l，l2∥l⇒l1∥l2
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2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________ 相等或互补．
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：空间直线、平面的平行
(2)DF∥l.
由(1)知DF∥平面PBE， 又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l， 所以DF∥l.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.
由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C.
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
如果平面外一条直线与_此__平__面__ 判定
_内___的一条直线平行，那么该 定理
直线与此平面平行
一条直线与一个平面平行，如 性质
果过该直线的平面与此平面_相__ 定理
_交__，那么该直线与交线平行
符号语言 _a_⊄__α_
_b_⊂__α_ ⇒a∥α _a_∥__b_
思维升华
(1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点). ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要 经过已知直线作辅助平面确定交线.
跟踪训练3 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1 上的点.
(1)当DA11DC11等于何值时，BC1∥平面 AB1D1?
当DA11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1. 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形， ∴点O为A1B的中点. 在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点， ∴OD1∥BC1. 又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1. ∴当DA11DC11＝1 时，BC1∥平面 AB1D1.