虚功原理(微分形式的变分原理)
代入虚功原理中, 代入虚功原理中,有
∂V ∑ ∂q δqα = 0 α =1 α
s
即, δV = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
三、虚功原理的应用
例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为 1, 长为 1, 能在 质量为m 长为l 例题 如图所示 匀质杆 转动, 竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动 此杆的 A端 转动 端 用光滑铰链与另一根质量为m 长为 长为l 用光滑铰链与另一根质量为 2,长为 2的匀质杆 AB r 相连. 求处于静平衡时, 相连 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时 两 端有一水平作用力 求处于静平衡时 F 杆与铅垂线的夹角ϕ1和 ϕ2. 1、判断约束类型 、 x O 是否完整约束?是否理想约束 是否理想约束? 是否完整约束 是否理想约束 ϕ 1 l1 2、判断自由度 、 l2 A A 、 B 两点的位置，4个变量 两点的位置，
q1 = ϕ1 , q2 = ϕ 2
r r r r ∂r3 r ∂r1 r ∂r2 +F⋅ Q1 = m1 g ⋅ + m2 g ⋅ l1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y1 = 2 cos ϕ1 ∂x ∂y ∂y = m1 g 1 + m2 g 2 + F 3 l2 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y 2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ 2 2 1 = − m1 gl1 sin ϕ1 − m2 gl1 sin ϕ1 + Fl1 cos ϕ1 x3 = l1 sin ϕ1 + l 2 sin ϕ 2 2 =0
广义平衡方程
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 所满足的方程: 可求出系统处于静平衡时ϕ1，ϕ2所满足的方程
2F tan ϕ1 = (2m + m )g 2 1 tan ϕ = 2 F 2 m2 g
所以
2F ϕ1 = arctan (2m + m )g 2 1 ϕ = arctan 2 F 2 m2 g
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
l1 y1 = 2 cos ϕ1 l2 y 2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ 2 2 x3 = l1 sin ϕ1 + l 2 sin ϕ 2
r r r r ∂r3 r ∂r1 r ∂r2 Q2 = m1 g ⋅ + m2 g ⋅ +F⋅ ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂x3 ∂y1 ∂y2 = m1 g + m2 g +F ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 1 = − m2 gl2 sin ϕ 2 + Fl2 cos ϕ 2 2
=0
虚功原理主要用于求解： 虚功原理主要用于求解： (1)系统的静平衡位置 系统的静平衡位置； (1)系统的静平衡位置； (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的 (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的 关系. 关系.
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 应用虚功原理解题的主要步骤是： 应用虚功原理解题的主要步骤是： (1)明确系统的约束类型 看是否满足虚功原理所要求 明确系统的约束类型, 明确系统的约束类型 的条件； 的条件； (2)正确判断系统的自由度 选择合适的广义坐标； 正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标； 正确判断系统的自由度 (3)分析并图示系统受到的主动力； 分析并图示系统受到的主动力； 分析并图示系统受到的主动力 (4)通过坐标变换方程 将虚功原理化成 通过坐标变换方程, 通过坐标变换方程 的形式, 的形式, 进而得出广义平衡方程 Qα = 0, α = 1,2,L , s. 对有势系, 求出系统的势能V 对有势系 求出系统的势能 后，可通过 ∂V / ∂qα = 0 α = 1,2, L , s 得广义平衡方程; 得广义平衡方程; (5)求解广义平衡方程 求解广义平衡方程. 求解广义平衡方程
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） [法二 先求出广义力 再写出平衡方程 法二] 先求出广义力,再写出平衡方程 法二 s=2, 所以有 个广义力 所以有2个广义力
r r ∂ri Qα = ∑ Fi ⋅ ∂qα i =1
3
α = 1,2
r r r r r r 其中, F1 = m1 g , F2 = m2 g , F3 = F
同理, 若δq1 ≠ 0
∴ δq1 , δq3 ,..., δqs = 0
Qα = 0
Q δqα 相互独立
∴ Q2δq2 = 0 ∴Q2 = 0
推出, 推出
α = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, s
广义平衡方程
虚功原理又可叙述为: 对于受完整的 定常的、 完整的、 虚功原理又可叙述为: 对于受完整的、定常的、 理想约束的力学系统 保持静平衡 力学系统, 静平衡的必要充分条 理想约束的力学系统, 保持静平衡的必要充分条 件是所有的广义力都为零. 件是所有的广义力都为零. 所有的广义力都为零 ∂V 对于主动力均为有势力的有势系, 对于主动力均为有势力的有势系, 有 Qα = − ∂qα ∂V = 0 α = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, s 所以, 所以,广义平衡方程成为
i =1
在直角坐标系中, 在直角坐标系中, 上式写成
∑ (F
i =1
n
ix
δxi + Fiy δy i + Fiz δz i ) = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 必要条件的证明： 必要条件的证明： 当力学系统相对惯性系处于[ 当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时, 平衡时, r r i = 1,2,..., n Fi + FRi = 0 r r r i = 1,2,...n ( Fi + FRi ) ⋅ δri = 0 n r r n r r ∑ Fi ⋅ δri + ∑ FRi ⋅ δri = 0
n
i =1
力学系统的约束是定常的, 力学系统的约束是定常的, 各质点的无限小实位移 必与其中一组虚位移重合, 必与其中一组虚位移重合, 故系统的主动力和约束 力的实功之和也满足上式
n r r r r ∑ Fi ⋅ dri + ∑ FRi ⋅ dri = 0 i =1 i =1 n r n r r r 根据质点系的动能定理 dT = ∑ Fi ⋅ dri + ∑ FRi ⋅ dri = 0 n
OA = l1 , AB = l 2
ϕ2
B
s = 4−2 = 2
q1 = ϕ1 , q2 = ϕ 2
r F
y
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 质量为m的小环 被限制在一个 质量为 的小环P被限制在一个 的小环 半径为R的光滑大圆环上 的光滑大圆环上,大圆 半径为 的光滑大圆环上 大圆 环绕过大环中心的铅垂轴以ω 的角速度均匀转动,以小环为系 的角速度均匀转动 以小环为系 试确定其自由度. 统,试确定其自由度 试确定其自由度 质点在球坐标系中用r, 质点在球坐标系中用 θ,ϕ描述
m1 gδy1 + m2 gδy 2 + Fδx3 = 0
r r r r r r m1g ⋅ δr1 + m2 g ⋅ δr2 + F ⋅ δr3 = 0 x x
6、转化成广义坐标 、
l1 y1 = cos ϕ1 2 l y2 = l1 cos ϕ1 + 2 cos ϕ 2 2 x = l sin ϕ + l sin ϕ
∑ Qα δqα α
=1
s
=0
展开后写成
Q1δq1 + Q2 δq 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Qs δq s = 0
Q δqα 相互独立
∴Q1 = 0 ∴ Q1δq1 = 0
在完整系中, 若 δq1 ≠ 0 完整系中
∴ δq2 ,..., δqs = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
i =1 i =1
对理想约束
0
0
r r ∴ ∑ Fi ⋅ δri = 0
n i =1
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 充分条件的证明： 充分条件的证明： 若系统的主动力虚功之和为零, 若系统的主动力虚功之和为零, 对于受有理想约束的系统
i =1
r r ∑ Fi ⋅ δri = 0 n r i =1 n r r r ∑ Fi ⋅ δri + ∑ FRi ⋅ δri = 0
r=R
ω
θ
r
P R
O 非定常约束
ϕ = ωt + ϕ 0
∴s =1
ϕ1
C1 ( x1 , y1 ) C 2 (x 2 , y 2 )
x
3、分析受力 主动力 、分析受力(主动力 主动力)
r r r m1 g , m 2 g , F
r m1 g A
ϕ2
r m2 g
B
r F
y
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 4、由虚功原理 、 5、建立坐标系 必须是静止坐标系 必须是静止坐标系) 、建立坐标系(必须是静止坐标系
1 F cos ϕ1 − m1 g sin ϕ1 − m2 g sin ϕ1 l1δϕ1 2 广义力
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ + F cos ϕ 2 − m2 g sin ϕ 2 l2δϕ 2 = 0 2
广义力
由于δϕ1和δϕ 2互相独立
1 F cos ϕ1 − 2 m1 g sin ϕ1 − m2 g sin ϕ = 0 F cos ϕ − 1 m g sin ϕ = 0 2 2 2 2
虚功原理和位移计算
位移是描述物体位置 变化的量，是运动学 的基本概念之一。
位移是矢量，具有大 小和方向两个物理量 ，可以用矢量表示。
位移的大小表示物体 在某一方向上移动的 距离，方向则表示移 动的方向。
位移计算的应用场景
工程设计
在机械、建筑、航空航天等工程领域中，需要进行结构分析和优 化设计，位移计算是其中的重要环节。
02
位移计算是确定物体位置和运动轨迹的过程，它涉及到对实际
位移的测量和计算。
虚功原理和位移计算在理论和实践上都有广泛的应用，它们在
03
某些情况下是相互关联的。
虚功原理在位移计算中的应用
在某些情况下，位移计算可以通 过虚功原理进行简化。
例如，当分析一个系统在平衡状 态下的位移时，可以使用虚功原
理来找到作用在系统上的力。
现潜在的安全隐患，并采取相应的措施进行维修和加固。
实例二：建筑结构稳定性分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构稳定性分析是虚功原理和位移计算的重要应用之 一，通过分析建筑结构的位移变化，可以评估建筑物的稳 定性和安全性。
在建筑结构稳定性分析中，虚功原理和位移计算被广泛应 用于评估建筑物在不同载荷下的稳定性。通过在建筑物上 设置传感器和测量设备，可以实时监测建筑物的位移变化 ，并将数据传输到计算机进行分析。这些数据可以帮助工 程师评估建筑物的稳定性和安全性，及时发现潜在的安全 隐患，并采取相应的措施进行加固和维护。
通过将虚功原理应用于位移计算 ，可以确定系统在平衡状态下可
能的位移。
位移计算在虚功原理中的应用
01
位移计算的结果可以用来验证虚功原理的正确性。
02
通过测量和计算实际位移，可以验证虚功原理是否 成立。
5-3虚位移原理
出现任何约束反力。
虚位移原理给出了区别质系的真实平衡位置与约
束所容许的可能平衡位置的准则或判据 。
虚位移原理可求解质系的各类平衡问题：
系统在给定位置平衡时主动力之间的关系
求系统在已知主动力作用下的平衡位置 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力
解题步骤
1. 确定研究对象：整体 2. 约束分析：是否理想约束？ 3. 受力分析：
作用三个力 Pi ，求平衡时 Pi 与 Si (i 1,2,3) 的关系 (设液体为不可压缩的)。
P1
P2
S2
S3
S1
Байду номын сангаас
P3
无穷多个质点组成的非刚体的平衡
解
塞i 的虚位移为 δri ，方向如图。 液体不可压缩
δr3
S δr 0
i 1 i i
3
P1
P2
1 ( S1δr1 S 2δr2 ) S3
(P 1 P 2 )δr 2 W P 1 (tan tan ) δr 3y 0
P 1 P 2
W P 1 (tan tan )
P1
δr1
1
3
δr2
2
P2
W δr3
例4
在压缩机的手轮上作用一力矩 M。手轮轴的两端各 有螺距同为 h、但螺纹方向相反的螺母 A 和 B，这两 个螺母分别与长为 a 的杆相铰接，四杆形成菱形框， 如图所示。 此菱形框的点 D固定 不动，而点C连接在 压缩机的水平压板上。 求当菱形框的顶角等 于2 时，压缩机对被 压物体的压力。
例5
已知：a, P, M; 求：约束反力NB
a
a
M A
第四章 虚功原理
若令 k = 1 m = 1
rmk × 1 = rkm ×1
rmk = rkm
反力互等定理：k支座发生单位位移在m支座引起的反力 rmk 等于m支座发生单位位移在k支座引起的反力 rkm
m =1
结构力学
第4章 虚功原理
4、反力位移互等定理
r mk
Fk =1
θm=1
δkm
k状态
m状态
虚功互等定理
v Cm
可直接用几何方法验证。 静力方法解决几何问题。
l1
l2
l3
结构力学
第4章 虚功原理
七、互等定理 虚功互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力位移互等定理 1、虚功互等定理
Fk A
θmk
FNk
C
mm A B km C
εm γm
1
B
FQk Mk
k状态（静力） 虚功原理
s
m状态（ 位移） λ FQm 1 M m FNm = εm = γm = EA GA ρ m EI
D a
C
建立静力状态（k）
2、沿FRD 方向给以微小单位虚位移 km =1，建立位移状态（m）
D FR D
q=F/ 2a A E B
F
C
3、建立虚功方程，求未知力
FRD ×1 = 0
静力状态（k）
A E B C D' km=1 D
FRD = 0
可直接用平衡方程验证。
位移状态（m）
几何方法解决静力问题。
结构力学
第4章 虚功原理
5、等值反向共面的两力偶的虚功
mk
（a）
A
B
mk
（b）
A
θ'km θ"km
虚功原理ppt
i 1
i 1
i 1
又因为体系所受约束是理想约束，于是有
n
r Fi
rri
0
i 1
-
虚功原理的另一种表述
受有理想约束的力学体系平衡的充要 条件是：力学体系的诸主动力在任意虚位 移中所做的元功之和等于零，也叫虚位移 原理。
-
虚功原理的分量表达式
nu u ru r n W F i.r i(F ixx i F iy y i F iz z i) 0
-
1 基本概念
（1）虚位移
想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有 改变（δt =0）， 表示为 rr。
-
关于虚位移的说明 • rr 称为 rr 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
-
• 虚位移与可能位移
✓ 稳定约束下实位移是许多虚位移中一个 ✓ 不稳定约束下实位移一般不是虚位移中一个
q r r ti
s
t
r ri
1 q
q
i1, 2, L , n
-
（2）理想约束
如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。
3n
Rixi 0
i1
n R rirri 0
i1
-
几种典型的理想约束
• 质点沿光滑的曲面运动； • 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； • 两个刚体以光滑的表面接触； • 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； • 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。
P 1 ( l 2 1 c o ) P 2 s ( l 1 c o l 2 2 s c o ) F s ( l 1 s i n l 2 s i) n 0
虚功原理——精选推荐
虚功原理ΔCΔCyΔCxiP静定结构结构位移计算§4.1 应⽤虚⼒原理求刚体体系位移1、结构的位移：结构在荷载作⽤下，要产⽣内⼒和变形，结构的变形引起结构的位移，位移⼀般分为线位移和⾓位移两种，线位移是指结构上点的移动，⾓位移是指杆件横截⾯产⽣的转动。
2、产⽣位移的主要原因产⽣位移的主要原因主要由上述三种：①荷载作⽤、②温度改变和材料胀缩、③⽀座移动和制造误差。
(1)荷载使静定结构产⽣内⼒、变形、位移；（2）温度改变或材料胀缩使静定结构不产⽣内⼒、但能产⽣变形、位移；（3）⽀座移动或制造误差使静定结构不产⽣内⼒变形、但能产⽣位移；§4.2 结构位移计算的⼀般公式如结构在荷载、温度改变、⽀座移动等因素作⽤下⽽发⽣了图1所⽰变形和位移，这是结构的实际的位移状态。
要利⽤虚功⽅程求位移Δi2（状态②中i ⽅向的位移）。
应先虚拟⼒状态：在欲求位移处沿着求位移的⽅向，加上与所求位移相应的⼴义单位荷载（如图2）。
求出虚拟⼒状态的内⼒和反⼒。
由虚功⽅程，即得平⾯杆系结构位移计算的⼀般公式：该式适⽤于：①静定结构和超静定结构；②弹性体系和⾮弹性体系；③各种因素产⽣的位移计算。
4.3 荷载作⽤下的位移计算如果弹性体系由荷载产⽣了内⼒（M P ，N P ，Q P ），⽽内⼒产⽣的变形可由材料⼒学公式得到：(a )M PM(b )注意：1．该式可⽤来求弹性体系由荷载产⽣的位移；2．该式既⽤于静定结构也⽤于超静定结构；3．第⼀、⼆、三项分别表⽰弯曲变形、轴向变形、剪切变形产⽣的位移；4．结构不同简化为：梁、刚架只考虑弯曲变形：桁架只有轴向变形：组合结构：对于具有弹性⽀承和内部弹性联结的结构，在位移计算公式中应增加⼀项弹性⼒的虚功项：N i N P /k ，N i ，N P 分别为虚拟状态和实际状态中弹性⽀承和内部弹性联结的弹性⼒，两者⽅向⼀致时，乘积为正，否则取负，k 是弹性⽀承和内部弹性联结的为刚度系数。
虚功原理
虚功原理的证明
必要性
设质点系处于静力平衡状态， 设质点系处于静力平衡状态，证明作用于质点系所 有主动力所做虚功之和为 0。 。 r r Fi + Ri = 0 已知 设该体系有一虚位移， 设该体系有一虚位移，则对其中某一质点有
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri = 0
∑
n
i =1
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri =
1
基本概念
（1）虚位移 ）
想象中可能发生的无限小的位移， 想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束， 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有
r 改变（δt =0）， 表示为 δ r ） 。
关于虚位移的说明 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
3
虚功原理
设一个完整的由n 个质点组成的力学 系统， 系统，在k 个理想约束条件下处于静平衡 状态。 状态。其中第i 个质点受到的主动力为 F 则该体系静力平衡条件为： 约束力为 R ，则该体系静力平衡条件为：
i i
∑
n
i=1
uu r u r F i .δ r i = 0
虚功原理的证明
充分性
设作用于质点系所有主动力中所做虚功之和为 0， ， 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 设质点系在所有力作用下不平衡，则其中某些质点 设质点系在所有力作用下不平衡， 将从静止进入运动状态，于是对质点系内任意质点上有 将从静止进入运动状态，
10δr1 − RDδrD + 8δr2 = 0
如何求虚位移间的关系 由几何关系
虚位移原理与力学的变分原理
xB , yA
xB2
y
2 A
l2
有约束方程 xA 0, yB 0
方法1：对上式进行变分运算得：
2xBxB 2 yAyA 0
xB yA tg
yA
xB
y
yA A(xA, yA )
l
xB
O
x
B(xB , yB )
参考：变分的运算规则
( y1 y2 ) y1 y2
( y1
•
y2 )
y1y2
§1.2 虚功原理
参考：P5－12(T)，P25-29(L)
静力学
动力学
➢ 虚位移及其计算
➢ 虚功和理想约束
➢ 虚位移原理及其应用
拉格朗日方程
重点 1.理解虚位移的概念和实位移的对比。 2.虚功原理的含义和应用。
一、虚位移的概念
在给定瞬时，质点或质点系为约束所容许的任何微小位 移，称为该质点或质点系的虚位移。
设用Fi代表作用于任一质点Mi的主动力的合力，以δri 代表该点的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：
F r 0 i i
注意：对每个质点上主动力所做的元功 求和，也是对质点数求和。
证明：(1) 必要性：即质点系平衡， Fi ri 0 成立。
质点系处于平衡 →任一质点Mi也平衡→ Fi Ni 0 设Mi 的虚位移为 ri ，则 (Fi Ni ) ri 0
•
rc
0
mg[2asin 2 2a cos2 l cos] 0
2
mg[(2a cos l ) cos 2a sin 2 ] 0
2
mg[(2a cos l ) cos 2a sin 2 ] 0
2
l 4(c2 2a2 ) c
虚功原理.ppt
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
3。荷载作用下位移计算的步骤：
⑴ 沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；
⑵ 由静力平衡条件，求出结构虚内力 N Q M
⑶ 由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM
⑷ 代入如上公式，计算Δ。
4。各类结构的位移计算公式
● 梁和刚架
MM EI
AB段： M x , N 0 , Q 1 BC段： M l , N 1 , Q 0 3. 代入位移计算公式：
AV
MM P EI
ds
NNP EA
ds
kQ QP GA
ds
（续）
l 0
(x)
qx2 2
dx EI
l 0
(l)
ql 2 2
dx EI
l (1)(ql) dx
l
k (1)(qx)
dx
0
EI 0
GA
5 8
ql 4 EI
ql2 EA
kql2 2GA
5 8
ql 4 EI
1
8 5
I Al2
4 5
kEI GAl2
5
ql 4
1
2
h
2
2
E
h
2
8 EI 15 l 25 G l
（续）
5 8
ql 4 EI
1
1 750
1 500
其中，设 h/l =1/10，取G = 0.4E，k = 1.2
N sin
QP qx cos
Q cos
坐标变换：x Rsin , y R(1 cos ) , ds Rd
*例4. 试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比
分析力学
分析力学总结报告分析力学是从能量的观点出发，应用数学中的分析法来研究系统力学问题的一门科学。
它主要包含了以下内容：约束的分类、广义坐标、广义力、广义速度、自由度等基本概念，虚功原理，第二类拉格朗日方程，哈密顿正则方程，哈密顿原理，变分原理，Hamilton —Jacobi 方程等。
在基本概念中，自由度数n 是个比较重要的概念。
对于完整系统，自由度数3n N l =-，（N 为此系统中包含的质点个数，l 为完整约束方程的个数），而且广义坐标的数目就等于系统自由度数。
对于非完整系统，自由度数3()n N l g =-+（g 为非完整约束方程的个数）。
虚功原理的矢量形式为：1N i i i F r δ=∑=0（i=1,2, ⋅⋅⋅,n ），广义坐标形式为： 10Njjj Q qδ==∑或j Q =0(j=1,2, ⋅⋅⋅,n)，主动力为有势力的形式为：0j V q δδ=，这也为系统的平衡条件，且当220d Vdq>时系统为稳定平衡。
由此可见，虚功原理是一个微分形式的变分原理，从功的观点来研究系统的平衡问题，它提供了一个区别非自由系统的真实平衡和约束所允许的可能位置的准则是解决非自由系统平衡问题的一个普遍原理。
第二类拉格朗日方程的一般形式为:(1,,)jj jd TT Q j n dt q q ⎛⎫∂∂ ⎪-==⋅⋅⋅ ⎪∂ ⎪∂⎝⎭，当主动力为有势力时形式为: 0(1,,)j jd LL j n dt q q ⎛⎫∂∂ ⎪-==⋅⋅⋅ ⎪∂ ⎪∂⎝⎭（其中拉式函数L T V =-，210T T T T =++），拉式函数还有其他形式。
比如情形1：方程中不显含某一广义坐标j q ，即0jLq ∂=∂，可得循环积分jL q∂=∂ constant ，j q 叫循环坐标；情形2：方程中不显含时间t 时，即0L t ∂=∂，可得能量积分*1nj j jL q L E q=∂-=∂∑，当约束定常时有机械能守恒*T V E +=。
虚功原理
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。
虚功原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。
这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。
三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个问题。
这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。
第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。
②找主动力：作用在我们所选取的系统上的主动力有几个？有两个。
一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在杆子的质心上。
因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。
③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。
现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。
列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。
为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。
这种方法既方便而又不容易搞错。
在列方程时必须要注意这个问题。
∵F 的方向与其作用点的坐标X 的正方向相反，∴F 取负而δX B 取正，∴此力的虚功为负的，即：0=--C B y mg x F δδ……①，由于虚功方程中的两个虚位移不是相互独立的，∴我们还需要将它们化成独立变量，然后才能令独立虚位移前的乘数等于零，从而求出最后的结果。