虚功原理(微分形式的变分原理)

OA = l1 , AB = l 2
ϕ2
B
s = 4−2 = 2
q1 = ϕ1 , q2 = ϕ 2
r F
y
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 质量为m的小环 被限制在一个 质量为 的小环P被限制在一个 的小环 半径为R的光滑大圆环上 的光滑大圆环上,大圆 半径为 的光滑大圆环上 大圆 环绕过大环中心的铅垂轴以ω 的角速度均匀转动,以小环为系 的角速度均匀转动 以小环为系 试确定其自由度. 统,试确定其自由度 试确定其自由度 质点在球坐标系中用r, 质点在球坐标系中用 θ,ϕ描述
1 F cos ϕ1 − m1 g sin ϕ1 − m2 g sin ϕ1 l1δϕ1 2 广义力
1 + F cos ϕ 2 − m2 g sin ϕ 2 l2δϕ 2 = 0 2
广义力
由于δϕ1和δϕ 2互相独立
1 F cos ϕ1 − 2 m1 g sin ϕ1 − m2 g sin ϕ = 0 F cos ϕ − 1 m g sin ϕ = 0 2 2 2 2
i =1 i =1
T = 常量
说明系统开始时静止, 说明系统开始时静止, 以后就会始终保持静止
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 几点说明： 几点说明： (1) 普适性 普适性.
r θ (2) 在变动中寻找平衡的条件 例如单摆 在变动中寻找平衡的条件. δr r r r δr θ ≠ 0时, mg ⋅ δr ≠ 0 时 r r r r mg θ = 0时, 时 mg ⋅ δr = 0 mg
n
i =1
力学系统的约束是定常的, 力学系统的约束是定常的, 各质点的无限小实位移 必与其中一组虚位移重合, 必与其中一组虚位移重合, 故系统的主动力和约束 力的实功之和也满足上式
n r r r r ∑ Fi ⋅ dri + ∑ FRi ⋅ dri = 0 i =1 i =1 n r n r r r 根据质点系的动能定理 dT = ∑ Fi ⋅ dri + ∑ FRi ⋅ dri = 0 n
3 1 1 2
y
2
l1 δy1 = − 2 sin ϕ1δϕ1 l2 δy2 = −l1 sin ϕ1δϕ1 − sin ϕ 2 δϕ 2 2 δx3 = l1 cos ϕ1δϕ1 + l2 cos ϕ 2 δϕ 2
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
i =1
在直角坐标系中, 在直角坐标系中, 上式写成
∑ (F
i =1
n
ix
δxi + Fiy δy i + Fiz δz i ) = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 必要条件的证明： 必要条件的证明： 当力学系统相对惯性系处于[ 当力学系统相对惯性系处于[静]平衡时, 平衡时, r r i = 1,2,..., n Fi + FRi = 0 r r r i = 1,2,...n ( Fi + FRi ) ⋅ δri = 0 n r r n r r ∑ Fi ⋅ δri + ∑ FRi ⋅ δri = 0
广义平衡方程
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 所满足的方程: 可求出系统处于静平衡时ϕ1，ϕ2所满足的方程
2F tan ϕ1 = (2m + m )g 2 1 tan ϕ = 2 F 2 m2 g
所以
2F ϕ1 = arctan (2m + m )g 2 1 ϕ = arctan 2 F 2 m2 g
∑ Qα δqα α
=1
s
=0
展开后写成
Q1δq1 + Q2 δq 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Qs δq s = 0
Q δqα 相互独立
∴Q1 = 0 ∴ Q1δq1 = 0
在完整系中, 若 δq1 ≠ 0 完整系中
∴ δq2 ,..., δqs = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
m1 gδy1 + m2 gδy 2 + Fδx3 = 0
r r r r r r m1g ⋅ δr1 + m2 g ⋅ δr2 + F ⋅ δr3 = 0 x x
6、转化成广义坐标 、
l1 y1 = cos ϕ1 2 l y2 = l1 cos ϕ1 + 2 cos ϕ 2 2 x = l sin ϕ + l sin ϕ
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） [法二 先求出广义力 再写出平衡方程 法二] 先求出广义力,再写出平衡方程 法二 s=2, 所以有 个广义力 所以有2个广义力
r r ∂ri Qα = ∑ Fi ⋅ ∂qα i =1
3
α = 1,2
r r r r r r 其中, F1 = m1 g , F2 = m2 g , F3 = F
=0
虚功原理主要用于求解： 虚功原理主要用于求解： (1)系统的静平衡位置 系统的静平衡位置； (1)系统的静平衡位置； (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的 (2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的 关系. 关系.
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 应用虚功原理解题的主要步骤是： 应用虚功原理解题的主要步骤是： (1)明确系统的约束类型 看是否满足虚功原理所要求 明确系统的约束类型, 明确系统的约束类型 的条件； 的条件； (2)正确判断系统的自由度 选择合适的广义坐标； 正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标； 正确判断系统的自由度 (3)分析并图示系统受到的主动力； 分析并图示系统受到的主动力； 分析并图示系统受到的主动力 (4)通过坐标变换方程 将虚功原理化成 通过坐标变换方程, 通过坐标变换方程 的形式, 的形式, 进而得出广义平衡方程 Qα = 0, α = 1,2,L , s. 对有势系, 求出系统的势能V 对有势系 求出系统的势能 后，可通过 ∂V / ∂qα = 0 α = 1,2, L , s 得广义平衡方程; 得广义平衡方程; (5)求解广义平衡方程 求解广义平衡方程. 求解广义平衡方程
∂q α
代入虚功原理中, 代入虚功原理中,有
∂V ∑ ∂q δqα = 0 α =1 α
s
即, δV = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
三、虚功原理的应用
例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为 1, 长为 1, 能在 质量为m 长为l 例题 如图所示 匀质杆 转动, 竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动 此杆的 A端 转动 端 用光滑铰链与另一根质量为m 长为 长为l 用光滑铰链与另一根质量为 2,长为 2的匀质杆 AB r 相连. 求处于静平衡时, 相连 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时 两 端有一水平作用力 求处于静平衡时 F 杆与铅垂线的夹角ϕ1和 ϕ2. 1、判断约束类型 、 x O 是否完整约束?是否理想约束 是否理想约束? 是否完整约束 是否理想约束 ϕ 1 l1 2、判断自由度 、 l2 A A 、 B 两点的位置，4个变量 两点的位置，
r=R
ω
θ
r
P R
O 非定常约束
ϕ = ωt + ϕ 0
∴s =1
ϕ1
C1 ( x1 , y1 ) C 2 (x 2 , y 2 )
x
3、分析受力 主动力 、分析受力(主动力 主动力)
r r r m1 g , m 2 g , F
r m1 g A
ϕ2
r m2 g
B
r F
y
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 4、由虚功原理 、 5、建立坐标系 必须是静止坐标系 ຫໍສະໝຸດ Baidu须是静止坐标系) 、建立坐标系(必须是静止坐标系
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
l1 y1 = 2 cos ϕ1 l2 y 2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ 2 2 x3 = l1 sin ϕ1 + l 2 sin ϕ 2
r r r r ∂r3 r ∂r1 r ∂r2 Q2 = m1 g ⋅ + m2 g ⋅ +F⋅ ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂x3 ∂y1 ∂y2 = m1 g + m2 g +F ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 ∂ϕ 2 1 = − m2 gl2 sin ϕ 2 + Fl2 cos ϕ 2 2
i =1 i =1
对理想约束
0
0
r r ∴ ∑ Fi ⋅ δri = 0
n i =1
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 充分条件的证明： 充分条件的证明： 若系统的主动力虚功之和为零, 若系统的主动力虚功之和为零, 对于受有理想约束的系统
i =1
r r ∑ Fi ⋅ δri = 0 n r i =1 n r r r ∑ Fi ⋅ δri + ∑ FRi ⋅ δri = 0
q1 = ϕ1 , q2 = ϕ 2
r r r r ∂r3 r ∂r1 r ∂r2 +F⋅ Q1 = m1 g ⋅ + m2 g ⋅ l1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y1 = 2 cos ϕ1 ∂x ∂y ∂y = m1 g 1 + m2 g 2 + F 3 l2 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y 2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ 2 2 1 = − m1 gl1 sin ϕ1 − m2 gl1 sin ϕ1 + Fl1 cos ϕ1 x3 = l1 sin ϕ1 + l 2 sin ϕ 2 2 =0
Fδs − Wδh = 0
F = W δ h δs r 如果知道h和 的函数关系 通过上式, 的函数关系, 如果知道 和s的函数关系 通过上式 就可求出 F
(4) 虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零 是 虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零, 任意的虚位移而言的 虚位移而言的, 对任意的虚位移而言的 而不是针对特殊的虚位移 . 由于虚功原理的方程中不出现约束力, 由于虚功原理的方程中不出现约束力, 因此不能由 虚功原理求出约束力, 但是, 通过释放约束或用不 释放约束或用 虚功原理求出约束力, 但是, 通过释放约束或用不 定乘子法, 定乘子法, 可以求出约束力
同理, 若δq1 ≠ 0
∴ δq1 , δq3 ,..., δqs = 0
Qα = 0
Q δqα 相互独立
∴ Q2δq2 = 0 ∴Q2 = 0
推出, 推出
α = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, s
广义平衡方程
虚功原理又可叙述为: 对于受完整的 定常的、 完整的、 虚功原理又可叙述为: 对于受完整的、定常的、 理想约束的力学系统 保持静平衡 力学系统, 静平衡的必要充分条 理想约束的力学系统, 保持静平衡的必要充分条 件是所有的广义力都为零. 件是所有的广义力都为零. 所有的广义力都为零 ∂V 对于主动力均为有势力的有势系, 对于主动力均为有势力的有势系, 有 Qα = − ∂qα ∂V = 0 α = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, s 所以, 所以,广义平衡方程成为
∴θ = 0的位置为单摆的平衡位 置
(3) 与牛顿力学不同 分析力学的方法不是将注意力 与牛顿力学不同, 放在区分内力和外力上, 而是放在区分主动力 主动力和 放在区分内力和外力上 而是放在区分主动力和约 束力上 束力上.
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 如图所示提升重物的装置 , 以把手端点的弧坐标s为广义坐标, 以把手端点的弧坐标 为广义坐标, 为广义坐标 设重物距地面高度为h, 设重物距地面高度为 根据虚功原理
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
二、广义平衡方程
据虚功原理,有 据虚功原理 有
n i =1
r r ∑ Fi ⋅ δri = 0
n i =1
或, ∑ ( Fix δxi + Fiy δyi + Fiz δzi ) = 0
为了得到广义平衡方程, 为了得到广义平衡方程, 需要将虚功原理化为以 广义坐标表述的形式. 广义坐标表述的形式.
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
一、虚功原理
受有理想约束 、 定常约束]的力学系统 保持[静 平 的力学系统, 受有理想约束[、 定常约束 的力学系统 保持 静]平 理想约束 衡的必要[充分 条件是作用于该系统的全部主动力的 充分]条件是作用于该系统的全部 衡的必要 充分 条件是作用于该系统的全部主动力的 虚功之和为零 为零. 虚功之和为零 n r r ∑ Fi ⋅ δri = 0