lingo-TSP问题
旅行商问题(TSP)
462 410 521 573 464 586 388 304 281 197 445 290 150 90 198 462 438 357 335 477
对角线完全算法
1 1 2 3 ∞ 0 256 2 0 ∞ 58 3 198 0 ∞ 4 300 110 0 5 348 164 60 6 388 190 51 7 116 0 6 8 519 321 181 9 424 247 150 10 120 34 68 Ri 220 198 140 Pi 116 0 6
将每个乡镇或村看作一个图的顶点各乡镇村之间的公路看作此图对应顶点间的边各条公路的长度或行驶时间看作对应边上的权所给公路网就转化为加权图问题就转化为图论中一类称之为旅行推销员问题即在给定的加权网络图中寻找从给定点o出发行遍所有顶点至少一次再回到点o使得总权路程或时间最小
参考书： 1.龚劬 《图论与网络最优化算法》 重庆大学出版社,2009 2.西北工业大学数学建模指导委员会 《数学建模简明教程》 高等教育出版社
表示连接两城市的路，边上的权W（e）表示距
离（或时间或费用）。于是旅行推销员问题就
成为在加权图中寻找一条经过每个顶点正好一
次的最短圈的问题，即求最佳Hamilton 圈的
问题。
基本概念
•： 1) 哈米尔顿路径(H路径): 经过图G每个顶点正好一次的路径; 2) 哈米尔顿圈(H圈)；经过G的每个顶点正好一次的圈; 3) 哈米尔顿图(H图): 4) 最佳H圈: 含H圈的图。
对角线完全算法
D经行简化得
0 15 6 2 0 12 25 20 D ' 18 14 5 0 U 3 44 18 0 15 1 0 3
求出D’各列的约数 R’(1)=0，R’(2)=0，R’(3)=0，R’(4)=3，R’(5)=0
TSP问题的求解
（1）优点：算法稳定，易得标准值 （2）缺点：针对 TSP 问题，需要先计算出第 i 个城市到其余城市的距离， 当城市数目较多时计算复杂。
关键词：TSP 问题 模拟退火算法 线性规划 遗传算法
一、问题重述
1.1 引言 TSP 是典型的组合优化问题, 并且是一个 NP-hard 问题，TSP 简单描述为:
一名商人欲到 n 个不同的城市去推销商品, 每 2 个城市 i 和 j 之间的距离为 d ij , 如何选择一条路径使得商人每个城市走一遍后回到起点, 所走的路径最短。用数 学符号表示为:设 n 维向量 s =(c1 , c2 , …, cn )表示一条路经, 目标函数为:min
小可以不断变化。在该题中，取温度的衰减系数α=0.9，其中固定温度下最大迭 代次数为：100 次，固定温度下目标函数值允许的最大连续未改进次数为 5 次， 即当算法搜索到的最优值连续若干步保持不变时停止迭代。
④最短路径的确定
借助 Matlab 通过模拟退火算法得出最短路径为：27—26—25—24—15— 14—8—7—11—10—21—20—19—18—9—3—2—1—6—5—4—13—12—30—23 —22—17—16—29—28—27，最短路径图如下图 1
图1 最短距离为：423.7406
（2）法二：遗传算法 优化过程如下图 2 所示：
图2 初始种群中的一个随机值（初始路径）:
22—6—3—16—11—30—7—28—17—14—8—5—29—21—25—27—26—19 —15—1—23—2—4—18—24—13—9—20—10—12—22
TSP问题及LINGO求解技巧
TSP 问题及LINGO 求解技巧巡回旅行商问题(Traveling Salesman Problem ，TSP)，也称为货郎担问题。
最早可以追溯到1759年Euler 提出的骑士旅行问题。
1948年，由美国兰德公司推动，TSP 成为近代组合优化领域的一个典型难题。
它已经被证明属于NP 难题。
用图论描述TSP ，给出一个图(,)G V E =，每边e E ∈上有非负权值()w e ,寻找G 的Hamilton 圈C ，使得C 的总权()()()W C w e e E C =∑∈最小. 几十年来，出现了很多近似优化算法。
如近邻法、贪心算法、最近插入法、最远插入法、模拟退火算法以及遗传算法。
这里我们介绍利用LINGO 软件进行求解的方法。
问题1设有一个售货员从10个城市中的某一个城市出发，去其它9个城市推销产品。
10个城市相互距离如下表。
要求每个城市到达一次仅一次后，回到原出发城市。
问他应如何选择旅行路线，使总路程最短。
我们采用线性规划的方法求解设城市之间距离用矩阵d 来表示，ij d 表示城市i 与城市j 之间的距离。
设0--1矩阵X 用来表示经过的各城市之间的路线。
设01,ij i j x i j i j ⎧=⎨⎩若城市不到城市若城市到城市且在前考虑每个城市后只有一个城市，则：11,nij j j ix =≠=∑1,,i n =… 考虑每个城市前只有一个城市，则：11,nij i i jx =≠=∑1,,j n =…； 但仅以上约束条件不能避免在一次遍历中产生多于一个互不连通回路。
为此我们引入额外变量i u (1,,i n =…），附加以下充分约束条件：1,i j ij u u nx n -+≤-1i j n <≠≤；该约束的解释：如i 与j 不会构成回路，若构成回路，有：1ij x =，1ji x =，则：1i j u u -≤-，1j i u u -≤-，从而有：02≤-，导致矛盾。
建模旅行售货员问题
旅行售货员(TSP)，Hamilton回路的lingo程序方法一model:sets:city / 1..6/: u;! 定义6个城市;link( city, city):dist, ! 距离矩阵;x; !决策变量;endsetsn = @size( city);data: !距离矩阵;dist =0 2 100 4 100 22 0 8 100 4 100100 8 0 5 8 74 1005 06 100100 4 8 6 0 42 100 7 100 4 0 ;!这里可改为你要解决的问题的数据;enddata!目标函数;min = @sum( link: dist * x);@FOR( city( K):!进入城市K;@sum( city( I)| I #ne# K: x( I, K)) = 1;!离开城市K;@sum( city( J)| J #ne# K: x( K, J)) = 1;);!保证不出现子圈;@for(city(I)|I #gt# 1:@for( city( J)| J#gt#1 #and# I #ne# J:u(I)-u(J)+n*x(I,J)<=n-1););!限制u的范围以加速模型的求解，保证所加限制并不排除掉TSP问题的最优解;@for(city(I) : u(I)<=n-1 );@for( link: @bin( x));!定义X为0\1变量;end部分结果有：Global optimal solution found.Objective value: 26.00000Objective bound: 26.00000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 179V ariable V alue Reduced CostN 6.000000 0.000000U( 1) 5.000000 0.000000U( 2) 0.000000 0.000000U( 3) 3.000000 0.000000U( 4) 5.000000 0.000000U( 5) 1.000000 0.000000U( 6) 2.000000 0.000000注意，这里有两个u(1)=U(4)=5说明：（1）红色部分语句1）保证不会有某一边来回的情况假如有某(i,j)来回，则x(i,j)=x(j,i)=1,对这两个x(i,j)=x(j,i)=1分别用一次上述for语句，得到：u(i)-u(j)+n*x(i,j)<=n-1u(j)-u(i)+n*x(j,i)<=n-1将这两个不等式两边相加，则得到矛盾2n<=2(n-1)2）保证不出现子圈假如有某个子圈i->j->k->i产生，那么一定同时会有一个不包含起点1的子圈产生，所以不妨设子圈i->j->k->i不包含起点1，则有x(i,j)=x(j,k)=x(k,i)=1,但x(j,i)=x(k,j)=x(i,k)=0,对上述3个x(i,j)=x(j,k)=x(k,i)=1分别用三次上面的for语句得到：u(i)-u(j)+n*x(i,j)<=n-1u(j)-u(k)+n*x(j,k)<=n-1u(k)-u(i)+n*x(k,i)<=n-1将三个不等式相加，得到矛盾3n<=3(n-1)，所以可不能产生子圈。
TSP问题的概述
TSP问题的概述旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）是数学领域中著名问题之一。
假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
TSP问题的由来TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由美国RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线形规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
TSP在中国的研究同样的问题，在中国还有另一个描述方法：一个邮递员从邮局出发，到所辖街道投邮件，最后返回邮局，如果他必须走遍所辖的每条街道至少一次，那么他应该如何选择投递路线，使所走的路程最短？这个描述之所以称为中国邮递员问题（Chinese Postman Problem CPP）因为是我国学者管梅古教授于1962年提出的这个问题并且给出了一个解法。
人工智能上的旅行商问题，以下给出的是算法，只是理解算法之用。
for detail contact me QQ: 413309082/****************算法总框架*****************************/int i;gs.search_init(adaptee.list_place.getSelectedIndex(),adaptee.list_fun.get SelectedIndex());do{ i=gs.search_step(); }while(i==0);/***************searchinit**************************/public void search_init(int startindex,int strategy){this.strategy = strategy;AStar.graph= G;G.setSize(AStar.len);start.index = startindex;Vertex s =new Vertex();s.index = start.index;s.parent = -1;n =null;s.value =f(s.index); //s的估价函数值G.add(s);start.parentpos = -1;start.value = s.value;open.add(start);step=0;}/***************searchstep**************************/public int search_step(){Open m ;Vertex old_m;int i,j;int f;int parentpos;if(open.next==null)return -1;//查找失败//扩展的步骤数增加step++;//Open 表非空//Open 表中移出第一个n = open.removeFirst();//n放入 CLOSE 中 ,返回放入的位置parentpos=close.Add(n.index, n.parentpos);if(n.index == start.index&&step!=1) //结束状态return 1;//扩展n结点i=n.index;for(j=0;j<len;j++){if(i!=j&&value[j]!=-1) //对于所有n的后继结点 m(j){if(j==start.index&&isAll(n)) //所有城市已访问过，且回到出发城市{f=f(j); //计算此时的f值old_m=G.getVertex(j);if(old_m!=null)if(old_m.value>f||old_m.value==0)G.add(j,i,f); //j(m) i(n),G中添加j(m),父节点为i(n),估价函数值为f G.addSub(i,j); //i(n)的后继中添加j(m)m= new Open(j,parentpos,f); //Open表中添加m(j)open.add(m);continue;}if(!isExist(n,j)) //m(j)不在n(i)的祖先中(不扩张n的祖先结点){f=f(j); //计算f值//取得旧的m(j) 中value最小的,G中的节电保存了从出发城市到此地最小估价函数old_m=G.getVertex(j);// m(j)不再G中,m(j) 也就不在Close中if(old_m==null){//j(m) i(n),G中添加j(m),父节点为i(n),估价函数值为fG.add(j,i,f);//n(i) 添加后继 m(j)G.addSub(i,j);//加入Open表m=new Open(j,parentpos,f);open.add(m); //m添加入 Open 表中}else //m(j)在G中,表示Close 表中有m(j) 结点{if(old_m.value > f) //新值比较小，采用新值{//更新G中的估价函数值，以及相关指针old_m.value = f;old_m.parent = i;//添加相关从Close中删除的代码,不删除亦可}G.addSub(i,j); //n(i) 添加后继 m(j)//从Close 中删除，移入Open表中，实际上Close表中仍然保留m = new Open(j,parentpos,f);open.add(m);}}}}//本次没查找到解，请继续return 0;}A*算法实现的旅行商问题人工智能上的旅行商问题，以下给出的是算法，只是理解算法之用。
数学建模精讲_西南交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
数学建模精讲_西南交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.Lingo软件是常用的优化问题的求解软件。
参考答案:正确2.0-1规划是整数规划。
参考答案:正确3.求解整数规划一定能得到最优解。
参考答案:错误4.整数规划是指规划问题中的全部变量限制为整数。
参考答案:错误5.所有决策变量均要求为整数的整数规划称为纯整数规划。
参考答案:正确6.整数规划与线性规划不同之处在于增加了整数约束。
参考答案:正确7.分枝定界法是整数规划的常见算法。
参考答案:正确8.原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划也一定有最优解。
参考答案:错误9.整数规划最优解常可以按照实数最优解简单取整而获得。
参考答案:错误10.与线性规划连续的可行域不同，整数规划的可行域是离散的。
参考答案:正确11.整数规划由于限制变量是整数，增加了求解难度，但整数解是有限个，所以有时候可以采用枚举法。
参考答案:正确12.非线性规划已经有一般的适合所有问题的成熟的解法。
参考答案:错误13.非线性规划的局部最优解和全局最优解等价。
参考答案:错误14.多目标规划的目标函数多于1个。
参考答案:正确15.非线性规划是指规划模型的目标函数或者约束条件中至少有一个为非线性表达式。
参考答案:正确16.多目标规划的解法包括分枝定界法，单纯形法。
参考答案:错误17.根据地球上任意两点的经纬度就可以计算这两点间的距离。
参考答案:正确18.如果可能，把非线性规划转换为线性规划是非常好的一个思路，原因是线性规划有比较成熟的算法。
参考答案:正确19.Lingo软件求解非线性规划的结果都是全部最优解。
参考答案:错误20.求解多目标规划的线性加权和法，在确定权系数之前，一般要对目标函数值做统一量纲处理，其目的是避免出现大数吃小数、权系数失去其作用的问题。
参考答案:正确21.哥尼斯堡七桥问题由欧拉证明了是可以走通的。
参考答案:错误22.“健康中国2030”规划纲要其中一项主要指标是将我国人均预期寿命提升至79岁左右。
TSP问题模型
一、问题描述TSP ，即Traveling Saleman Problem ，也就是旅行商问题，又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP 问题，是最基本的路线问题。
TSP 的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP 问题指一个旅行商，n 个城市。
旅行商要从这一个出发地出发，择一条路径（哈密顿回路），对n 个城市中的每一个城市进行一次且仅一次的访问，最后回到出发地.其目标是得到所有可行路径之中的最小路径，或旅行时间最短，或旅行费用最少等。
如图1，图2所示，为一个5个城市的TSP 问题描述（仅画出两种方案），显然图1和图2的路线都满足遍及所有城市的要求，但是图2的路线长度要远小于图1的路线长度，而解TSP 问题的目的就是求出遍及所有城市的长度最短的路线方案。
该问题的模型可以表示为下述0/1整数规划模型：2 4 1 图13 5 1 24 35 图2{}(,j)A {:(,)}{j:(,)}{(,):,}min(1)..1(2)1(3)||12|U |||2(4)0,1ij ij i ij i i j A ij i j A ij i j A i U j U ij c x st x j Vx i Vx U V x ∈∈∈∈∈∈=∈=∈≤-≤≤-∈∑∑∑∑n ：所要访问的城市数目。
V ：所有访问的城市集。
.U ：所有访问的城市集的真子集，即V U ⊂。
A ：连接任意两个点的弧组成的集合。
()j i ：所要访问的第()j i 个城市，即V j i ∈,。
ij c ：相邻两个城市间距离。
如果 j i =，则0=ij c 。
()⎩⎨⎧=其他城市城市后紧接着访问如果访问01,j i j i X二、总结和展望禁忌搜索算法是对人类思维过程本身的一种模拟，其特点是采用了禁忌技术，它通过对一些局部最优解的禁忌达到接纳一部分较差解，从而跳出局部搜索的目的。
TSP问题分析
太 原
南 昌
呼 和 浩 特
最短路程路线
为了得到任意两城市之间的路程，需 要34个城市的地理坐标，经纬度；
得到了，经纬度，知道了地球半径， 通过球面距离公式：
Dis(i,j)=2Rarcsin{sin[ Lat(i) Lat( j)]2 2
+sin[
Lon(i)
Lon(
j)
]2
1
cos[Lat(j)cos(Lat(j))]}2
5．End Do 6. 输出当前最优解，计算结束
1)产生一个初始路径X=randperm(34)
23 14 ........ 19 18 34 26 1；
2)计算初始路径总长D(X)；
3)设置始末温度T0,Te ，降温率Decay； 4)对初始路径经行局部扰动，得到新路径Xn ，
计算D(Xn)； 5)T=T0 * Decay Te ，如果T<= Te ，继续循环，
2
算出任意两个城市之间的球面距离
最经济路线
价格来源： ，中国票价网 价格组合： 全部乘火车、全部乘飞机、火车飞机两种混 合
模型的假设
假设两个城市间的旅行距离就为两个目标点 的球面距离； 假设选最短路线时，在前一阶段决策路线时 不受下一阶 段距离的影响，两者相互独立； 假设交通工具的票价在周先生旅行的近三个 月间保持不变。
LINGO求解：
决策变量是 xij 0 或1（0表示不连接，1表示连接）
目标函数与约束条件：
min s
D1(i , j ) xij
i , jV
xij 1
jV
s.t
xij 1iVຫໍສະໝຸດ (i V ), (i V ),
xi
,
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LINGO 课程试验专题——TSP
前言：TSP 问题，即巡回旅行商问题，也称为货担郎问题，早期是1759年Euler 提出的骑士旅行问题。
1948年，有美国兰德公司推动，成为近代组合优化问题中的一个典型难题，它被证明为是NP 难题。
图论描述就是给定一个有向或者是无向的图，并给定他们各边的权值，找一个Hamilton 圈使得总权最小。
例：设有一个销售员从10个城市中的某一个城市出发，去其他的9个城市推销产品。
10个城市相互距离如下表所示。
要求每个城市到达且仅到达一次，回到
方法一：设城市之间的距离用矩阵d 来表示，其中d 为下三角矩阵，ij d 表示城市i 与城市j 之间的距离。
设0-1矩阵x 用来表示经过的各城市之间的路线。
设
01ij i j x i j
⎧=⎨⎩若城市不到城市若城市到城市则建立该TSP 问题的模型如下:
()
1
21121min ..22,3,4,...,01n i ij ij
i j j j ik ji k i
j i ij
z x d x s t x x i n x -===><>=⎧⎪⎪+==⎨⎪⎪=⎩∑∑∑∑∑或 它的主要思想就是与第一个城市相连的有两个城市，与第i 个城市相连的有两个城市，每个城市都有相连的两个城市，这个自然就够成一个Hamilton 圈，但是不保证有多个圈的情况。
LINGO 具体程序如下：
model:
sets:
city/1..10/;
link(city,city)|&1#GT#&2:d,x;
endsets
data:
d=7
4 3
5 10 5
8 9 9 14
6 14 10 9 7
12 5 21 10 8 13
13 14 8 9 7 5 23
11 17 27 23 20 25 21 18
18 17 12 16 19 13 18 12 16;
enddata
min=@sum(link:d*x);@sum(city(j)|j#GT#1:x(j,1))=2;
@for(city(i)|i#GT#1:@sum(city(j)|j#GT#i:x(j,i))+@sum(city(k)|k#LT#i:x(i,k))=2);@for(link:@bin(x));
得到的结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 77.00000
Objective bound: 77.00000
Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 12
结果分析：从这个结果我们可以看出，该TSP 问题的最短距离是77km ，其最短路线为：143275681091→→→→→→→→→→。
该方法将TSP 问题求解化为线性规划，用LINGO 求解。
求解速度极快，但是可能会形成一个子圈，没有办法得到真正的最优解。
方法二:设城市之间的距离用矩阵d 来表示，ij d 表示城市i 到城市j 之间的距离。
设0-1矩阵x 用来表示经过的各城市之间的路线。
设
01,ij i j x i j i j ⎧=⎨⎩
若城市不到城市若城市到城市且在前 考虑每个城市前只有一个城市
1,1n ij j j i x =≠=∑ 1,2,3,...,i n =
每个城市后也只有一个城市
1,1n ij i i j x =≠=∑ 1,2,3,...,j n =
但是仅仅只有以上的条件是不能避免在一次遍历当中产生多于一个互不连通的回路，因此我们要加入约束条件，引入额外变量(1,2,3,...,)i u i n =,即1,1i j ij u u nx n i j n -+≤-<≠≤
对于该约束的解释是:
一方面i 与j 不会构成回路，若构成回路，有1,1,ij ji x x ==则1,1i j j i u u u u -≤--≤-，从而有02≤-，导致矛盾。
另一方面i ，j 与k 不会构成回路，若构成回路，有1,1,1,ij jk ki x x x ===则有1,1,1,i j j k k i u u u u u u -≤--≤--≤-从而有03≤-，导致矛盾。
其他情况以此类推。
于是就可以得到此方法的求解模型：
Variable Value Reduced Cost X( 3, 2) 1.000000 3.000000
X( 4, 1) 1.000000 5.000000
X( 4, 3) 1.000000 5.000000
X( 6, 5) 1.000000 7.000000
X( 7, 2) 1.000000 5.000000
X( 7, 5) 1.000000 8.000000
X( 8, 6) 1.000000 5.000000
X( 9, 1) 1.000000 11.00000
X( 10, 8) 1.000000 12.00000
X( 10, 9) 1.000000 16.00000
,11,1,min 1,1,2,3,...,1,1..
01,1,2,3,...,1,1,2,3,...,1,2,3,...,n ij ij i j n
ij i i j
i j ij ij n ij j j i i z d x
x j n
u u nx n i j n s t x i j n x i n u i n ==≠=≠=
⎧==⎪⎪⎪-+≤-<≠≤⎪⎪===⎨⎪⎪==⎪⎪=⎪⎩∑∑∑或，为实数，
编写的LINGO 程序如下：
model:
sets:
city/1..10/:u;
link(city,city):d,x;
endsets
data:
d=0 7 4 5 8 6 12 13 11 18
7 0 3 10 9 14 5 14 17 17
4 3 0
5 9 10 21 8 27 12
5 10 5 0 14 9 10 9 23 16
8 9 9 14 0 7 8 7 20 19
6 14 10 9
7 0 13 5 25 13
12 5 21 10 8 13 0 23 21 18
13 14 8 9 7 5 23 0 18 12
11 17 27 23 20 25 21 18 0 16
18 17 12 16 19 13 18 12 16 0;
enddata
min=@sum(link:d*x);
@for(city(j):@sum(city(i)|j#ne#i:x(i,j))=1);
@for(city(i):@sum(city(j)|j#ne#i:x(i,j))=1);
@for(link(i,j)|i#ne#j#and#i#gt#1:u(i)-u(j)+10*x(i,j)<=9);
@for(link:@bin(x));
end
运行结果显示：
Global optimal solution found.
Objective value: 77.00000
Objective bound: 77.00000
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 785
Variable Value Reduced Cost
X( 1, 4 ) 1.000000 5.000000
X( 2, 7) 1.000000 5.000000
X( 3, 2) 1.000000 3.000000
X( 4, 3) 1.000000 5.000000
X( 5, 6) 1.000000 7.000000
X( 6, 8) 1.000000 5.000000
X( 7, 5) 1.000000 8.000000
X( 8, 10) 1.000000 12.00000
X( 9, 1) 1.000000 11.00000
X( 10, 9) 1.000000 16.00000
结果分析：从该结果可以看出，与方法一得到的结果相同，它的优点是可以很好的解决圈的问题，不会出现有子圈的问题；缺点是对规模较大的问题的计算非常耗时。
心得体会：学习LINGO后，觉得有些数学问题变得更简单了，例如以前解决TSP 问题我们采用是纯计算方式：蛮力法，回溯法等，现在采用计算机，充分发扬了计算机与数学的结合，讲计算机与数学整合到一块，这是现代社会所需要的综合型人才息息相关，所以学习lingo是大学里面和工作比较接近的科目，所以我觉得lingo真好！。