第一讲 17.1一元二次方程的概念(公开课)
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一元二次方程的概念-PPT课件
一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 用一元二次方程解决实际问题
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值
一 元 二 次 方 程 复 习
一.相关概念
只含有 一个未知数x的 整式方程，并且都可以化 成 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)的形式， 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二 次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二 次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数 和一次项系数．
注意：
第（1）题容易解得x=0这一个解； 第（2）题若方程两边都除以x－6，得： x=－2，则原方程少了一个解，原因是 6 时，应保证 x 60 在除以 x 。故此 种做法不可取，应避免在方程两边都除 以一个代数式。
例7、用指定的方法解下列方程：
2
（1） (x 1 0 ) 3 ——直接开平方法
2
a1 0
2、利用方程解的定义：
2 x 2 xp 0 例3、若关于x的一元二次方程
的一个根是－1，求p的值。 根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解 之得 p 2 1
tx 2 0 例4、关于的一元二次方程 x ， 若有一个根为2，
2
求另一个根和t的值。 分析：此例已知方程的一个根，利用这 个根，先确定t的值，再求另一个根。
配方法： 配方法解方程的基本步骤 把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 把常数项移到方程的右边; 把方程的左边配成一个完全平方式; 利用开平方法求出原方程的两个解. ★一除、二移、三配、四开平方、五解. 公式法：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.
2 、求出 b 4 a c 的值
沪教版(上海)八年级上册数学 17.1 一元二次方程的概念 课件(共15张ppt)
趁热打铁☞
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9 ( √ ) ③2x2-3x-1=0 ( √ ) ⑤2xy-7=0 ( × ) ⑦4x2=5x ( √ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1)
⑥9x2=5-4x ( √ )
⑧3y2+4=5y ( √ )
下列方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x=
2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
小路的面积是 2×20x m2,两
者重叠的面积是2x2 m2.由于
花坛的总面积是570m2，
32
x 20
2、你能根据题意，列出方程吗？
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
整理以上方程可得： x2-36x＋35=0 （2）
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-2x 20
想一想：
X2=4
2X2-4=(x+2)2
1 x2 10x 900 0
(3)方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什 么条件下为一元二次方程？
（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一 次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式 才能进行。
（2）二次项系数、一次项系数以及常 数项都要连同它前面的符号。
（3）二次项系数a≠0
2、如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2017年
的产量为a，那么2018年无公害蔬菜产量为 a+ax=a(1+x) ， 2019年无公害蔬菜产量为 a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2 。
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程的概念》公开课课件.ppt
2、一元二次方程的一般形式？
ax2+bx+c=0,(a≠0)
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:17:21 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
小路（两条纵向，一条横向，
20m
横向与纵向垂直）把这块空地
分成大小一样的6块，建成小 花坛，如图，要使花坛的总面
32m
积为570m2，问小路的宽应为
多少？ 解: 设小路宽为x，则：
32×20-（32x+2x20x）+2x2=570
整理得：
X2-36x+35=0
观察
上面问题中这两个方程：z x xk
③方程两边都是整式;
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
二次项 系数
一次项 系数
ax2+bx+c=0（a≠0）
二次项
一次项
常数项
自我检测：
1、下列方程中哪些是一元二次方程？
ax2+bx+c=0,(a≠0)
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021 9:17:21 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/122021/1/122021/1/12Jan-2112-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/122021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
小路（两条纵向，一条横向，
20m
横向与纵向垂直）把这块空地
分成大小一样的6块，建成小 花坛，如图，要使花坛的总面
32m
积为570m2，问小路的宽应为
多少？ 解: 设小路宽为x，则：
32×20-（32x+2x20x）+2x2=570
整理得：
X2-36x+35=0
观察
上面问题中这两个方程：z x xk
③方程两边都是整式;
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
二次项 系数
一次项 系数
ax2+bx+c=0（a≠0）
二次项
一次项
常数项
自我检测：
1、下列方程中哪些是一元二次方程？
17.1 一元二次方程的概念 课件
x2 10x 1200
( x)2 12 x 8 共同的特点
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次
第十七章 一元二次方程
Байду номын сангаас
我们学过的与方程相关的知识
什么叫方程？ 含有未知数的等式叫方程
什么叫方程的解（根）？
使方程两边相等的未知数的值叫方程的 解
一元方程的解叫做方程的根
检验一个数是否为方程根的方法 学过方程（组）的类型有哪些？
1 x2 x 12 0 64
一元二次方程的例题
例题1 把下列一元二次方程化成一般式， 并写出方程中的各项与各项的系数：
一元二次方程的例题
例题2 判断2，5，-4是不是一元二次方程
的根。
一元二次方程的思考题
体验： 在下列方程中，哪些方程有一个根为0？哪些方程有一个根为1？ 哪些方程有一个根为-1？
古印度趣题：猴子游戏
设猴子总数为x,则( x )2 12 x 8
印度古算书有这样一首诗“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一 再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数 共多少，两队猴子在一起。”
生活情境：
设宽为x米，则x2 10 x 1200
一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和 宽各为多少米？
一元一次方程
二元一次方程
一元一次不等式 一元一次不等式组
二元一次方程组 三元一次方程组
可化为一元一次 方程的分式方程
方程类型 一元一次方程 二元一次方程
二元一次方程组 一元一次不等式
可化为一元一次 方程的分式方程
定义
一个未知数、一次 二个未知数、项最高一次
整个方程组
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
一元二次方程是只含有一个未知 数，且该未知数的最高次数为2的 整式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
• 解一元二次方程的数学思想主要包括转化思想和数形结合思想 。转化思想是将二次方程转化为一次方程或常数项，数形结合 思想则是将一元二次方程与二次函数图像结合起来，通过图像 直观地理解方程的解。
THANKS
感谢观看
详细描述
一元二次方程的一般形式包括未知数 x 的平方项、一次项和常数项，其中 a、b 、c 可以是任何实数，但 a 不能为0，否则不是二次方程。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是满足该方程的未知数的值。
详细描述
一元二次方程的解也称为根，是使方程成立的未知数的值。对于一般形式的一元 二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解可以通过公式或因式分解等方法求得。
公式法
01
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
02 03
详细描述
一元二次方程的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$， 其中 $a$、$b$、$c$ 是方程的系数。通过代入系数值，可以直接求得 方程的解。
举例
对于方以代入公式得到 $x = frac{-(4) pm sqrt{(-4)^2 - 4 times 2 times 2}}{2 times 2}$，解得 $x = 1$ 或 $x = 2$。
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第1课时)教学课件
102＋112＋122＝132＋142.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯 子的底端滑动多少米？
（来自《点拨》）
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
油利画用的长面方积形与的整面个积挂公 图式的和面油积画．面积与整个
90+2x
挂图面积之间的关系
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
列（方来程自《点拨》）
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
到右依次填写28,18,10,4. （4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到 大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时， （8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是 方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯 子的底端滑动多少米？
（来自《点拨》）
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
油利画用的长面方积形与的整面个积挂公 图式的和面油积画．面积与整个
90+2x
挂图面积之间的关系
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
列（方来程自《点拨》）
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
到右依次填写28,18,10,4. （4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到 大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时， （8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是 方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.
《一元二次方程》PPT课件
《一元二次方程》PPT 课件
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开 平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题：
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢
演讲人
《一元二次方程》PPT课件
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形 式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确 定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字 母或特定式子的代数式。 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开 平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适解法适用范围较大，且计算简便，是方法，配方法使 用较少。 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-
《一元二次方程》PPT课件
4ac 叫一元二次方程根的判别 式.请注意以下等价命题：
Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等)。
Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
谢谢
《一元二次方程的概念》课件ppt
二次项系数
一次项系数
例2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项：
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项
方
2
程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－8＝0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax bx c 0 (a≠0)？
(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 （1） 找一元二次方程的二次项、一次项 （2） 系数及常数项要先化为一般式
共同进步！
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x 1) 28 场. 2
即
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
x x 56
2
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案 的长为 m,宽为 （8－2x） （5－2x）m,根据题意,可得方程：
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
-(m-1) -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
发散思维： 以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程 的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条 件的不同的一元二次方程？
关于x的方程，kx x - 1 2 x 一定是一元二次
2 2
方程吗？
练习巩固
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2
化简为： 6 x 1.
(1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有：____________
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 例题讲解 数项都是包括符号的
例题讲解
[例2] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数： 2 (1) 3 x ( x 1) 5( x 2) (2) 解：3x 2
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
可能为0
(3)ax bx c 0
2
(4) x( x 1) 2 0
1 (5)a 0 a
2
是分式
(6)(m 2) 1
2
是二次 根式
(7) x x 5
2
(8)2x x 3 2x 1
4(m 1) 6 5m 4 0
m6
练一练
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值。 解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
9 a 4
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得
2
3x 5 x 10
x 0
3x 3x 5x 10 0 2 3x 8x 10 0
二次项： 3x 2，其系数为 3
一次项：－ 8x，其系数为－ 8
二次项： x 2、系数为 1
一次项： 0、系数为 0
常数项： 0
常数项为－ 10
2 ax
+ bx + c = 0 (a≠0)
m +1 0 4 m -2=2
m=1
三，一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢?
默6能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的 ） 解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根. 例6：已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋ 3x-5m＋4＝0有一根为2,求m. 分析:一根为2，即x＝2,只需把x＝2代入原方程.
xx 10 900
整理可得： x 2 10x 900 „„ （2）
4 x 20 900
x 10x 900
2
思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？ 思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同点呢？ 思考3：你能类比一元一次方程给方程（2）起个 名称吗？
思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是 一元二次方程吗？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程，叫做一元二次方程。
a 1 b1 c 0 即a b c 0
2
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解：由题意得 a b c 0
即a 1 b 1 c 0
2
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1
拓展:若 a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2
2
2 -4 3 4 m-3 3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
－2bx+a=0, ①在什么条件下此方程为一元二次方程？ ②在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解： ①由题意得，2a－4≠0，解之得a≠2 ∴当a≠2时是一元二次方程；
方
2
程
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－8＝0
3 1
－5 1
1 －8
4-7x =0
2
7x2 － 4＝0 7 0 －4
抢答：
一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数
2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
一元二次方程的概念
（默1）
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即：一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
2
“=”的右 边必须整理 成0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为
的形式,我们把 ax bx c 0
为什么要限制a≠0， (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式 . b,c可以为零吗？ 二次 项 一次 项
ax bx c 0
2
a x 2+ b x + c = 0
(a ≠ 0)
（默2）
a是二次项系数 b是一次项系数 常数项
一元二次方 程的一般形式
二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写 一次项,最后是常数项。
例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项：
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程
ax2=0
(a≠0)
一元一次方程与一元二次方 程有什么区别与联系？
整式方程
一元一次方程 一般式 相同点 一元二次方程
问题1： 某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长 为900米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿 地的长和宽各为多少？ 解：设长方形绿地的宽为x米，得 2x x 10 900
整理可得： 4 x 20 900
„„ （1）
变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面 积为900平方米的一地的宽为x米，得
3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二 次方程的是(D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 4.当m为何值时,方程
4 m 2 (m 1) x 27mx 5 0
是关于x的一元二次方程.
(1)x +x =36
(3)x+3y=36 (5) x+1=0
2
(2) x + x =36
1 2 (4) 2 0 x x
2
(7)4x 1 (2 x 3)
(8)( x ) 2 x 6 0
2
x (6) 6 3 2
（默3）
下列方程中哪些是一元二次方程？
例4：
方程(2a－4)x2
（默4）
②由题意得， 2a－4=0 －2b≠0 解之得
a=2 b≠0
∴当a＝2且b≠0时是一元一次方程.
例2 5：当 m 取什么值时，关于 x 的方程 m 2x 为一元二次方程。
m2 2
mx 10 0
（默5）
解：根据题意得： m 2 2 22
2
又∵ m 2 0 ∴m 2 ∴ m 2
m 4 2 2 m m 2 0 m 2
∴当 m 2 时，该方程是一元二次方程。
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当 k ≠ ±1 时，是一元二次方程． ＝－1 当k 时，是一元一次方程．
1.本节学习的数学知识是：
（1） 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 （2）
3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax bx c 0 (a≠0)？ (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 （1）
找一元二次方程的二次项、一次项 （2） 系数及常数项要先化为一般式
2+bx+c=0 (a≠0） ax ax=b (a≠0） 都是整式方程，只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程 判断下列方程是否为一元二次方程？ 例1 ： 化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个 条件进行判别。 2 （默3） 3 2
化简为： 6 x 1.
(1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有：____________
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 例题讲解 数项都是包括符号的
例题讲解
[例2] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数： 2 (1) 3 x ( x 1) 5( x 2) (2) 解：3x 2
(1) x 2 x 5 0 (2)4 x 3 y 1 0
2
2
可能为0
(3)ax bx c 0
2
(4) x( x 1) 2 0
1 (5)a 0 a
2
是分式
(6)(m 2) 1
2
是二次 根式
(7) x x 5
2
(8)2x x 3 2x 1
4(m 1) 6 5m 4 0
m6
练一练
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值。 解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
9 a 4
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得
2
3x 5 x 10
x 0
3x 3x 5x 10 0 2 3x 8x 10 0
二次项： 3x 2，其系数为 3
一次项：－ 8x，其系数为－ 8
二次项： x 2、系数为 1
一次项： 0、系数为 0
常数项： 0
常数项为－ 10
2 ax
+ bx + c = 0 (a≠0)
m +1 0 4 m -2=2
m=1
三，一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢?
默6能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的 ） 解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根. 例6：已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋ 3x-5m＋4＝0有一根为2,求m. 分析:一根为2，即x＝2,只需把x＝2代入原方程.
xx 10 900
整理可得： x 2 10x 900 „„ （2）
4 x 20 900
x 10x 900
2
思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？ 思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同点呢？ 思考3：你能类比一元一次方程给方程（2）起个 名称吗？
思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是 一元二次方程吗？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程，叫做一元二次方程。
a 1 b1 c 0 即a b c 0
2
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗? 解：由题意得 a b c 0
即a 1 b 1 c 0
2
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1
拓展:若 a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2
2
2 -4 3 4 m-3 3
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
1-m -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
－2bx+a=0, ①在什么条件下此方程为一元二次方程？ ②在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解： ①由题意得，2a－4≠0，解之得a≠2 ∴当a≠2时是一元二次方程；
方
2
程
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－8＝0
3 1
－5 1
1 －8
4-7x =0
2
7x2 － 4＝0 7 0 －4
抢答：
一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数
2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
一元二次方程的概念
（默1）
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即：一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
2
“=”的右 边必须整理 成0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为
的形式,我们把 ax bx c 0
为什么要限制a≠0， (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式 . b,c可以为零吗？ 二次 项 一次 项
ax bx c 0
2
a x 2+ b x + c = 0
(a ≠ 0)
（默2）
a是二次项系数 b是一次项系数 常数项
一元二次方 程的一般形式
二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写 一次项,最后是常数项。
例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项：
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程
ax2=0
(a≠0)
一元一次方程与一元二次方 程有什么区别与联系？
整式方程
一元一次方程 一般式 相同点 一元二次方程
问题1： 某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长 为900米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿 地的长和宽各为多少？ 解：设长方形绿地的宽为x米，得 2x x 10 900
整理可得： 4 x 20 900
„„ （1）
变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面 积为900平方米的一地的宽为x米，得
3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二 次方程的是(D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 4.当m为何值时,方程
4 m 2 (m 1) x 27mx 5 0
是关于x的一元二次方程.
(1)x +x =36
(3)x+3y=36 (5) x+1=0
2
(2) x + x =36
1 2 (4) 2 0 x x
2
(7)4x 1 (2 x 3)
(8)( x ) 2 x 6 0
2
x (6) 6 3 2
（默3）
下列方程中哪些是一元二次方程？
例4：
方程(2a－4)x2
（默4）
②由题意得， 2a－4=0 －2b≠0 解之得
a=2 b≠0
∴当a＝2且b≠0时是一元一次方程.
例2 5：当 m 取什么值时，关于 x 的方程 m 2x 为一元二次方程。
m2 2
mx 10 0
（默5）
解：根据题意得： m 2 2 22
2
又∵ m 2 0 ∴m 2 ∴ m 2
m 4 2 2 m m 2 0 m 2
∴当 m 2 时，该方程是一元二次方程。
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当 k ≠ ±1 时，是一元二次方程． ＝－1 当k 时，是一元一次方程．
1.本节学习的数学知识是：
（1） 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 （2）
3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax bx c 0 (a≠0)？ (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 （1）
找一元二次方程的二次项、一次项 （2） 系数及常数项要先化为一般式
2+bx+c=0 (a≠0） ax ax=b (a≠0） 都是整式方程，只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程 判断下列方程是否为一元二次方程？ 例1 ： 化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个 条件进行判别。 2 （默3） 3 2