第3章多维随机变量及其分布习题及答案范文

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题

1、随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为 ),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-.

2、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F 0 .

3、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ),(y x F

4、),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F )(x F X

5、设随机变量),(Y X 的概率密度为

⎩

⎨

⎧<<<<--=其它

04

2,20)

6(),(y x y x k y x f ，则=k

8

1

. 6、随机变量),(Y X 的分布如下，写出其边缘分布.

7、设),(y x f 是Y X ,的联合分布密度，)(x f X 是X 的边缘分布密度，则

=⎰

∞+∞

-)(x f X

1 .

8、二维正态随机变量),(Y X ，X 和Y 相互独立的充要条件是参数=ρ 0 .

9、如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为

则βα,应满足的条件是 18=

+βα ；若X 与Y 相互独立，则=α

184 ，=β 18

2 . 10、设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度

=),(y x f

2

2221

y x e +-

π

，Y X Z +=的概率密度)(Z f Z 4

2x e

-

.

12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为

()()()()

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2

22则 A =__1___。 二、证明和计算题

1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X ，第二次取的球上标的数字Y ，求),(Y X 的联合分布律.

解：031

}1,1{⋅===Y X P 31

131}2,1{=⋅===Y X P

31

2132}1,2{=⋅===Y X P

3

1

2132}2,2{=⋅===Y X P

2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X 为投入1号信箱的信数，Y 为投入2 号信箱的信数，求

),(Y X 的联合分布律.

·25·

解：X 的可能取值为0,1,2,3

Y 的可能取值为0,1,2,3

33

1

}0,0{===Y X P

333}1,0{===Y X P 33233

3

3}2,0{====C Y X P

3

31

}3,0{=

==Y X P 333}0,1{=

==Y X P 3

32

3}1,1{⨯===Y X P

331

3}2,1{⨯===Y X P 0}3,1{===Y X P 32

33

}0,2{C Y X P ===

333

}1,2{=

==Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 33

1

}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P

3、设 函 数 F(x , y) = ⎩⎨

⎧≤+>+1

20

1

21y x y x ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的

联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。

解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数

因 P{0 < ξ ≤ 2， 0 < η ≤1}= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0)

= 1- 1- 1 + 0 =

- 1 < 0

故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。

4、设⎰+∞=≥0

1)(,0)(dx x g x g 且，有⎪

⎩⎪⎨⎧+∞<≤++=其它,

0,0,][)

(2),(2

222y x y x y x g y x f π 证明：),(y x f 可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。

证明：易验证),(y x f 0≥，又

=

⎰⎰

+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f ),(dxdy y

x y x g ⎰⎰

∞+∞

+++0

2

222)

(2π

＝

⎰⎰

⎰

∞+∞

+==020

1)()

(2

dr r g rdr r

r g d π

θπ

符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。

5、在[ 0,π] 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y ，求0){cos(<+Y X P }的值。

解：⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤=其它,0,0,1

),(2π

πy x y x f ，0){cos(<+Y X P ＝43)232{=<

+<ππY X P 6、设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它0

,0),()43(y x ke y x f y x

(1)确定常数k (2)求),(Y X 的分布函数

(3)求}20,10{≤<≤

解：(1)

⎰

⎰∞∞

+-=0

)43(1dx e k dy y x

⎰⎰∞∞∞

-∞---=-⋅-=0003043412

]31[]41[k e e k dx e dy e k x y x y

12=∴k (2)⎰⎰--+---⋅==y x y x v u e e dudv e

y x F 0043)

43()1)(1(12

11212),( )1)(1(43y x e e ----=

0,0>>y x

0),(=y x F

(3))2,0()0,1()0,0()2,1(}20,10{F F F F Y X P --+=≤<≤<

95021.00)1)(1(83=+--=--e e

7、设随机变量),(Y X 的概率密度为

⎩⎨

⎧≤≤≤≤+=其它

2

0,103

/),(2y x xy x y x f 求}1{≥+Y X P