湖南省四大名校2014届高三下学期四校联考数学(理)试题

湖南省四大名校2014届高三下学期四校联考

数学（理）试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分。时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要

求的。）

1．复数与复数i 在复平面上的对应点分别是A ，B ，O 为坐标，则∠AOB 等于

A ．6π

B ．4π

C ．3π

D ．2

π 2．命题“函数()()y f x x M =∈是偶函数”的否定是

A ．,()()x M f x f x ∃∈-≠

B ．,()()x M f x f x ∀∈-≠

C ．,()()x M f x f x ∃∈-=

D ．,()()x M f x f x ∀∈-=

3．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表

现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy

bx a =+的值为1，则据此回归模型可以预测，加工90个零件所需要的加工时间约为

A ．80分钟

B ．90分钟

C ．100分钟。

D ．1l0分钟 4．已知双曲线22

221(0,0)x y a B a b

+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为

A ．22

1169

x y -= B ．22134x y -= C ．22

1916x y -=

D ．22143x y -= 5．已知四棱锥P —ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥的外接球的表面积为

A ．24π

B ．6π

C π

D ．3π

6．某社区四支篮球队参加比赛，现任意将这四支队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则所有可

能的比赛情况共有 A ．3种 B ．6种 C ．12种 D ．24种

7．当0

时，有4

） B ．

，1） C ．（1

D-

2）

8．定义全集U 的子集P 的特征函数1,,()0,,P U U x P f x C P x C P ∈⎧=⎨∈⎩

这里表示集合P 在全集U 的补集．已知P ⊆U ，Q ∈U ，下列四个命题中，其中的假命题是

A ．若P ⊆Q ，则对于任意x ∈U ，都有()()P Q f x f x ≤

B ．对于任意x ∈ U ，都有()1()

C P P f x f x =-

C ．对于任意x ∈U ，都有如()()()P Q P Q f x f x f x ≤⋅

D ．对于任意x ∈U ，都有()()()P Q P Q f x f x f x ≤+

二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分．）

9．函数22()sin cos ()f x x x x R ==∈的最小正周期为 ．

10．设某总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法

是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是 ．

11．设某算法流程图如图所示，其输出结果A= ．

12．积分2

||1x e dx -⎰的值是 ．

13．设z 一3x+y ，其中x ，y 满足不等式组0,0,0,x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩

若z 的最大值

为8，则z 的最小值是 ．

14．设G 是△ABC 的重心．

（1）若从△ABC 内任取一点P ，则点P 落在△GBC 内的概率是 。

（2）若从△GBC 内（不含边界），且,AQ AB AC λμλμ=++ 则的取值范围是 。

15．下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i+j ，。

则（1）,n n a = （n ∈N*）；

（2）表中的数82共出现 次．

三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．

（1）若2sin Acos C=sin B ，求

a c 的值； （2）若sin （2A+B ）=3sin B ，求tan tan A C 的值。

17．（本小题满分12分）

某高校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取．假设每项测试相互独立，学生甲和乙三个项目测试合格的概率均相等·且各项测试合格的概率分别为111,,223．

（1）求学生甲和乙至少有一人被录取的概率；

（2）求学生甲测试合格的项数X 的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，IN]21Jrr5 ABCD 为平行四边形，∠ACB=2

π，E A ⊥平面ABCD ，EF//AB ，FO//BC ，EG//AC ，AB=2EF 。

（1）在线段AD 上是否存在点M ，使GM//平面ABFE?并说明理由；

（2）若AC —BC 一2AE ，求二面角A —BF —C 的大小。

19．（本小题满分13分）

在一段笔直的斜坡AC 上竖立两根高16米的电杆AB ，CD ，过B ，D 架设一条10万伏高压电缆线。假设电缆线BD 呈抛物线形状，现以B 为原点，AB 所在直线为Y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现视线AD 恰与电缆线相切于点D （m ，n ）．

（1）求抛物线BD 的方程；

（2）根据国家有关规定，高压电缆周围1 0米内为不安全区域，问当有一个身高1.8米的人在这段斜坡上走

动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁?

20．（本小题满分13分）

如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC 中，|OA|=2，|OC|=，点P ，Q 满足1(1)()O P O A A Q A B R λλλ=⋅=-∈ ，点D 是C 关于原点的对称点，直线DP 与CQ 相交于点M 。

（1）求点M 的轨迹方程； （2）若过点F （—1，0）且斜率不为零的直线与点M 的轨迹相交于G ，H 两点，直线AG 和AH 与定直线l ：

x= 一4分别相交于点R ，S ，试判断以RS 为直径的圆是否经过点F?说明理由．

21．（本小题满分13分）

已知函数()sin .f x x x = （1）判断方程()1(0,)f x π=在内实根的个数，并说明理由；