平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 平面向量的有关概念 [典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |(2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b|b |，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b |成立的充分条件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案] (1)C (2)D[易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点(二) 平面向量的线性运算1．向量的线性运算：加法、减法、数乘2λ，使得b ＝λa .平面向量的线性运算[例1] (1)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.13b ＋23cB.53c －23bC.23b －13cD.23b ＋13c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ＝12NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值是________．[解析] (1)由题可知BC ＝AC －AB ＝b －c ，∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC ＝23(b －c )，则AD ＝AB ＋BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c ，故选D. (2)如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，所以AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13. [答案] (1)D (2)13[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．平面向量共线定理的应用[例2] 设两个非零向量a 和b 不共线．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解] (1)证明：因为AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ，所以AB ，BD 共线． 又AB 与BD 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为ka ＋b 与a ＋kb 共线，所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1.即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线． [方法技巧] 平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，AB 与AC 有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．突破点(三) 平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．基底的概念[例1] 如果e 1，e 2一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1[解析] 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案] D某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．平面向量基本定理的应用[例2] (2016·江西南昌二模)如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，AP的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47bD.47a ＋27b [解析] 如图，连接BP ，则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB ，③又RB ＝12QB ＝12(AB －AQ )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ，④ 将④代入③，得2AP ＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12 AP ， 解得AP ＝27a ＋47b .[答案] C [方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．突破点(四) 平面向量的坐标表示1．平面向量的坐标运算：(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模； (2)向量坐标的求法2．平面向量共线的坐标表示平面向量的坐标运算[例1] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1.即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ＝OM －OC ＝3c ，∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，即M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ，∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，即N (9,2)．∴MN ＝(9，－18)．[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．平面向量共线的坐标表示[例2] 已知a ＝(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ＝2a ＋3b ，BC ＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．[解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ＝a ＋mb ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥BC ，∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32. [方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[检验高考能力]一、选择题1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋32MC ＝0，D 是AC 的中点，则|MD ||BM |的值为( )A.13B.12C ．1D ．2 解析：选A ∵D 是AC 的中点，如图，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC为平行四边形，∴MD ＝12ME ＝12(MA ＋MC )，∴MA ＋MC ＝2MD .∵MB ＋32MA ＋32MC ＝0，∴MB ＝－32(MA ＋MC )＝－3MD ，∴BM ＝3MD ，∴|MD ||BM |＝|MD ||3MD |＝13，故选A. 2．在△ABC 中，BD ＝3DC ，若AD ＝λ1AB ＋λ2AC ，则λ1λ2的值为( ) A.116 B.316 C.12 D.109解析：选B 由题意得，AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋34BC ＝AB ＋34(AC －AB )＝14AB ＋34AC ，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316. 3．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ， CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选A 由OA ＋OB ＋CO ＝0，得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，可得|OA |＝|OB |＝|OC |.设OC 与AB 交于点D ，如图，由OA ＋OB ＝OC 可知D 为AB 的中点，所以OC ＝2OD ，D 为OC 的中点．又由|OA |＝|OB |可知OD⊥AB ，即OC ⊥AB ，所以四边形OACB 为菱形，所以△OAC 为等边三角形，即∠CAO ＝60°，故A ＝30°.5．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则xyx ＋y 的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.12解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG ＝λAM ＋(1－λ)AN ＝λx AB ＋(1－λ)y AC .∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23×12(AB ＋AC )＝13(AB ＋AC )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λx ＝13，1－λy ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝13x ，1－λ＝13y ，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13. 6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得5AM ＝2AD ＋3AC ①，即AM ＝25AD ＋35AC ，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM ＝AD ＋DM ②，①②联立，得5DM ＝3DC ，即在△ABM 与△ABC中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35. 二、填空题7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)8．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC ＝λAB ＋μAD ，则λμ＝________.解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC ＝(2，－2)，AB ＝(1,2)，AD＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.答案：－39．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{(－13，－23)}10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.解析：由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋λ2＋μ2AC ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ＋12 AD ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD ＝0.又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.答案：45三、解答题 11.如图，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作▱OADB ，BM ＝13BC ， CN ＝13CD ，用a ，b 表示OM ， ON ，MN . 解：∵BA ＝OA －OB ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －16b ， ∴OM ＝OB ＋BM ＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b .又∵OD ＝a ＋b ，∴ON ＝OC ＋13CD ＝12OD ＋16OD ＝23OD ＝23a ＋23b ，∴MN ＝ON －OM ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b . 综上，OM ＝16a ＋56b ，ON ＝23a ＋23b ，MN ＝12a －16b . 12.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解：以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B －12，32，设∠AOC ＝αα∈0，2π3，则C (cos α，sin α)， 由OC ＝x OA ＋y OB ，得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.。