2011年全国初中数学竞赛试题及答案
2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
G A B CDE F2011年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知a ＋b ＝2，(1－a )2b ＋(1－b )2a ＝-4,则ab 的值为( )(A) 1 (B) -1 (C) -1 2(D)1 22. 已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为( )(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 83. 方程│x 2－1│＝(4－23) (x ＋2)的解的个数为( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个4. 今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( ) (A) 5组 (B) 7组 (C) 9组 (D) 11组5. 如图，菱形ABCD 中，AB ＝3， DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE ＝( )(A) 1＋2 (B) 6 (C) 23－1 (D) 1＋36. 已知1x ＋1y ＋z ＝12, 1y ＋1x ＋z ＝13,1z ＋1x ＋y ＝14，则 2x ＋3y ＋4z 的值为( )(A) 1 (B)3 2(C) 2 (D)52二．填空题1. 在△ABC 中，已知∠B ＝2∠A ，BC ＝2，AB ＝2＋23，则∠A ＝ ．2. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则 b ＋2c ＝ ．3. 能使2n ＋256是完全平方数的正整数n 的值为 ．OA BCDEF4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果DE ＝34CE ，AC ＝85，D 为EF 的中点，则AB ＝ ．第二试1. 已知三个不同的实数a ,b ,c 满足a －b ＋c ＝3，方程x 2＋ax ＋1＝0和x 2＋bx ＋c ＝0有一个相同的实根，方程x 2＋x ＋a ＝0和x 2＋cx ＋b ＝0也有一个相同的实根．求a ,b ,c 的值．PABCDS2. 如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝120°，对角线AC ,BD 交于点S ，且DS ＝2SB ，P 为AC 的中点． 求证：（1）∠PBD ＝30°；（2）AD ＝DC ．3. 已知m ,n ,p 为正整数，m ＜n ．设A (－m ,0)，B (n ,0)，C (0,p )，O 为坐标原点．若∠ACB ＝90°，且OA 2＋OB 2＋OC 2＝3(OA ＋OB ＋OC ) （1）证明： m ＋n ＝p ＋3；（2）求图象经过A ,B ,C 三点的二次函数的解析式．参考答案一．选择题1.B2.B3.C4.C5.D6.C二．填空题1. 15°2. 23.114. 24第二试1.解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得ba c x --=11． 设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。
2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析
2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析一、选择题 1．A 解：因为1a =，1a += 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2. B3. D 4．C解：由已知得2310x x ++=， 于是 2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-5．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．6．D解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125x y z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411．7．C解：由题设可知1y y x -=，于是341yy x yxx-==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．8．C解：两式相加，得2358t t +=，解得1t =，或83t =-（舍去）．当1t =时，4530A B =︒=︒，满足等式，故1t =． 所以，实数t 的所有可能值的和为1. 9．C解：如图，连接D E ，设1D E F S S ∆'=，则1423S S EF S BFS '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．10．A解：当2 3 2011k = ，，，，因为 ()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ ， 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 11．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m=．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m∆=-≥0，即2，164m∆=-≥0，所以2， 164m∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.12．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.13．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2B D A C =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.14．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．15．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A F C BA C=，即1212b a b-=，故12()a b ab +=． ②由①②得2222122524a b a b a b a b+=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题16．解：设方程20x a x b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=， 所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.17．证明：如图，延长A P 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为A B 为⊙1O 的直径， 所以∠A D B =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以A H ∥CQ ，A C ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形.所以点P 为C H 的中点.18．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由 223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Qx x t=-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-，所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒，所以△B C P ∽△BDQ ， 故∠A B P =∠ABQ .（2）解法一 设P C a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠A B P =∠30ABQ =︒，B C，B D，所以 A C=2-，A D=2-.因为P C ∥DQ ，所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=，即a b=所以a b +=．由（1）中32P Qx x t=-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b ==将2b =代入223y x=，得到点Q 2，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解析式为13y =-+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠A B P =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Qy x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32PQ x x k+=.若2Q x =代入上式得 P x = 从而 2()33P Q k x x =+=.同理，若Q x = 可得2P x =-从而 2()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.19．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =，所以相似比为2. 于是224A Q A P B Q C P ====．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()28AB PQ AP BQ =++=+.故 213s i n 60282ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==．不同见解，敬请海涵。
2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案_
２．已 知 △ＡＢＣ 的 两 条 高 线 的 长 分 别 为 ５ 和 ２０， 若第三条高线的长也是 整 数，则 第 三 条 高 线 长 的 最 大
值 为 （ ）． （Ａ）５ （Ｃ）７
（Ｂ）６ （Ｄ）８
３．方程｜ｘ２－１｜＝（４－２槡３）（ｘ＋２）的解的 个 数 为
（ ）．
（Ａ）１ 个
（Ｃ）９ 组
（Ｄ）１１ 组 ．
５．如图，菱 形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝３，ＤＦ＝１，∠ＤＡＢ ＝６０°∠ＥＦＧ＝１５°，ＦＧ⊥ＢＣ，则 ＡＥ＝（ ）
（Ａ）１＋槡２．
（Ｂ）槡６．
（Ｃ）２槡３－１．
（Ｄ）１＋槡３．
６．已 知
１ ｘ
＋ｙ１＋ｚ＝
１ ，１ ２ｙ
＋ｚ＋１ｘ ＝
１ ，１ ３ｚ
＋
ｘ１＋ｙ＝
１ ４
，则
线交于点 Ｆ，如 果 ＤＥ＝ ３４ＣＥ，
ＡＣ＝８ 槡５，Ｄ 为 ＥＦ 的 中 点，则
ＡＢ＝
．
第 二 试 （Ａ）
一、（本题满分２０分）已知 三 个 不 同 的 实 数ａ，ｂ，ｃ
满足ａ－ｂ＋ｃ＝３，方程 ｘ２＋ａｘ＋１＝０和 ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝
０ 有 一 个 相 同 的 实 根 ，方 程ｘ２ ＋ｘ＋ａ＝０ 和ｘ２ ＋ｃｘ＋ｂ
ＡＥ 的延长线于点 Ｈ ．
由 Ｄ 为ＡＣ 的中点，知 ＣＨ＝２ＦＤ．
由 分 析 ２，ＢＦ＝４ＦＤ．
故 ＥＢＣＥ＝ＣＢＨＦ＝２．
由 ＥＢＣＥ＝ＳＳ△△ＡＡＣＢＦＦ ＝２ＳＳ△△ＡＡＢＤＦＦ ．
③
由 分 析 ２，△ＡＢＦ∽ △ＤＡＦ．
得
Ｓ△ＡＢＦ Ｓ△ＡＤＦ
＝
（ＡＢ ＡＤ
）２＝４．
④
由③、④得 ＢＥ＝２ＥＣ．
数学周报杯2011年全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题（每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项）1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为（ ）（A ）24 （B ）25 （C ）1074+ （D ）1274+2、对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为：（a ，b ）△（c ，d ）=（ac+bd ，ad+bc ）。
如果对于任意实数u ，v ，都有（u ，v ）△（x ，y ）=（u ，v ），那么（x ，y ）为（ ）（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（-1，0） （D ）（0，-1）3、若x>1，y>0，且满足xy=x y ，y x yx 3=，则x+y 的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）29 （D ）211 4、点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设S 四边形EADF =S 1，S △BDF =S 2， S △BCF =S 3，S △CEF =S 4，则S 1S 3与S 2S 4的大小关系为（ ）（A ）S 1S 3< S 2S 4 （B ）S 1S 3=S 2S 4 （C ）S 1S 3>S 2S 4 （D ）不能确定5、设3333991312111+⋅⋅⋅+++=S ，则4S 的整数部分等于（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（每小题7分，共35分）6、若关于x 的方程（x-2）（x 2-4x+m ）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是___________。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。
2011年全国初中数学竞赛初赛试卷
2011年全国初中数学竞赛（海南赛区）数 学 试 卷一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母1．设xy ＜0，x ＞|y |，则x+y 的值是A. 负数B. 0C. 正数D. 非负数 2．若(x +3)(x +n )=x 2+mx -15，则m 等于 A. -2B. 2C. -5D. 53．若0||=+a a ，则化简22)1(a a +-的结果为A ．1B ．-1C ．12-aD ．a 21- 4．无论m 为何实数，直线y=x +m 与y=-x -4的交点不可能在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．从1～9这九个自然数中随机取出一个数，取出的数是2的倍数的概率是A ．92B ．94 C ．95D．32 6．A 地在河的上游，B 地在河的下游，若船从A 地开往B 地速度为v 1，从B 地返回A 地的速度为v 2，则A 、B 两地间往返一次的平均速度为A ．221v v +B ．21212v v v v + C ．212v v + D ．21212v v vv +7. 图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离(y )与时间(x )之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是B.图1A.C.D.8．如图2，AB是坡角为30°的山坡上铅直的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC的长度为4米，则电线杆AB的高度为A．4米 B．6米 C．8米 D．10米9．如图3，菱形ABCD中，点O是对角线AC上一点，OA=AD，且OB=OC=OD=1，则该菱形的边长为A．51+B．251-C．1 D．210．根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300 km的点O处（如图4），正以20 km/h的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250 km范围内都会受到影响，若台风移动的方向不变，A市将会受到台风的影响，则A市受影响持续的时间是A．10小时 B．20小时 C．30小时 D．40小时二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11．若n（0≠n）是关于x的方程022=++nmxx的根，则nm+的值为 .12．若03=+ba，则22222(1)24b a ab ba b a b++-÷=+-．13．某校为了解初三女学生的体能，随机抽查30名初三女学生，测试1分钟内仰卧起坐的次数，并绘制成（如图5）所示的频数分布直方图，则仰卧起坐次数在25~45次的频率是________．14．如图6，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________．15．已知二次函数的图象经过原点及点1124⎛⎫--⎪⎝⎭，，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．16．图7中的两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A 距O点20 cm，滑块B距O点15 cm．则当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了_________．12953图51ABC图6A BCDO图3 图4图7图217．如图8，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD的度数是90°，则∠B 的度数是_________． 18．如图9，将长为4 cm 宽为2 cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处 压平后得到折痕MN ，则当点E 是CD 的中点 时，线段AM 的长度为__________． 三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19．如图10，正方形ABCD 的边长为1，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 是AB 边上的一个动点（点P 不与点A 、B 重合），CP 与BD 相交于点Q ． （1）若CP 平分∠ACB ，求证：AP =2QO ． （2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题.① 把线段PC 绕点P 旋转90°，使点C 落在点E 处，并连接AE ．设线段BP 的长度为x ，△APE 的面积为S . 试求S 与x 的函数关系式； ② 求出S 的最大值，判断此时点P 所在的位置．20．文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程图9BEACBDO图8C DABCDPOQ 图10火车票至少．．需11220元，并且学生家长与教师的人数之比为2∶1．文昌到三亚的火车票价格（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票只能买到x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？。
全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ B ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15︒．2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 ． 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．CEFBA第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。
全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15︒．2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 ． 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．CEFBA第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。
2011年全国初中数学联赛决赛试卷及其答案
2011年全国初中数学联赛决赛试卷（4月10日 上午8：45——11：15）考生注意：1．本试卷共三大题（13个小题），全卷满分140分．2．用圆珠笔、签字笔或钢笔作答．3．解题书写不要超出装订线．4．不能使用计算器．一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ）A ．42条B ．54条C ．66条D ．78条2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE＝15°，则∠BOE ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的分根 是（ ）A ．a ，bB ．－a ，－bC ．c ，dD ．－c ，－d4．若不等式2133x x a -+-≤有解，则实数a 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．65．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ）A ．18B ．24C ．30D ．366．不定方程2225x y -=的正整数解（x ，y ）的组数是（ ）A ．0组B ．2组C ．4组D ．无穷多组．二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上．1．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x =1对称，则y 的最小值是__________．2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．已知△ABC 中，ABBC ＝6，CA，点M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是_______________．4．一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手参赛，每位选手都与其余10n －1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n 的所有可能值是__________．三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1．（本题满分20分）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，使得1212(3)(3)80x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．O E D C B A2．（本题满分25分）抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0<x 1<x 2．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△CAN 是等腰直角三角形， 且S △BMN =52S △AMN ．求该抛物线的解析式．3．（本题满分25分）如图，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB >AC ）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．△MDH 的外接圆交CM 于E ．求证：∠AEB ＝90°．E H M D C B A2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B2、D3、A4、C5、B6、A二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、12、03、23 4、1 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、（本题满分20分）已知21,x x 是关于x 的一元二次方程012)13(22=-+-+a x a x 的两个实数根，使得80)3)(3(2121-=--x x x x 成立。
2011年全国 初中数学联赛(含答案)
12011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2a b +=，()()22114a b ba--+=-，则ab 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．12-D ．12【解析】 B由22(1)(1)4a b b a--+=-可得22(1)(1)4a a b b ab -+-=-，即()2233()240a b a b a b ab +-++++=，即()()222222240a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1ab =-．2．已知ABC △的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 B设ABC △的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为222520S S Sh，，．显然222520S S >，于是由三边关系，得222205222205S S Sh S S S h ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得2043h <<． 所以h 的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．3．方程()21423(2)x x -=-+的解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C如图，利用函数图像，发现主要是讨论在11x -≤≤时的交点情况，可用判别式判断(21423(2)x x -=--有两个相同的实数根，所以函数图象上中间部分应该是相切的，所以共有三个交点．4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A ．5组B ．7组C ．9组D ．11组【解析】 C显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条，当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．yxOy=4-23((x +2)y=x 2-13又因为12945+++=L ，所以正方形的边长不大于45114⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由于7=1+了=2+5=3+4； 8=1+7=2+6=3+5； 9=1+8=2+7=3+6=4+5；1+9=2+8=3+7=4+6 2+9=3+8=4+7=5+6．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法．故满足条件的“线段组”的组数为1459⨯+=．5．如图，菱形ABCD 中，3AB =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，则AE =（ ）A ．12+B 6C ．231D ．13【解析】 D过F 作AB 的垂线，垂足为H ．60DAB ∠=︒Q ，2AF AD FD =-=，30EFG ∴∠=︒，1AH =，3FH =，又15EFG ∠=︒Q90301545EFH AFG AFH EFG ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，从而FHE △是等腰直角三角形，所以3HE FH ==DCABE HFG413AE AH HE ∴=+=．6．已知111111111234x y z y z x z x y +=+=+=+++，，，则234x y z++的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【解析】 C111122x x x y z y z +=∴+=++，，即22x y z x y zy z x x y z+++=∴=+++， 同理可得：34x z x yy x y z z x y z++==++++， 则()22342x y z x y z x y z++++==++ 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在ABC △中，已知2B A ∠=∠，223BC AB ==+，，则A ∠=______________．【解析】 15︒方法一：延长AB 到D ，使BD BC =，连线段CD ，则12D BCD ABC A ∠=∠=∠=∠，所以CA Cd =．作CD AB ⊥于点E ，则E 为AD 的中点，故()()111223223222AE DE AD AB BD ===+=+=+，((223233BE AB AE =-=+-．在Rt BCE △中，3cos EB EBC BC ∠==，所以30EBC ∠=︒，故1152A ABC ∠=∠=︒． CD5方法二：过点C 点AB 的平行线交B ∠的角平分线与D 点，分别过C 点和D 点作AB 的垂线，垂足分别为E 、F ，易知梯形ABCD 为等腰梯形易知22CD CB EF ==∴=，3Rt AF BE BCE ∴==∴中，3cos EBC ∠=，30CBE ∴∠=︒ 15A ∴∠=︒2．二次函2y x bx c =++的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A B ，两点，与y 轴正方向交于C 点，若ABD △和OBC △均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则2b c +=____________．【解析】 2．方法一：由已知，得24(0)0b b c C c A ⎫---⎪⎪⎝⎭，，，240b b c B ⎫-+-⎪⎪⎝⎭，2424b b c D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，．过D 作DE AB ⊥于点E ，则2DE AB =，即224244b c b c -⨯-22424b c b c -=-240b c -242b c -．又240b c ->242b c -=．又OC OB =，即24b b cc -+-=，得2242b c b c +-=．方法二：OBC △为等腰直角三角形，OB OC ∴=，B ∴点坐标为()0c ，20c bc c ∴++=，又0c ≠，10c b ∴++=，24AB b c -D 点纵坐标为24b c -，BE F A CD6ABD △为等腰直角三角形，221442b c b c ∴-=-22424b c b c ∴-=-240b c -≠，所以244b c -=2444b c b ∴=+=-，0b ≠，4b ∴=-，3c ∴=3．能使2''256+是完全平方数的正整数n 的值为______________．【解析】 11．当8n <时，()82''2562''12n -+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2n =，则2''2562652+=⨯；若4n =，则42''256217+=⨯；若6n =，则62''25625+=⨯；若8n =，则82''25622+=⨯，所以，当8n ≤时，2''256+都不是完全平方数．当8n >时，()882''256221n -+=+，若它是完全平方数，则821n -+为一奇数的平方．设()282121n k -+=+（k 为自然数），则10(1)n n k k -=+．由于k 和1k +一奇一偶，所以1k =，于是1022n -=，故11n =．4．如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果34DE CE =，85AC =，D 为EF 的中点，则AB =______________．【解析】 24．设4CE x AE y ==，，则36DF DE x EF x ===，连AD BC ，．因为AB 为O e 的直径，AF 为O e 的切线，所以90EAF ∠=︒，ACD DAF ∠=∠．7又因为D 为Rt AEF △的斜边EF 的中点，DA DE DF DAF AFD ∴==∴∠=∠，，85ACD AFD AF AC ∴∠=∠∴==，在Rt AEF △中，由勾股定理得222EF AE AF =+，即2236320x y =+．设BE z =，由相交弦定理得CE DE AE BE =g g ，即24312yz x x x ==g， 23203y yz ∴+= ①又AD DE =Q ，DAE AED ∴∠=∠．又DAE BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，BCE BEC ∴∠=∠，从而BC BE z ==．在Rt ACB △中，由勾股定理得222AB AC BC =+，即22()320y z z +=+，22320y yz ∴+=． ②联立①②，解得816y z ==，．所以24AB AE BE =+=．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a b c ，，满足3a b c -+=，方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实根，方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实根．求a b c，，的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．CAE OFDB8设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则221211100x ax x bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得11c x a b -=-．设1x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则22211200x x a x cx b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得21a b x c -=-．所以121x x =．2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准又方程①的两根之积等于1，于是2x 也是方程①的根，则22210x ax ++=． 又2220x x a ++=，两式相减，得2(1)1a x a -=-． 若1a =，则方程①无实根，所以1a ≠，故21x =．于是21a b c =-+=-，．又3a b c -+=，解得32b c =-=，．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =，P 为AC 的中点．求证：（1）30PBD ∠=︒；（2）AD DC =．直径，P 为该圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒．（2）作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，DAPM SNB C931222MS DS DM SB SB SB SN ∴=-=-==，Rt PMS Rt PNS ∴≅△△，30MPS NPS ∴∠=∠=︒，又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．⑴证明：3m n p +=+；⑵求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 ⑴因为90ACB ∠=︒，OC ab ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=2()2()()()m n p p m n p m n p m n p ++-++=+++-，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．（2）由2mn p =，3m n p +=+知m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而[]22(3)40p p =-+->△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．10当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．设图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =-．所以，图象经过.A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =．求证：AD DC =．证明 由已知得90ADC ∠=︒，从而A B C D ，，，四点共圆，AC 为直径．设P 为AC 的中点，则P 为四边形ABCD 的外接圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，则M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，CBNSM PAD11∴31222MS DS DM SB SB SB SN =-=-==,∴Rt PMS Rt PNS ≅△△,∴30MPS NPS ∠=∠=︒,又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，所以45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 因为90ACB ∠=︒，OC AB ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=222()2()()2()m n p p m n p m n p p np mp ++-++=++-++，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．又2mn p =，故m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而()22340p p =-+->⎡⎤⎣⎦△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．12当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．试图象经过A B C ，，三点的二次涵数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =． 所以，图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，已知P 为锐角ABC △内一点，过P 分别作BC AC AB ，，的垂线，垂足分别为D E F ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ，如果PD PE PF =+，求证：CN 是ACB ∠的平分线．证明 如图1，作1MM BC ⊥于点1M ，2MM AB ⊥于点2M ，1MN BC ⊥于点1N ，2MN AC ⊥于点2N ．MAB CD EPF M 1N 1M 2N 2NP NDHMN 1M 1H 1设NP NM λ=⊥，∵11NN PD MM ∥∥，∴111N D N M λ=．13若11NN MM <，如图2，作1NH MM ⊥，分别交1MM ，于点1H H ，，则1NPH NMH :△△，∴1PH NPMH NMλ==，∴1PH MH λ=， ∴()()111111111PD PH H H MH NN MM NN NN MM NN λλλλ=+=+=-+=+-．若11NN MM =，则()11111PD NN MM MM NN λλ===+-．若11NN MM >，同理可证11(1)PD MM NN λλ=+-．∵2PE NN ∥，∴21PE PMNN NMλ==-，∴2(1)PE NN λ=-． ∵2PF MM ∥，∴2PF NPMM NMλ==，∴2PE MM λ=． 又PD PE PF =+，∴1122(1)(1)MM NN MM NN λλλλ+-=+-．又因为BM 是ABC ∠的平分线，所以12MM MM =，∴()()1211NN NN λλ-=-．显然1λ≠，即10λ-≠，∴12NN NN =，∴CN 是ACB ∠的平分线．三、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同．。
2011年全国中学生数学竞赛初赛试题答案1-3
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+
1 6
-
1 8
）
4分
=
1 1001
伊［（ 12
+
1 3
+
1 6
）-（
1 4
+
1 8
）］
5分
=
5 8008
.
7分
15. 两种填法均可：
-1-
5
1
3
4 或4
3
1
5
2
2
（填正确一个数给 1.6 分） 16. 令 5x + 4y + 11z = 4020，淤 7x + 12y + 17z = 4024， 于 淤 + 于得，12x + 16y + 28z = 8044， 即 4 伊（3x + 4y + 7z）= 8044， 所以 3x + 4y + 7z = 2011. 四、一鼓作气（本大题共 2 道小题，17 题 12 分，18 题 12 分，总计 24 分） 17. 设尖头有 x 盏灯，根据题意列方程，有 x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381 （1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64）x = 381 127x = 381 x=3 答：尖头有 3 盏灯. 18. 由题中的三个图形可知： 第 1 个图形中有：1 + 3 = 4（个）三角形， 第 2 个图形中有：1 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 2 = 7（个）三角形， 第 3 个图形中有：1 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 3 = 10（个）三角形， 第 4 个图形中有：1 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 4 = 13（个）三角形， …… 第 10 个图形中有：1 + 3 + 3 + … + 3 = 1 + 3 伊 10 = 31（个）三角形；
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（9）如图，双曲线 （x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为.
【答】 ．
解：如图，设点B的坐标为 ,则点 的坐标为 .因为点 在双曲线 上，所以 又点 在双曲线上，且纵坐标
第（9）题
为 ，所以点 的坐标为 .于是
…………5分
又因为 ，所以 .
因为∠ ∠ ，所以△ ∽△ .
故∠ =∠ .…………………………………………………………10分
（Ⅱ）解法一设 ， ，不妨设 ≥ >0，
由（Ⅰ）可知
∠ =∠ ， = ， = ，
所以 = ， = .
因为 ∥ ，所以△ ∽△ .
于是 ，即 ．所以 ．
由（Ⅰ）中 ，即 ，所以
于是，可求得 .
于是 .……………………………………………………10分
又因为点 为△ 的垂心，所以
所以 ∥ ， ∥ ，
四边形 为平行四边形.………………………………………………15分
所以点 为 的中点.………………………………………………20分
（13）如图，点 为 轴正半轴上一点， 两点关于 轴对称，过点 任作直线交抛物线 于 ， 两点.
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛
（天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）
（1）设 ，则代数式 的值为( ).
（A）0
（B）1
（C）﹣1
（D）2
【答】C．
解：由已知得 于是
（2）已知 为实数，且满足 ， ，则
的最小值为( ).
（A）
（B）0
（C）5
（D）
又因为
所以 ；或者 ，
故 ，或29.………………………………………………20分
（12）如图，点 为△ 的垂心，以 为直径的⊙ 和△ 的外接圆⊙ 相交于点 ，延长 交 于点 ，
求证：点 为 的中点.
证明：如图，延长 交⊙ 于点 ，
连接 .
因为 为⊙ 的直径，
所以∠ ∠ ．…………5分
故 为⊙ 的直径.
【答】 ．
解：在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6），（2，5），（2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是 .
（8）若 的最大值为a，最小值为b，则 的值为.
【答】 ．
解：由 ≥0，且 ≥0，得 ≤ ≤ ．
．
由于 ，所以当 时， 取到最大值1，故 ．
第（10）题
（10）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为.
【答】84．
解：如图，设BC＝a，AC＝b，
则 ＝1225．①
又Rt△AFE∽Rt△ACB，
所以 ，即 ，
故 ．②
由①②得 ，
解得a＋b＝49（另一个解－25舍去），所以 ．
【答】31．
解：由勾股定理,得 ．因为b是整数， ，所以 是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即 ．因此a一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．
（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是.
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求 的值.
解：设方程 的两个根为 ，其中 为整数，且 ≤ ，
则方程 的两根为 ，由题意得
，………………………………5分
两式相加，得 ，即 ，
所以， 或 ………………………………10分
第（5）题
（5）点 分别在△ 的边 上， 相交于点 ，设
，
则 与 的大小关系为( ).
（A） （B）
（C） （D）不能确定
【答】C．
解：如图，连接 ，设 ，
则 ，从而有 ．因为 ，所以 ．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）两条直角边长分别是整数 （其中 ），斜边长是 的直角三角形的个数为.
使得 ，从而 ．…………………………………15分
即 ．…………………………………………20分
又由（Ⅰ），得 ， .
若 代入上式得 从而 .
同理，若 可得 从而 .
所以，直线 的函数解析式为
，或 .………………………………………20分
（14）已知 ，且 ，证明： 中一定存在两个数 ，使得 ．
证明：令 ，……………………………………5分
则 .…………………………………10分
故一定存在 ≤ ≤2010，
【答】D．
解：由 可得
于是 ．
因此，当 时， 的最小值为 ．
（3）若 ， ，且满足 ，则 的值为( ).
（A）1
（B）2
（C）
（D）
【答】C．
解：由题设可知 ，于是 ，所以 ．
故 ，从而 ．于是 ．
（4）设 ，则 的整数部分等于( ).
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
【答】A．
解：当 ，因为 ，
所以
将 代入 ，得到点 的坐标（ ， ）.…………………15分
再将点 的坐标代入 ，求得 .
所以直线 的函数解析式为 .
根据对称性知，
所求直线 的函数解析式为 ，或 .………………20分
解法二设直线 的函数解析式为 ,其中 .
由（Ⅰ）可知，∠ =∠ ，所以 .
故 .
将 代入上式，平方并整理得
，即 .
所以 或 .
（Ⅰ）求证：∠ =∠ ；
（Ⅱ）若点 的坐标为（0，1），
且∠ =60º，试求所有满足条件的
直线 的函数解析式.
解：（Ⅰ）如图，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 .
设点 的坐标为（0， ），则点 的坐标为（0，- ）.
设直线 的函数解析式为 ,
并设 的坐标分别为 , .
由 得 ，
于是 ，即 .于是，