数学物理方法名词解释

第一章

1.定解条件：边界条件和初始条件统称为定解条件。边界条件又有Dirichlet 边界条件（也称第一类边界条件）、Neumann 条件,也称第二类边界条件、Robin 边界条件，第三类边界条件。P3-4

2.定解问题：一个微分方程（组）和相对应的定解条件合在一起就构成了一个定界问题。又分有初始问题（Cauchy 问题），只有初始条件没有边界条件的定界问题；边值问题，只有边界条件没有初始条件的定解问题；混合问题，两者都有。对于边值问题，根据边界条件不同，又可以分为第一、第二和第三边值问题。 P11

3.定解问题的适定性

从数学上看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述给定的物理状态，一般来说有一下三个标准：

⑴解的存在性：所给定的定解问题至少存在一个解。

⑵解的惟一性：所给定的定解问题至多存在一个解。

⑶解的稳定性：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。 定解问题解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性。P12

4.Dirichlet 、Neumann 定解问题

定解条件只有Dirichlet 条件没有初始条件的定解问题叫做Dirichlet 定解问题。 定解条件只有Neumann 条件没有初始条件的定解问题叫做Neumann 定解问题。

5.热传导Fourier 定律：热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。对于一维问题，可表示为:Φ＝-λA(dt/dx)

其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A 为传热面积，单位为m2, t 为温度，单位为K, x 为在导热面上的坐标。

6.Hooke 弹性定律：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。χχεσE =

7.发展方程：所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等

8.在热传导方程中，如果温度分布稳定，即0u t =，则三维热传导方程f u a u 2t +∆=变为

0f u =+∆，此方程为Poisson 方程。特别地，若f(x,y,z)=0，即0u =∆，则为Laplace 方程。

Poisson 方程或Laplace 方程统称为位势方程。

9.二阶线性偏微分方程分类方法

022*******=++++++F Cu u B u B u A u A u A ηξηηξηξξ的二阶主部为yy xy xx u A u A u A 2212112++。

若二阶主部作成的判别式在区域Ω中的某点

），（00y x 02211212>-≡∆a a a ，则称方程在这点），（00y x 是双曲型的；若某点），（00y x 022112

12=-≡∆a a a ，称方程在这点），（00y x 是

抛物型的；若某点），（00y x 02211212<-≡∆a a a ，则称方程在这点），（00y x 是椭圆型的。

第二章

1.特征值： 使常微分方程边值问题具有非零解的数λ称为这个边值问题的特征值，相对应的非零解称为这个特征值的特征函数。P26

2.Sturm-Liouville 问题： 常微分边值问题，以及求它的所有特征值和特征函数的问题。

3.驻波：有节点的振动波。

4.腹点：使振幅达到最大值的点。

5.节点：点n)0,1,...,(k ==

n

kl x k ，在任何时刻t 都使0t)(x ,u n =的点。 6.基频：在所有的驻波频率l a l a n πωπω==1n 中，最小，称为基频。 7.固有基频：ρππωT l n l a n ==n 为弦的固有频率。

8. 三角函数系的正交性: 1，cosx ，sinx ，cos2x ，sin2x ，…cosnx ，sinnx ，构成了一个三角函数系,其中任意两个不同的函数的乘积在[-π,π]上的积分必为零.

9.Fourier 级数：∑∞=++=1

n n 0sinnx)b cosnx (a 2a (x) (x)n f f 满足一定条件，则

若

10.矩形域、圆域上的laplace 问题：P41，P44

11.分离变量法解题步骤

(1)将偏微分方程的定解问题通过分离变量得到相应的常微分方程特征值问题；

(2)求解特征值问题，确定特征值与特征函数；

(3)求解满足原偏微分方程和边界条件的解；

(4)利用叠加原理，将解叠加，并利用初始条件和齐次边界条件确定叠加系数，从而得到偏微分方程定解问题的解。

第三章

1.Fourier 变换：若f(x) 满足傅氏积分定理条件，则称表达式()i ()d +∞

--∞=⎰x F f x e x ωω 为

f(x)Fourier 变换。

place 变换：若f(x) 在[0,+∞]上有定义，对于复数p, 则称表达式

()0()d +∞-=⎰px F p f x e x 为f(x) Laplace 变换。

3.Fourier 性质：

线性性质：F[g]F[f]][βαβα+=+g f F

位移性质：c)-(]F[f(x)e [f(x)],e

c)]-[f(x ^icx -ic -λλf F F == 微分性质：[f(x )])(i (x )]F[f

F[f(x )],i (x )][f m (m)'F F λλ==

place 性质： 线性性质：[g(x)][f(x)](x)](x)[L L g f L βαβα+=+

平移性质：0)a)-(Re(p )-F(p f(x )]L[e (p),[f(x )]x

>==αα则设F L

微分性质：(0)-(0)p -...-(0)p -(0)p -(x)]L[p (x)]L[

f(0),-(x)]pL[(x)][1)-(n 2)-(n '2-n 1-n n (n)'f f f f f f f f L ==

5.Fourier 变换求解偏微分方程的基本步骤

（1） 根据自变量的变化范围及定解条件的情形,确定关于那个变量作变换,对方程两边施以 Fourier 变换,使偏微分方程转化为关于未知函数的Fourier 变换(像函数)的常微分方程

（2）对定解条件进行相应的变换,导出常微分方程的定解条件

（3）解常微分方程定解问题,求得原定解问题解的像函数

（4）对所得像函数进行逆变换,得偏微分方程定解问题形式解

（5）必要时,验证在一定条件下,形式解就是所求问题的古典解

6.Fourier 变换,Laplace 变换的存在条件：（╮(╯_╰)╭）

第四章

1.无限长弦自由振动的d ’Alembert 公式

ξξψϕϕd u at x at x ⎰++++=-t)(x,)(2a

1at)]-(x at)(x [21 2,行波速度：ρ

T =

a 3.特征变换 自变量变换 ⎩

⎨⎧=+=at x at x -ηξ ，称为特征变换,行波法也叫特征线法。 4.特征线：分析其物理意义表明, 在 xot 平面上斜率为a

1±的两族直线：常数=±at x ，对一维波动方程研究起重要作用，称这两族直线为一维波动方程的特征线。波动沿特征线传播。P100

5.球对称性：指u(x,t)与θϕ,变量无关，至于r 有关。P104

6.d ’Alembert 公式的物理意义（╮(╯_╰)╭）

7.行波法与驻波法的区别（尽力了╮(╯_╰)╭）