2008年初二数学竞赛试题(定稿)

2008年初二数学竞赛试题

答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．

2．解答书写时不要超过装订线． 3．可以用计算器

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．设x =

x 的值为 （ ）

A ．正数

B ．负数

C ．非负数

D ．零 2．已知

312=-

y

x

，

则x

y xy xy y x 3652-+--的值 （ ）

A ．7

1 B ． 7

1-

C ． 7

2 D ． 7

2-

3．方程（1)13

2

=--+x x x 的所有整数解的个数是 （ ）

A ．２

B .３

C .４

D .５

4.若直线b ax y +=与直线2

521+

=

x y 关于x 轴对称，则b a +的值是 （ ）

A ．－３

B .－２

C .２

D .３

5．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 （ ） A .１４ B .１６ C . １８ D .２０

6. 如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的

小正方体的个数是 ( )

主视图 左视图 俯视图

A.7个

B.8个

C.9个

D.10个

7．在凸四边形ABCD 中，∠C=1200, ∠B=∠D=900

,AB=6,BC=23,则AD= （ ）

A. 23

B.6

C. 43

D.63

8.设n(n ≥2)个正整数1a ，2a ，…，n a ，任意改变它们的顺序后，记作1b ，2b ，…，n b ，若P=(1a -1b )(2a -2b )(33b a -)…(n a 一n b )，则 ( ) A ． P 一定是奇数． B ．P 一定是偶数．

C ．当n 是偶数时，P 是奇数．

D ．当n 是奇数时，P 是偶数

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．已知20082006,20082007,20082008a x b x c x =+=+=+，则多项式

2

2

2

a b c ab bc ca ++---的值 ．

10．将５个整数从大到小排列，中位数是４，如果这个样本中的唯一众数是７，则这５个

整数的和的最大值是 ． 11．在图8中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、 2、3、4、5，那么，右上角的小方格内填入x 的数应是 .

12．在△ABC 中，AB ＝15cm ，AC ＝13cm ，BC 边上高A D ＝12cm ，

则三角形ABC 的面积为 ．

1

32

3

53145x

13．如图,有一种动画程序，屏幕上方正方形区域ABCD

表示黑色物体甲,其中A ( 1,1 ) B ( 2,1 ) C ( 2,2 )

D ( 1,2 )，用信号枪沿直线b x y +=3发射信号,当信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则当b 的取值范围为 ______时，甲能由黑变白．

14．如果正整数n 有以下性质：n 的八分之一是平方数，n 的九分之一是立方数，n 的二十五分之一是五次方数，那么n 就称为“希望数”，则最小的希望数是 .

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．已知四个实数,,,a b c d ，且,a b c d ≠≠.若四个关系式：2

4a ac +=，2

2

2

4,8,8b bc c ac d ad +=+=+= 同时成立， （1）求c a +的值； （2）分别求d c b a ,,,的值.

每辆车乘坐28名人，出发开出一段时间后，发现有一学生迟到没

上车.现决定开一辆空车去接他，接回后为赶时间就把这辆空车开

走，让所有的人员重新分配，则刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的载客量不能

多于32人，那么原有几辆汽车，这批春游的学生共有多少人?

图1

F E

D

C

B

A

图2

F

E

A

B

C

D 17．在△ABC 中，∠C=90?，D 是AB 的中点，

E 、

F 分别

在BC 、AC 上，且∠EDF=90?.

(1)如图1，若E 是BC 的中点，,EF 与AF 、BE 有怎样的数量关系？

并说明理由；

（2）如图2，当F 在AC 上运动时，点E 在BC 上随之运动，问在运

动过程中，EF 与AF 、BE 有怎样的数量关系？并说明理由.

18．已知直线)1(1

4

2k y ≠--+=

k k k x

（1）说明无论k 取不等于1并求出此定点的坐标；

（2）若点B(5,0) , 点P 在y 轴上，点A 为（1）中确定的定点，

要使△PAB 为等腰三角形，求直线PA 的解析式．

2008年初二数学数学竞赛试题参考答案及评分建议

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9. 3 10.23 11. 1 12.84cm 2或24 cm 2

（答对一个得2分） 13. -５≤b ≤－１ 14. 2

15

·320·512

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)

解：（1）由)(2ac a ++)(2ac c +=4+8=12，得12)(2=+c a ，

∴ 32±=+c a . …… 4分

（2）由)(2ac a +(-)2bc b +=4－4=0，

-+)(2ac c )(2

ad d

+=8－8=0

得 0))((=++-c b a b a ，)((d c -0)=++d c a ∵b a ≠，d c ≠,

∴0=++c b a ,0=++d c a . ∴)(c a d b +-==. …… 2分 又)(2ac a +－)(2ac c +=4－8=－4， 得，4))((-=+-c a c a . …… 2分 当32=+c a 时，3

32-=-c a ，

解得3

34=

a ，3

32=

c ，

32-==d b . …… 2分

当32-=+c a ，3

32=-c a ，

解得334,3

32-

=-

=c a ，

32==d b . …… 2分

16．(12分)

解：设原有k 辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n 个人，显然k ≥2，

G

F

E

A

B

C D

n ≤32．

易知旅客人数等于128+k ，当一辆空车开走以后，这批春游的学生的人数可以表示为)1(-k n ，由此列出方程

)1(128-=+k n k . …… 2分

所以 1

2928129

)1(221

128-+

=-+-=

-+=

k k k k k n . …… 4分

因为n 为正整数数，所以1

29-k 必为正整数，但由于29是质数，因数只有1和29

两个，且k ≥2，所以11=-k ，或291=-k . …… 2分

如果11=-k ，则2=k ，57=n ，不满足n ≤32的条件. 如果291=-k ，则30=k ，29=n ，符合题意. …… 2分 所以旅客人数等于)1(-k n ＝29×29＝841（人）. …… 2分 答：原有车辆30辆，这批春游的学生共有841人.

17．(12分)

解：（1）EF 2

= AF 2

+BE 2

. …… 1分 ∵E D ,分别是AB,BC 的中点， ∴DE ∥AC ，且DE=

2

1AC .

∵∠C=90?,∠EDF=90?, ∴ 四边形CFDE 是矩形，

∴DE=CF=AF,DF=CE=BE. …… 3分

又∵∠EDF=90?，∴EF 2=DF 2+DE 2=AF 2+BE 2. …… 1分 (2) EF 2= AF 2+BE 2. …… 1分

延长FD 至G,使得DG=DF,连结BG,EG. 则△AFD ≌△BGD. …… 2分 ∴BG=AF=CF, DF=DG , ∠GBD=∠A . ∵∠EDF=90?, ∴EF=EG. …… 1分 又∠GBD=∠A ， ∴BG ∥AC,

∴∠GBE=∠C=900

, …… 1分 ∴EG 2

=BE 2

+BG 2

=BE 2

+AF 2

∴ EF 2=AF 2+BE 2. …… 2分

18．(14分)

解：（1）由题意知1≠k ，

若取,1-=k 得62=+-y x ①， 若取,2=k 得02=-y x ②.

解①②得??

?==4

2y x .

所以，不论k 取任何实数此直线都经过一定点，其坐标为（2，4）. …… 5分 （2）分三种情况讨论：

① 设P 1(0,m 1) ,满足P 1B=P 1A, 由勾股定理得， 2222)4(25m m -+=+， 解得8

5-

=m ，即P 1（0，8

5-

），符合题意，

直线P 1A 的解析式： 8

516

37-

=

x y . …… 2分

② 设P 2(0,m 2)，满足P 2B=AB, 易求得AB=5, 所以点P 2（0，0）， 直线P 2A 的解析式： x y 2=. …… 2分 ③设P 3(0,m 3)，满足P 1A=AB, 由勾股定理得，

2

2

2

5)4(2=-+m ,

解得214±

=m ，即P 3（0，)214+

，P 4（0，)214-

，

直线P 3A 的解析式：214221++-=x y ， …… 2分

直线P 3A 的解析式：2142

21-+=

x y . …… 2分

综上所述，直线PA 的解析式为：8

516

37-

=

x y ，或x y 2=，或

2142

21++-=x y ，或2142

21-+=x y . …… 1分