VAR模型-向量自回归模型-理论无教程

可以看出，模型(8.46)对应的正是利用 OLS方法， 对Yjt进行回归得到的系数估计 值。
• 由于在VAR模型的随机扰动项服从独立同分 布时MLE和OLS估计出来的参数具有一致性， VAR模型采用OLS进行估计。 • STATA应用实例：美国通货膨胀率与短期利 率的VAR分析
三、格兰杰因果关系检验
二、VAR模型的估计与相关检验
• • • • • • VAR模型估计步骤： 1. 变量的选择 2. 是否需要平稳变量 3. 滞后的阶数 4. 估计的方法 5. 对估计结果的分析
• • • •
1. 变量的选取 研究需要 理论假设 数据可得性
• 2. 是否需要使用平稳变量？ • Sims, Stock, 和 Watson (1990)提出，非 平稳序列仍然可以放在VAR模型中，通过估 计结果分析经济、金融含义。 • 但是，如果利用VAR模型分析实际问题时， 使用非平稳序列变量，却会带来统计推断 方面的麻烦，因为标准的统计检验和统计 推断要求分析的所有序列必须都是平稳序 列。
• 指导性的原则： • 如果要分析不同变量之间可能存在的长期 均衡关系，则可以直接选用非平稳序列； • 如果分析的是短期的互动关系，则选用平 稳序列，对于涉及到的非平稳序列，必须 先进行差分或去除趋势使其转化成对应的 平稳序列，然后包含在VAR模型中进行进一 步分析。
• 3. 滞后阶数的选择 • 信息准则法（AIC或者SIC）
• STATA应用实例：继续 使用美国通货膨胀与 利率数据
• STATA应用实例：上证 综合指数收益率与标 准普尔500股指收益率
Yt C 1Yt 1 2Yt 2 L pYt p t
t : i.i.d .N (0, )
nT T 1 (1) MLE : l () ( ) ln(2 ) ( ) ln 2 2 1 T 1 (Yt X t ) (Yt X t ) 2 t 1 ˆ Yt X t X t X t t 1 t 1
( p) ( p) 11 y1,t 2 1t 12 L ( p) ( p) 21 22 y2,t 2 2t 例如, 如果y2,t j的系数都是0, y2t
第5讲
VAR模型
本讲内容
• • • • • 一、VAR模型介绍 二、VAR模型估计与相关检验 三、格兰杰因果关系检验 四、脉冲响应函数分析 五、VAR模型与方差分解
一、VAR模型介绍
• （一）VAR模型基本概念 • VAR模型研究不同变量之间的互动关系：例 如经济增长与货币供给之间的关系、货币 供给增长率与通货膨胀率之间的关系等 • 经济增长与货币供给之间的两变量VAR模型：
• 实际应用中，首先需要给定一个最大的滞 后期数，然后循环运用LR检验来判断最优 滞后期数。正因为如此，有些计量软件的 输出结果会显示“sequential LR test” （循环LR检验）的字样，实际上就是循环 地应用了以上介绍的LR检验过程。 • 多数原则、稳健性检验
• 4. 估计方法
• 虽然VAR模型系统比一维模型看上去复杂得 多，但是用来估计VAR的方法却并不一定很 繁难。常见的估计方法包括最大似然估计 （Maximum Likelihood Estimator，MLE） 和常见的最小二乘估计（OLS）。在特定条 件下，MLE与OLS估计获得的系数是完全相 同的。
为了深入地理解VAR模型的平稳性 条件，为了考虑含有2个变量的简单 VAR（1）模型：
y1t 1 1.6 y1,t 1 1t y 0.5 0.7 y 2,t 1 2t 2t
1 z 0.6 z ( z ) n 1 z 0 0.5 z 1 0.7 z (1 z )(1 0.7 z ) 0.3 z 0
T T 1
（2）OLS估计 如果熟悉OLS估计的系数矩阵表达式，很 容易看出，模型(8.45)就等于OLS估计的系 ˆ 的第j行明确地写出来，则为： 数矩阵。将 1 T T （ 8.46 ） ˆ
( j ) Y jt X t X t X t t 1 t 1
• 格兰杰因果关系检验经常被解释为在VAR模 型中，某个变量是否可以用来提高对其他 相关变量的预测能力。所以，“格兰杰因 果关系”的实质是一种“预测”关系，而 并非真正汉语意义上的“因果关系”。
考虑一个简单的两个变量的 VAR(p)模型 :
(1) y1t c1 11 y c (1) 2t 2 21 (1) (2) (2) y1,t 1 11 y1,t 2 12 12 (2) (1) (2) y y 22 2,t 1 21 22 2,t 2
LR 检验:
如果拒绝原假设，则称 y2t 是y1t的格兰杰 因果关系。 与此不同， y1t C1 1 y1,t 1 2 y1,t 2 L p y1,t p 1 y2,t 1 2 y2,t 2 L p y2,t - p 1t H 0 : 1 2 L p 0
(a)信息准则 2 pn 2 AIC ln T pn 2 ln(T ) SIC ln T
• 选择信息准则统计值最小时的滞后期数。
• 似然比检验法 简单地说，LR检验法就是比较不同滞 后期数对应的似然函数值。 具体地说，考虑VAR 与VAR ，并 且p2 p1。这样，分别估计对应的两个VAR ˆ 。LR检验统计量 ˆ 和 系统，获得相应的 2 1 定义为： ˆ ln ˆ ) （T ）( ln 1 2
pYt p t
E ( t ) 0 E ( t t ) E ( t s ) 0, 对于t s
一个两变量(VAR)模型的例子 Yt C Yt 1 t , y1t c1 11 12 y1,t 1 1t y y c 2t 2 21 22 2,t 1 2t c1 11 y1,t 1 12 y2,t 1 1t c2 21 y1,t 1 22 y2,t 1 2t
y1t y 2t Yt , t 1, 2, ynt
,T
• 那么，一个p阶VAR模型，即VAR(p)，定义为：
• C为n ×1维常数向量， i 为n ×n维自回归 t 为n ×1维向量白噪音，满足如 系数矩阵。 下关系：
Yt C 1Yt 1 2Yt 2
(1) 12

(2) 12
L
( p) 12
0
备择假设是这些系数中至少有一个不为0。
• 如果原假设成立，那么，我们会有：
(1) (2) y y c 11 0 y1,t 2 1t 1 11 0 1,t 1 y c (1) (1) y (2) (2) y 2t 2 21 22 2,t 1 21 22 2,t 2 ( p) 11 0 y1,t 2 1t L ( p) ( p) 21 22 y2,t 2 2t
2
z 0.75 z 2.5 0 z1 5 / 4, z2 2
2
• 在上面给出的例子中，很明显第一个等式 的自回归系数是1( 11 1 )，但是整个VAR(1) 系统是平稳的！所以，整个VAR模型系统的 平稳与否，千万不能单凭某一个等式中的 自回归系数判断，而是要考虑整个系统的 平稳性条件。这是因为，在只考虑单个等 式中的某个自回归系数时，却忽略了 和 之间的互动关系，整个VAR模型是一个互动 的动态系统！
gdpt c1 11 gdpt 1 12cpit 1 1t cpi c cpi gdp 2 21 t 1 22 t 1 2t t
• 更一般地，考虑一组时间序列变量：
y1t , y2t ,
, ynt
• 我们可以将其定义为一个n ×1维向量Yt：
• （二）VAR模型的平稳性条件
如果以下条件满足，则对应的VAR模型为平稳的: E (Yt ) E (Yt )(Yt ) 0 E (Yt )(Yt j ) j 其中， j定义的是 Yt 在第 j 期的自协方差矩阵。
对于一个VAR模型，其平稳条件是 ( z ) n 1 z 2 z 2 L p z p 0 的根落在单位圆外，其中 表示行列式符号。 ? 同样地，平稳条件也可以表述为 n p 1 p 1 2 p 2 L p 0 的根落在单位圆内。
E ( ) E (1t 2t ) 12 E ( t t) 2 2 E ( 2t 1t ) E ( 2t ) 21 2
2 1t 2 1
• VAR模型刻画了每个时间序列对所有时间序 列滞后项的回归。一个包含n个变量的 VAR(p)模型，如果每个等式都含有一个常数 项，那么VAR(p)系统一共包含的系数个数是？ 个。