机电一体化(第6章 机电一体化系统建模与分析)

(7)系统传递函数（微分方程）与状态空间方程两种数学模型之间 可相互转换。
（三）典型实例的选讲
1、一老式货运汽车的悬挂系统如下图所示，求汽车相对于路面 的位移x和悬挂部分的位移y1之间的关系。
系统振动方程：
又令：
得状态空间表 达式为：
2、电动机通过弹性轴联 接惯性负载的简化模型
求电动机输出力矩 Tm与负载转角θL间 关系
振动方程
传递函数
取状态变量：
非刚性耦合使系统阶次增高，会引起谐振传递至整个系统， 带来稳定性等问题。联接轴刚度k无穷大时，可简化为：
3、油井钻井平台与钻孔机的简化模型。钻井平台向钻孔机提供 驱动力矩，带动钻轴转动，钻头受被钻物体的接触力矩。
求输入（驱动）力 矩τ2与转角θ2间关 系。
取状态变量 状态空间 表达式：
液体流量恒为Q，液体比热为S，容器热容量为C，电热器热功 率为q(t)。 以q(t)为输入量，以出口、入口处的温度差T=T0-Te为输出量， 则有系统的动态方程为：
dT C SQT q dt
7、液位系统 下图所示为存在交联作用的复杂液位系统。
流量与液面差间近 似取线性关系q=h/R， R为阀门液阻。C1、 C2为液容，即容器截 面积。 有方程：
一、机电一体化系统的建模
（一）动态系统的经典数学模型及其分析
物理的动力学系统，动态过程；能量、信号的转换作用。 系统数学模型的建立方法： 1）分析法（解析法），得到解析模型（机理模型）； 2）系统辨识。 系统的非线性、时变性的处理
用解析法建立系统微分方程、传递函数的一般步骤（经典模型） 分析系统工作原理和系统中变量的关系，确定系统的输入量与 输出量 选择合适的中间变量，根据基本的物理定律，列写出系统中每 一个元件的输入与输出的微分方程式 消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式 对非线性项加以线性化 或做拉普拉斯变换，变代数方程消元或用方框图等效、梅逊公 式等方法形成传递函数。
为形式：MX
CX KX F
称为振动方程
第一主振型 第二主振型 二自由度系统的自由振动 主振型图
三自由度阻尼 振动系统 运用隔离体法，对每个质量块进行分析，可得该三自由 度系统的运动微分方程为：
.. . . . . m2 x2 (t ) F2 (t ) k2 ( x2 (t ) x1 (t )) c2 ( x2 (t ) x1 (t )) k3 ( x3 (t ) x2 (t )) c3 ( x3 (t ) x2 (t )) .. . . m3 x3 (t ) F3 (t ) k3 ( x3 (t ) x2 (t )) c3 ( x3 (t ) x2 (t )) m1 x1 (t ) F1 (t ) k1 x1 (t ) c1 x1 (t ) k2 ( x2 (t ) x1 (t )) c2 ( x2 (t ) x1 (t ))
Gs 就是该系统的传递函数 阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
其它：
机械传动系统； 液压系统； 机电系统； 热力学系统；等等 微分方程的求解 系统响应的求解、分析
（二）动态系统的现代数学模型及其分析
y x1
y x1
对于以上SISO线性系统，既可用高阶微分方程来描述 输入-输出关系：
X1 0 M 1 F 1 M C X 2 I
至于输出方程，可根据实际的求解要求而容易写出！
5、齿轮传动系统
以下图中，T为输入转矩，忽略轴的弹性，同轴齿轮的 转动惯量和阻尼系数归并。以转轴1的转角θ1为输出量。求T与 θ1间的关系。并记： n r T n 1 1 1 2 n2 r2 T2 1
4、多自由度振动系统的状态空间表达
多自由度振动系统振动方程转换为相应的状态空间方程可 有统一的方法： 系统振动方程 变形为：
MX CX KX F
M 1CX M 1KX M 1F X
取X1 X , X 2 X
得状态方程为：
X1 0 1 X 2 M K
k2 k 2 k3 k3
0 x1 F1 (t ) k3 x2 F2 (t ) k3 x3 F3 (t )
三自由度系统及其固有模态振型
连续体振动系统
均匀简支梁：
简支梁的前三阶主振型可形如下图所示：
消去中间变量，得：
比拟于电网络：
8、机电控制系统
（1）执行电动机 取：
电动机动态方框图：
传递函数：
直流电机本身为开环系统，存在一由反电动势构成的 自反馈回路。
以角速度为输出量时为一阶惯性系统！
（2）伺服控制系统
例1：电视卫星天线位置伺服系统。 认为电视卫星天线有大的惯量，而忽略其负载力矩。
均匀悬臂梁：
悬臂梁的前三阶主振型可形如下图所示：
对于多输入-多输出的系 统，要用传递函数关系 阵去描述它们间的关系， 如右图所示的系统
Y1 s G11 s U 1 s G12 s U 2 s 或写作
二输入二输出系统
Y2 s G21 s U 1 s G22 s U 2 s Y1 s G11 s G12 s U 1 s Y s G s G s U s 22 2 21 2
两转轴的力矩平衡方程为：
消元中间变量，得T与θ1间关系：
分别为转轴2等效于转轴1 后的总的等效转动惯量和阻尼系数。 即等效成为：
齿轮传动系统可机电比拟于理想变压器系统：
比拟关系为
根据电压、电流变换关系： 可得一次侧的电压、 电流微分方程为：
6、热力学系统
加热系统：温度为Te 的冷液体流入加热箱，电加 热均匀后，为温度T0，流出。
该电液伺服系统的闭环传函为：
SISO系统的 系统状态图
MIMO系统的系统状态图
状态变量的个数一般等于系统所包含的独立储能元件 的数目。一个n阶系统有n个独立的状态变量，为状态的最 大线性无关组，或称最小变量组。选择不唯一，一般取系统 中易于测量观测的量作状态变量。
前述的M-C-K系统的状态空间表达式即为：
R-L-C系统的状态空间表达式即为：
电位器：设对输入、输出增益相同，则
差值放大器和功率放大器的电压放大倍数分别为：A1，A2
齿轮系的传动关系：
m、 分别为电机输出转角和天线转角
直流电机的模型为： 位置伺服控制系统的方框图：
闭环传递函数： 成为二阶系统
例2：火车机车驱动控制系统
放大器：
功率放大器为非线性特性， 需做线性化处理。
例3：电液伺服系统
负载效应
机械网络 (机械振动基础)
单自由度系统
c
d 2 y(t ) dy(t ) m c ky (t ) F (t ) 2 dt dt
弹簧-质量-阻尼器系统
(a)主动隔振力学模型
(b) 被动隔振力学模型
隔振的力学模型
二自由度振动系统：
具有黏性阻尼的二自由度 系统强迫振动：
x m11 (c1 c2 ) x1 (k1 k2 ) x1 c2 x2 k2 x2 F1 (t ) x m2 2 c2 x2 k2 x2 c2 x1 k2 x1 F2 (t )
电气网络
（a）R-C电路1
（b）R-C电路2
R、C换位
（c）Ｒ-L-C电路
（d）R-C滤波网络
以（d）为例说明
U r s U c1 s U c1 s U c s I1 s , I2 s R1 R2 I1 s I 2 s 1 U c1 s ,U c s I2 s C1S C2 S
也可用一阶微分方程组来描述：
对于MIMO系统，更适于用一阶微分方程组的形式来描述：
状态与状态变量
设以上MIMO系统的状态变量记为：
输入函数：u (t ) u1 (t ), u2 (t ), , um (t )
T
T
输出函数：c (t ) c1 (t ), c2 (t ), , cr (t )
.. . . .
m1 0 0
0 m2 0
0 1 c1 c2 x 0 2 c2 x m3 3 0 x
c2 c2 c3 c3
0 x1 k1 k2 c3 x2 k2 c3 x3 0
状态空间表达式为现代控制理论的基本模型！同时也是动力学系 统研究的一种重要模型。 现代控制理论与经典控制理论特性的比较： (1)状态空间描述是系统输入、状态和输出诸变量间的时域描述， 涉及系统全部信息，比传递函数法更为完善，为系统的内部描述法； (2)状态空间描述特别适于多变量系统的描述； (3)状态空间描述法不仅适于线性系统，还适于时变系统，非线性 系统以及非零初始条件下的系统分析求解； (4)用向量、矩阵表达系统的状态空间方程，系统状态空间描述的 形式及其求解计算适于计算机处理、分析和设计，直观简单、方法统一； (5)n个一阶微分方程组的求解比一个n阶微分方程的求解简单，并 有标准型法、状态分解法等求解方法。 (6)输出反馈、状态反馈，可达到极点的任意配置，以及最优控制， 所用方法严谨统一，而基于传递函数的根轨迹法、频率响应法等经典设计 法，实质为一种试凑法，不能得到某种意义下的最优性能。
x m1 0 1 c1 c2 0 m c 2 x2 2
c2 x1 k1 k2 x k c2 2 2
k2 x1 F1 (t ) x F (t ) k2 2 2
T