2017-2018年高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通n项公式练习新人教A版必修5课件
2.4 第1课时等比数列的概念与通n项公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．在数列{a n}中，对任意n∈N*，都有a n＋1－2a n＝0，则的值为( )
A. B. C. D．1
解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，
所以＝＝.
答案：A
2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：设等差数列的第2项是a2，公差是d，则a3＝a2＋d，a6＝a2＋4d.
由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，
得(a2＋d)2＝a2(a2＋4d)，
则d＝2a2，公比q＝＝＝＝3.
答案：C
3．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是( )
A．等差数列
B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析：由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，
所以log2b2＝log2ac
即2log2b＝log2a＋log2c，
所以log2a，log2b，log2c成等差数列．
答案：A
4．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．±6 D．±12
解析：a＝＝，
b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，
所以ab＝±6.
答案：C
5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
解析：设第n年的研发投资资金为a n，a1＝130，则a n＝130×1.12n －1，由题意，需a
n－1≥200，解得n≥5，故从2019年该公司
n＝130×1.12
全年的投入的研发资金超过200万，选B.
答案：B
二、填空题
6．等比数列{a n}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为
________．
解析：a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
所以a4与a8的等比中项为±＝±4.
答案：±4
7．设等比数列{a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为________．
解析：设等比数列的公比为q，
由得
解得
所以a1a2…a n＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝8n×＝2－n2＋n，于是当n＝3或4时，a1a2…a n取得最大值26＝64.
答案：64
8．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于________．
解析：设等比数列{a n}的公比为q，
由于a1，a3，2a2成等差数列，
则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得q＝1±.
又等比数列{a n}中各项都是正数，
所以q＞0，所以q＝1＋.
所以＝＝＝＝3－2.
答案：3－2
三、解答题
9．已知{a n}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{a n}的通项公式．解：设等比数列{a n}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3.q＝2q，
所以＋2q＝.
解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，
所以a n＝18×＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，
所以a n＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，a n＝2×33－n；
当q＝3时，a n＝2×3n－3.
10．在各项均为负数的数列{a n}中，已知2a n＝3a n＋1，且a2·a5＝.
(1)求证：{a n}是等比数列，并求出其通项．
(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解：(1)因为2a n＝3a n＋1，
所以＝.
又因为数列{a n}的各项均为负数，
所以a1≠0，
所以数列{a n}是以为公比的等比数列．
所以a n＝a1·q n－1＝a1·.
所以a2＝a1·＝a1，
a5＝a1·＝a1，
又因为a2·a5＝a1·a1＝，
所以a＝.
又因为a1<0，所以a1＝－.
所以a n＝×＝－(n∈N*)．
(2)令a n＝－＝－，
则n－2＝4，n＝6∈N*，
所以－是这个等比数列中的项，且是第6项．
B级 能力提升
1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，
且a＋3b＋c＝10，则a＝( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案：A
2．已知等比数列{a n}，若a3a4a8＝8，则a1a2…a9＝________．答案：512
3．设关于x的二次方程a n x2－a n＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用a n表示a n＋1；(2)求证：是等比数列；(3)当a1＝时，求数列{a n}的通项公式及项的最值．
(1)解：根据根与系数的关系，
得
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，
得－＝3.
所以a n＋1＝a n＋.
(2)证明：因为a n＋1＝a n＋，
所以a n＋1－＝.
若a n＝，则方程a n x2－a n＋1x＋1＝0可化为x2－x＋1＝0，
即2x2－2x＋3＝0.
此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，
所以a n≠，即a n－≠0.
所以数列是以为公比的等比数列．
(3)解：当a1＝时，a1－＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
所以a n－＝×＝，
所以a n＝＋，n＝1，2，3，…，
即数列{a n}的通项公式为
a n＝＋，n＝1，2，3，….
由函数y＝在(0，＋∞)上单调递减知，当n＝1时，a n的值最大，即最大值为a1＝.。
高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式同步aa高一数学
(2)a1＝qan－n 1＝5642－51＝5，故 a1＝5. (3)a3＝a1·q2，即 8＝2q2， 所以 q2＝4，所以 q＝±2. 当 q＝2 时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， 所以数列{an}的公比为 2 或－2， 对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
所以 a1＝q－42q4＝12－42124＝96. 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962·1210＝9. 所以 G＝±3. 即 a5，a7 的等比中项为±3.
归纳升华 等比中项的三点认识
1．当 a，b 同号时，a，b 的等比中项有两个；当 a， b 异号时，没有等比中项．
2．在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
3．“a，G，b 成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b 均不为 0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的．可 以用它来判断或证明三个数成等比数列，同时还要注意到 “a，G，b 成等比数列”与“G＝± ab”是不等价的．
又 an＝1，所以 3212n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6. 法二 因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
归纳升华 1．在已知 a1 和 q 的前提下，利用公式 an＝a1qn－1 可 求出等比数列中任意一项． 2．在通项公式中知道 a1、q、n、an 四个量中的任意 三个，可求得另一个量．
[变式训练] (1)已知－1，x，－4 成等比数列，则 x
高中数学选择性必修二 4 3 1(第1课时)等比数列的概念及通项公式 教案
等比数列的概念及通项公式教学设计
将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？
不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。
1 看一看纸的厚度的变化
提示：
折1次折2次折3次折4次 (30)
厚度2 (21)4 (22)8 (23)16 (24) (230)
反之，任给指数函数
f(x)=ka x (k,a为常数，k≠0,
a>0且 a≠1)
则f(1)=ka ,f(2)=ka2,⋯,f(n)=ka n,⋯
构成一个等比数列{ka n}，其首项为ka，公比为a.
等比数列的单调性
由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下：
（1）当a1>0,q>1或 a1<0,0<q<1时，等比数列{a n}为递增数列；
（2）当a1>0,0<q<1或 a1<0,q>1时，等比数列{a n}为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{a n}为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{a n}为摆动数列.
下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些问题.
例1 若等比数列{a n}的第4项和第6项分别为。
2.4 第1课时等比数列的概念与通项公式
第二章 2.4 第一课时1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32解析：由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.答案：C2．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )A ．4B ．8C ．16D ．32 解析：由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16. 答案：C3．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A ．32fB ．322fC ．1225fD ．1227f解析：由题知，这十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，则第八个单音的频率为(122)7f ＝1227f .故选D ．答案：D 4．在等比数列{a n }中，已知a 1a 3a 11＝8，那么a 2a 8＝________.解析：∵a 1a 3a 11＝(a 1q 4)3＝8，∴a 1q 4＝2.∴a 2a 8＝a 1q ·a 1q 7＝(a 1q 4)2＝4.答案：45．已知{a n }为等比数列，且a 5＝8，a 7＝2，该数列的各项都为正数，求a n . 解：∵a 5＝a 1·q 4＝8，a 7＝a 1·q 6＝2，∴q 2＝28＝14，q ＝±12. 而a n 各项都为正数，∴q ＝12，a 1＝8⎝⎛⎭⎫124＝128. ∴a n ＝a 1·q n －1＝128×⎝⎛⎭⎫12n －1＝28－n .。
第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式
2. 4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1•通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2•掌握等比中项的概念并会应用. 3•掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.预冃案*自建迸习j 研读• M •営试新知提炼1.等比数列的定义(1) 从第2项起条件(2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数结论这个数列就叫做等比数列有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2•等比数列的通项公式门―1a n = aq 1.3. 等比中项若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab.■自我尝试‘1•判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.()(2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. ()⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. ()(4) 常数列一定为等比数列.()(5) 任何两个数都有等比中项. ()答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（）A. 6B. 3x 2n—13. 4与9的等比中项为()A . 6B . - 6=1,C . 2 x 3n —1 D . 6n答案：CA . 6B . - 6=1,C . i6D . 36 答案：C 11 14. 等比数列一10-而，一而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：105. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3,贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________1答案：1 4探究案讲练互普探究点一等比数列的通项公式H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n .(2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3,［解］(1)因为6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以a 1q 6= 8,②②3， 由①，得43= 4,从而q = - 4,而a 1q 3= 2,n — 1又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6.方祛归纳于是a 1 = q 3=M2' 2n -5所以 a n = a 1q n -1 = 2 3a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ①⑵因为25② 1由①，得q =P 从而a 1 = 32.等比数列通项公式的求法a i 和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.关于 a i 和q的求法通常有以下两种方法：⑴根据已知条件，建立关于a i , q 的方程组，求出a i , q 后再求a n ，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求a i ,最后求a n ,这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.”i.在等比数列｛a n ｝中，(1) 已知 a i = 3, q = — 2，求 a 6； (2) 已知 a 3= 20, a 6 = i60，求 a n ； …9i 2十(3) 已知 a i = 8〉a n = 3, q = 3,求 n.解：⑴由等比数列的通项公式，得a 6= 3 X (— 2)6— i = — 96.⑵设等比数列的公比为 q ,a i q 2= 20,由已知可得a i q 5= i60,q= 2,解得a i = 5.所以 a n = a i q n — i = 5X 2n — i . ⑶由 a n = a i q n —i ,3，得 n = 4.探究点二等比数列的判定■- 在数列｛a n ｝中，若a n >0,且a n +i = 2a n + 3(n € N *).证明：数列｛a n + 3｝是等比数列.［证明］法一：因为a n >0, 所以 a n + 3>0.i 9得 3=8 Xn — i又因为a n+1= 2a n+ 3,a n +1 + 3 2a n+ 3+ 3 2 (a n + 3)所以= = =2.a n + 3 a n+ 3 a n + 3所以数列｛ a n+ 3｝是首项为a i + 3，公比为2的等比数列. 法二：因为a n>0, 所以a n+ 3>0.又因为a n+1= 2a n+ 3,所以a n+ 2= 4a n+ 9.所以(a n+ 2+ 3)(a n + 3) = (4a n+ 12)(a n+ 3)=(2a n+ 6)2=(a n+1+ 3)2.即a n+ 3, a n +1 + 3, a n+2+ 3 成等比数列，所以数列｛a n+ 3｝是等比数列.Rm貝*本例的条件不变，若a1 = 2,求数列｛a n｝的通项公式.解：由数列｛a n + 3｝是等比数列，当a1= 2 时，a1 + 3 = 5,所以数列｛a n+ 3｝是首项为5,公比q= 2的等比数列，所以a n+ 3 = 5 x 2n-1,即a n= 5 x —1—3.方注归期等比数列的三种判定方法(1)定义法探究点三等比中项及其应用方祛归抽已知等比数列中的相邻三项 a n — 1 , a n , a n + 1,则a n 是a n — 1与a n + 1的等比中项, a n -1 a n +1,运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程，同时等比中项常起到桥梁作用, 要认真感悟和领会."!" '||［3.(1)如果一1, a , b , c,— 9 成等比数列，那么()a n + 1—=q(q 为常数且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列. a n (2)等比中项法a n +1 = a n a n + 2(n € N *且a n 丸)等价于｛a n ｝是等比数列. (3)通项公式法a n = a 1q n —1(a 1^0且q z 0)等价于｛a n ｝是等比数列.1”2.已知数列｛a n ｝是首项为2，公差为一1的等差数列，令b n = 1，求证数列｛b n ｝是等比数列，并求其通项公式.解：由已知得，a n = 2+ (n — 1)x (— 1) = 3— n ,1 3-( n + 1)b n + 1 2 故 = ~b n 1 3—n23 — ( n + 1) — 3+ n所以数列｛ b n ｝是等比数列. 因为b 1= 114,所以 b n =X 2n —1 = 2n ― 3［解］由题意知 3 b 2, b ，243, c 这五个数成等比数列，求 32a ,b ,c 的值.23b2= — 2243 X—亦 3ab = — 2 27 27所以b = ±8•当b =—时，2 10243 3 初/曰bc =—五=—2 ，解得 c =3 6 =2 ，2，解得2 a =3 ；27 2同理，当 b =— "8■时，a =— 3, 3 c =—2综上所述，a , b , c 的值分别为2 27 3, 8 ,2 — 27 3, —8，A . b = 3, ac = 9 B. b =— 3, ac = 9 C. b = 3, ac =— 9 D. b =— 3, ac =— 9⑵已知等比数列｛a n ｝的前三项依次为 a — 1, a +1, a + 4,贝U a n = _________解析：(1)因为 b 2= (— 1)x (— 9) = 9, 且b 与首项—1同号， 所以b =— 3，且a , c 必同号. 所以 ac = b 2= 9.⑵由已知可得(a + 1)2= (a — 1)(a + 4), 解得 a = 5,所以 a 1= 4, a 2= 6,所以a n = 4 x 31. 等比数列定义的再认识(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数， 是具有任意性的，但须注意是从“第2项”⑵从“第2项”起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是“同一个”.(3)对于公比q ,要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒，q 不为零.⑷各项不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列. 2. 等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ,可以确定一个等比数列.⑵在公式a n = a 1q n 1中有a n , a 1, q , n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量.⑶等比数列｛a n ｝的通项公式的推导所以a 2a 12'答案：(1)B3 n — 1(2)4 x 3起.法一：（迭代法） 根据等比数列的定义，有2n — 2 n —1a n = a n -i q = a n — 2q 2=^= a 2q 2= a i q 1 法二：（累乘法） 根据等比数列的定义，可以得到把以上n -1个等式左右两边分别相乘，得 a 2 a 3 a 4 a i a 2 a 3即 an = q n —1, a i 所以 a n = a 1q n -1.3. 等比中项的理解（1） 当a , b 同号时，a , b 的等比中项有两个；当 a , b 异号时，没有等比中项.（2） 在一个等比数列中， 从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后 一项的等比中项.（3） “a , G , b 成等比数列”等价于“ G 2= ab ”（a , b 均不为0），可以用它来判断或证明 三数是否成等比数列.当堂检测 ♦1•数列｛a n ｝的通项公式是a n = 5x 3n ，则此数列是（ ）A •公比为3的等比数列B •公比为5的等比数列C .首项为5的等比数列D .公差为3的等差数列 解析：选A.因为a n = 5x 3n , 所以 a n -1= 5x 3n -1（n 》2）, 所以当n > 2时，—匹=3.a n - 1由等比数列的定义知，｛a n ｝是公比为3的等比数列. 2.在首项a 1= 1，公比q = 2的等比数列｛a n ｝中，当a n = 64时，序号n 等于（）a 2 ar q ， a 3 a 4 ar q ，aT q ，a na n -1q ,a n a n -1n -1A. 4B. 5C. 6解析：选 D.因为a n= a i q—1,所以 1 x 2n-1= 64,即1= 26，得 n— 1 = 6,解得n = 7.3. (2015高考广东卷)若三个正数a, b, c成等比数列，其中a = 5+ 2丁6, c= 5—2.6,则b= ________ .解析：因为a, b, c成等比数列，所以b2= a c= (5 + 2 '6) (5 — 2 .：6)= 1.又b>0,所以b= 1.答案：14•求下列各等比数列的通项公式：(1) a1 = —2, a3= —8;(2) a1 = 5，且2a n+1 = —3a n.解：(1)因为a3= a1q2,所以q2= 4,所以q= ±2.当q = 2 时，a n= (—2) x 2n—1= —2n;当q = — 2 时，a n= ( —2)x (—2)n—1= (—2)n.a n+1 3(2)因为q= "a^ =—2，又a1 = 5,3 n—1 所以a n= 5 x — 2.应用案巩固提升丄［A 基础达标］1. 若｛a n｝为等比数列，且2a4= a6 —a5，则公比是()A. 0 B . 1 或一2D . —1或一2解析：选 C.由已知得2a1q3= a1q5—ag4,得2= q2—q,所以q=—1或q = 2.2. 在等比数列｛a n｝中，a n>0，且a i+ a2= 1, a3+ a4= 9，贝U a4+ a5 的值为()A. 16B. 27C. 36D. 81解析：选 B.由a3+ a4= q2(a1 + a2)= 9,所以q2= 9,又a n>0,所以q= 3.a4+ a5= q(a3 +a4）= 3X 9 = 27.3. 彳，是等比数列4,2, 4, 2 2,…的（）A .第10项B .第11项C.第12项 D .第13项解析：选B.由题意可知q=痣二乎，令¥= 4返x普，所以土= 32=扌210，故n— 1 = 10,即n= 11.4. 在数列｛a n｝中，a1= 1,点（a n, a n+1）在直线y= 2x上，贝U a4的值为（）A . 7B . 8C. 9D. 16解析：选B.因为点（a n, a n+1）在直线y= 2x上,所以a n+1= 2a n.因为a1= 1丰0,所以a n丸,所以｛a n｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以a4= 1 x 23= 8.5. 一个数分别加上20, 50, 100后得到的三个数成等比数列，其公比为（）5 4A・3 %3 1CQ DQ解析：选A.设这个数为x,则(50+ x)2= (20 + x) (100 + x).解得x= 25,所以这三个数为45, 75, 125,75 5公比q为45= 36.右一1, 2, a, b成等比数列，则a + b=解析：根据题意有=身=b，解得a=—4, b= 8,—1 2 a所以a+ b= (-4) + 8 = 4.答案：47•下面各数列一定是等比数列的是(填序号).①一1, —2, —4, —8;② 1 , 2, 3, 4;1111③x, x, x, x；④a,評評尹解析：根据等比数列的定义，①④是等比数列，②不是等比数列，③中x可能为0,故③不一定是等比数列.答案：①④1 r,&在等比数列｛a n｝中，若a4= 27, q= —3，贝卩a6= ,a n =1解析：因为a4= a1q3= a1 —3 = 27,所以a1= —36,所以a6= a1q5= —36x=36x 3 = 3,n- 11a n=—36X—1= (—1)n37—n答案：3 (—1)n37 —n16 a3=—4，且公比为正数.9.已知数列｛a n｝为等比数列，首项a1=—9,(1)写出此等比数列的通项公式a n;⑵—20丁是否为｛a n｝中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.解：(1)设公比为q(q>0),由a3= a i q2,得一4 =—£q2,3解得q=3,16 3 n—1所以a n=—— X 2 .n —1人16、/ 3 1 81⑵令—-X 2 = —204= —7,3 n—1819 3 6得2 =乎X 16= 3，解得n = 7.1故—204是｛a n｝中的第7项.10.已知数列｛a n｝的前n项和为S n,对一切正整数n,点(n, S n)都在函数f(x)= 2x+ 2—4的图象上.求证：数列｛a n｝是等比数列.证明：由题意得S n = 2n+ 2—4,4, n=1,S1, n = 1, 所以a n=S n—S n—1, n》22n+ 1, n》2.又a i= 4 也符合a n= zZln G N*, n》2),所以a n= 2n+ 1(n € N ),a n +1 2n+ 2因为百=产=2，所以数列｛a n｝是等比数列.[B 能力提升]1. 已知数列｛a n｝，下列选项正确的是()A .若a2= 4n, n € N*，则｛a n｝为等比数列B. 若a n a n+2= a n+1, n € N*，则｛a n｝为等比数列C. 若a m a n= 2m n, m, n €N*，则｛a n｝为等比数列D .若a n a n+ 3= a n+ 1a n+ 2, n€ N*，则｛ a n｝为等比数列解析：选C•由a2= 4n知|a n| = 2n，则数列｛a n｝不一定是等比数列；对于 B , D选项，满足条件的数列中可以存在为零的项，所以数列｛a n｝不一定是等比数列；对于C选项，由a m a na n + 1=2m+n知，a m a n+ 1= 2m+ n+ S两式相除得石 =2(n € N ),故数列｛a n｝是等比数列.故选C.12. ___________________________________________________________________ 已知等比数列｛a n｝中，a i= 1,且a i, 2玄3, 2a2成等比数列，则a n = _____________________ 解析：设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a2= q, a3 = q2.1因为a i, §a3, 2a2成等比数列，1所以4q4= 2q,解得q= 2,所以an= 2n—I答案：2n_13. 已知数列｛a n｝的前n项和S n= 2a n + 1.(1)求证：｛a n｝是等比数列，并求出其通项公式；⑵设b n= a n+ 1+ 2a n,求证：数列｛b n｝是等比数列.解：(1)因为S= 2a n+ 1,所以S n+1= 2a n+1+ 1,S n + 1 —S n = a n+ 1 = (2a n + 1 + 1) —(2a n+ 1) = 2a n+ 1 —2a n,所以a n+ 1 = 2a n①，由已知及①式可知a n M O.a n+1所以由丁 = 2，知｛a n｝是等比数列.a n由a1= S1= 2a1 + 1,得a1=—1，所以a n = —2n—1.⑵证明：由(1)知，a n= —2n—1,所以b n= a n+1+ 2a n=—2n—2X 2n—1=—2X 2n=—2n +1= —4X 2n —1.所以数列｛b n｝是等比数列.4. (选做题)已知等比数列｛a n｝中，a1 = 1,公比为q,且b n= a n+1—a n.(1)判断数列｛b n｝是否为等比数列？说明理由；⑵求数列｛b n｝的通项公式.解：⑴因为等比数列｛a n｝中，a i= 1, 公比为q，所以a n = 1 x q n—1= q n一1, 若q = 1 ,贝y a n=1 , b n = a n+ 1 —a n= 0,所以数列｛b n｝是各项均为0的常数列,不是等比数列.若q丰1,由于b n+ 1a n+2—a n+1 q n+1—q nb n - =a n+1—a n = q n—q n-1q n(q —1)=q,q n —1(q —1)所以数列｛ b n｝是首项为b1= a2—a1= q —1，公比为q的等比数列.⑵由(1)可知，当q = 1时，b n= 0；当q 工 1 时，b n= (q —1)q n—1。
等比数列(第一课时：等比数列的概念)
2.4等比数列（第一课时：等比数列的概念）--------高二数学组李丁丁教学目标１、知识与技能：理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式。
２、过程与方法：通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析和逻辑推理能力。
３、情感、态度与价值观：通过等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度。
教学重点与难点重点：等比数列的定义、通项公式的推导。
难点：等比数列通项公式的初步应用。
教学过程一、问题情境首先请同学们看以下几个事例（幻灯片展示）情境1、国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：第1个方格放1颗麦粒，第2个方格放2颗麦粒，第3个方格放4颗麦粒，第4个方格放8颗麦粒，以此类推，直到第64个方格，应该放多少颗麦粒，国王能否满足他的要求？情境2、“一尺之锤，日取其半，万世不竭。
”情境3、一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。
如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮。
邮件接收者发送病毒称为第二轮，以此类推，假设每一台计算机感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机构成什么样的数列？问题1：上述例子可以转化为什么样的数学问题？问题2：上述例子有何共同特点？二、学生活动通过观察、联想、发现：1、上述例子可以与数列联系起来（有等差数列的学习做基础）2、得到以下3个数列：① 1,2,22，…，263② 1，，，4121…,n21⎪⎭⎫ ⎝⎛,… ③ 1,20,202,203,…,通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）三、 数学建构1、问题：①②③这样的数列和等差数列一样是一类重要的数 列，谁能试着给这样的数列取个名字？（学生通过联想、尝试、得出最恰当的命名：等比数列）2、归纳总结，形成等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示（q ≠0）(引导学生经过类比等差数列的定义得出)3、对等比数列概念的深化理解问题1：上述三例的公比分别是什么？问题2、刚才我们得到了等比数列的概念，是用文字语言来表达的，但是在使用时往往需要符号化，请同学们类比等差数列，将等比数列定义的内容用数学表达式写出（由学生活动得出，判定方法：)(1为常数q q a a nn =+ 问题3、在学习等差数列时，我们可以用公差d ，项数n 以及首项1a 表示数列的任一项，也就是可以表示它的通项公式n a ，那么在等比数列中，要表示该数列，需先确定几个条件？怎样用这些条件表示这个等比数列的每一项？（启发引导，引导学生类比等差数列大胆尝试，讨论回答）归纳法：根据等比数列的定义：3134212312q q q a a a q a a a q a a =====，， ，…,∴11-=n n q a a (分析式子结构：1、只要知道q a ，1可求等比数列 中的任一项；2、任一项都可表示成q a 和1的形式，知三求一)四、 数学运用例3、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
2.4等比数列的概念及通项公式(高中数学人教A版必修五)
(1)an am (n m)d
a1 0, q 0
通项 公式
an a1q
n 1
(1)an amqnm
则 am· n=as· r . a a
(3) an2=an-1· n+1 . a （等比中项）
主要 性质
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*)
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
(1)等比数列的通项公式
通项公式一:
an a1 q
n1
(a1 , q 0)
an a1q n 1、不要错误地写成
2、每一项都可以用a1和q表示，等比数列 由首项和公比确定
1 变式训练 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ 3 (an－1)(n∈N*)． (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
an am qn m
(1)等比数列的通项公式 如果数列 an }是等比数列，首项为 1 , 公比为q， { a
①.不完全归纳法 a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 … an=a1qn1
②.叠乘法（累乘法） a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书：必修5 第2章 2.4 第1课时 等比数列
2．4等比数列第1课时等比数列1．理解等比数列的定义．(重点)2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)[基础·初探]教材整理1等比数列的定义阅读教材P48～P49倒数第一行，完成下列问题．1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符号语言：a n＋1*)．a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝ab.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数列一定是等比数列．()(2)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．()(3)等比数列中的项可以为零．( )(4)若a ，b ，c 三个数满足b 2＝ac ，则a ，b ，c 一定能构成等比数列．( ) 【解析】 (1)×.因为各项均为0的常数列不是等比数列．(2)√.因为任何一个各项不为0的常数列既是等差数列，又是等比数列． (3)×.因为等比数列的各项与公比均不能为0.(4)×.因为等比数列各项不能为0；若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ，但是反之不成立，比如：a ＝0，b ＝0，c ＝1，则a ，b ，c 就不是等比数列．【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)× 教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P 49倒数第1行～P 51例3，完成下列问题． 1．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1q n －1.这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．2．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x(q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列a 1q ·q n 中的各项的点是函数y ＝a 1q ·q x 的图象上的孤立点．1．在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比q ＝3，则通项公式a n ＝________. 【解析】 a n ＝a 1q n －1＝4·3n －1. 【答案】 4·3n －12．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________.【解析】 ∵a 2＝a 1q ＝2，① a 5＝a 1q 4＝14，②∴②÷①得：q 3＝18，∴q ＝12. 【答案】 123．在等比数列{a n }中，已知a 2＝3，a 5＝24，则a 8＝__________________. 【解析】 由⎩⎨⎧a 2＝a 1q ＝3，a 5＝a 1q 4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝2，所以a 8＝32×27＝192. 【答案】 192[小组合作型]等比数列的判断与证明(1)下列数列是等比数列的是( ) A ．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，… B ．－1,1，－1,1，－1，… C ．0,2,4,6,8,10，… D ．a 1，a 2，a 3，a 4，…(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列. 【精彩点拨】 (1)利用等比数列的定义判定．(2)先利用S n 与a n 的关系，探求a n ，然后利用等比数列的定义判定． 【自主解答】 (1)A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B ．由等比数列定义知该数列为等比数列．C ．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．D ．当a ＝0时，该数列不是等比数列；当a ≠0时，该数列为等比数列． 【答案】 B(2)证明：∵S n ＝2－a n ， ∴S n ＋1＝2－a n ＋1，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1，∴a n ＋1＝12a n . 又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n＝12，∴{a n }是等比数列．判断一个数列{a n }是等比数列的方法：(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列．(2)等比中项法：对于数列{a n }，若a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2且a n ≠0，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列．[再练一题]1．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．【证明】 由已知得，a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ， 故b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－(n ＋1)－3＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， ∴数列{b n }是等比数列． ∵b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－1＝14，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14×2n －1＝2n －3.等比中项(1)等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14 D.14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项． 【精彩点拨】 (1)用定义求等比中项． (2)证明(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)即可．【自主解答】 (1)由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.【答案】 A(2)证明：b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零， 又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)·(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．等比中项应用的三点注意：(1)由等比中项的定义可知G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)． [再练一题]2．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 ∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ， ∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)， k ＝4. 【答案】 B[探究共研型]等比数列的通项公式探究1 类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }的通项公式吗？【提示】 由等比数列的定义可知： a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3， a 5＝a 4q ＝a 1q 4…由此归纳等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1.探究2 由等比数列的定义式a n ＋1a n ＝q (q ≠0)你能用累乘法求出用首项a 1，公比q 表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项a m 及公比q 表示a n 吗？【提示】 由a n ＋1a n ＝q ，知a 2a 1＝q ，a 3a 2＝q ，a 4a 3＝q ，…，a n a n －1＝q ，将以上各式两边分别相乘可得a n a 1＝q n －1，则a n ＝a 1q n －1； 由⎩⎨⎧a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1qm －1两式相比得a n a m ＝q n －m ， 则a n ＝a m ·q n －m ，事实上该式为等比数列通项公式的推广．(1)在等比数列{a n }中，已知a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n ； (2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n .【精彩点拨】 (1)先由a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9， 列出方程组，求出a 1，q ，然后再由a n ＝1解出n . (2)根据条件求出基本量a 1，q ，再求通项公式． 【自主解答】 (1)法一：因为⎩⎨⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ②由②①得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6.法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12. 由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6.(2)由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .1．等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．[再练一题]3．在等比数列{a n }中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5； (2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .【解】 (1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5， q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405.(2)因为⎩⎨⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.1．在等比数列{a n }中，若a 1＜0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23 C ．－23D.23或－23【解析】 由⎩⎨⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.又a 1＜0，因此q ＝－23. 【答案】 C2．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9【解析】 因为b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，所以b ＝－3，且a ，c 必同号．所以ac ＝b 2＝9. 【答案】 B3．在等比数列{a n }中，若a 3＝3，a 4＝6，则a 5＝________. 【解析】 由q ＝a 4a 3＝63＝2，所以a 5＝a 4q ＝12.【答案】 124．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 【解析】 由已知可知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)， 解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6， 所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.【答案】 4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －15．(1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n ； (2)若等比数列{a n }中，a n ＋4＝a 4，求公比q .【解】 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，得n ＝4.(2)∵a n ＋4＝a 4q (n ＋4)－4＝a 4q n ， 又a n ＋4＝a 4，∴q n ＝1，∴当n 为偶数时，q ＝±1；当n 为奇数时，q ＝1.。
高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必
第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。
高中数学第2章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式aa高二数学
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[解析] (1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即 bn＋1＝2bn， ∵b1＝a1＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴bbn＋n 1＝2，∴{bn}是等比数列． (2)由(1)知{bn}是首项 b1＝2，公比为 2 的等比数列， ∴bn＝2×2n－1＝2n，即 an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
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1．等比数列的定义 如 果 一 个 数 列 从第_2_项_______ 起 ， 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 比 都 等 于
同_一__个__常__数__(ch_á_ng_sh_ù)_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数(chángshù)叫做等比数列的
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2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(nàme)a－bc2＝7 ________. [解析] 由题意知b2＝(－1)×(－9)＝9，∴b＝±3. 又b<0，∴b＝－3，而b2＝ac.∴ac＝9.∴abc＝－27. 3．在等比数列{an}中，a2 020＝8a2 017，则公比q的值为2_____. [解析] a2 020＝a2 017q3，∴q3＝8，q＝2. 4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝__－__2_n_或__(－__2_)n______. [解析] 设公比为 q，则 a3＝a1q2，∴q2＝－－82＝4，∴q＝±2. ∴an＝(－2)×2n－1＝－2n 或 an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n.
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∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，∴由②除以①，得 q(1－q)＝14. ∴q＝12，∴a1＝12－42124＝96.∴a6＝a1q5＝96×(12)5＝3. ∵a5、a7 的等比中项为 a6，∴a5、a7 的等比中项为 3. [误区警示] 错误的原因在于认为 a5，a7 的等比中项是 a6，忽略了同号两数 的等比中项有两个且互为相反数．
等比数列习题(有答案)第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版
第二章 数列2.4等比数列测试题知识点一： 等比数列的概念及等比中项的求解1．下面有四个结论：①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；②常数列b ，…，b 一定为等比数列；③等比数列{a n }中，若公比q ＝1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不能为零．其中正确的结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1 D.123.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列知识点二: 等比数列的通项公式及运算4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．85．(2014·东营高二检测)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 26．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( )A.52B.1－52C.25D.5－12 7.若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×10118．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)29.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.10．等比数列{a n }中，a 1＝98，a n ＝13，公比q ＝23，则n ＝________.11．数列{a n }为等比数列，a n ＞0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.知识点三: 等比数列通项的简单应用12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．13.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15．(2014·潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？16．等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＞a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值．知识点四：等比数列的判断与证明17.已知等比数列{b n }与数列{a n }满足b n ＝3a n (n ∈N *)．(1)判断{a n }是何种数列，并给出证明；(2)若a 8＋a 13＝m ，求b 1·b 2·…·b 20.18．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．19.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值；(2)求证：{b n }是等比数列．20．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．【参考答案】。