河北衡水中学2013-高二上学期期中考试数学文试题

衡水中学2013—2014学年度第一学期期中考试

高二年级文科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.抛物线24y x =的焦点坐标是（）

A.(1,0)

B.1(0,

)16 C.(0,1) D.1(,0)16

2. 已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（0,0a b >>C 的渐近线方程为

A .14y x =±

B .13y x =±

C .12

y x =± D .y x =± 3.双曲线122=+y mx

的虚轴长是实轴长的2倍，则m=( ) A.-41 B.-4 C.4 D. 4

1 4.若方程422=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )

A.(0,1)

B.(0, 2)

C.(1,4)

D.(0,+∞)

5. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线

分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =

(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3

6.已知A(-1,0),B(1,0),点C(x,y)满足：2

1|4|)1(22=-+-x y x ，则|AC|+|BC|=( ) A.6 B.4 C.2 D.不能确定

7.设坐标原点为O, 抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OB OA ?等于（） A.43 B.- 4

3 C.3 D.-3 8. F 是抛物线px y 22=(0>p )的焦点，P 是抛物线上一点，FP 延长线交y 轴于Q ，若P

恰好是FQ 的中点，则|PF|=( ) A.3p B.p 32 C.p D. 4

3p 9.已知A(-2,0),B(0,2),C 是圆x y x

222=+上任意一点,则△ABC 的面积的最大值是( ) A.23+ B.3-2 C.6 D.4

10. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 相交于A 、B 两点，其中A(1,2),设抛物线的

焦点为F,则|FA|+|FB|等于（） A. 7 B.35 C.6 D.5

11.已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则椭圆的方程为（） A.191222=+y x B.112922=+y x 或13

122

2=+y x C.131222=+y x D. 191222=+y x 或112

2=+y x 12.已知两点M(-5,0)和N(5，0),若直线上存在点P, 使|PM|-|PN|=6, 则称该直线为”B 型直线”. 给出下列直线：①y=x+1;②y=2;③y=3

4x ④y=2x+1, 其中为”B 型直线”的是( ) A.①③ B.①② C.③④ D.①④

二、填空题（每题4分，共16分）注意：把填空题答案写在二卷的相应位置

13.椭圆19

252

2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2,N 是1MF 的中点,则ON 等于___________

14.设AB 为抛物线p p px y ,0(22

>=为常数)的焦点弦，M 为AB 的中点，若M 到y 轴的

距离等于抛物线的通径长，则=AB __________.

15．已知双曲线的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|，则此双

曲线的离心率e 的取值范围为 ______________

16.设圆C 位于抛物线22y x =与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本题12分) 已知双曲线的方程是14491622=-y x

(1) 求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

(2) 设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1||PF 2|=32,求∠F 1PF 2的

大小。

18．（本题12分）已知三点A(2，8)，B(11,y x )，C(22,y x )在抛物线px y

22=上， △ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合.

(1) 写出该抛物线的方程和焦点坐标；

(2) 求线段BC 中点M 的坐标；

(3) 求BC 所在直线方程。

19. （本题12分）直线L:1+=kx y 与椭圆C:)1(222>=+a y ax 交于A 、B 两点, 以

OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB(O 为坐标原点).

(1)若k=1, 且四边形OAPB 为矩形, 求a 的值;

(2)若a =2, 当k 变化时(k ∈R), 求点P 的轨迹方程.

20.（本题12分）经过双曲线132

=-y x 的左焦点F 1作倾斜角为6π的弦AB 。（1）求AB ；

（2）求AB F 2?的周长（F 2为右焦点）。

21.（本题14分）已知动点P 与双曲线13

2=-y x 的两个焦点F 1 、F 2的距离之和为6. (1)求动点P 的轨迹方程;

(2)若已知D(0,3), 点M 、N 在动点P 的轨迹上,且DN DM λ=,求实数λ的取值范围.

22.已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F

且斜率为

的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．

衡水中学2013—2014学年度第一学期期中考试

高二年级文科数学答案

一．选择答案：BCAAC BBDAA DB

二、填空题（每题4分，共16分。把答案填在题中横线上）

13． 4 14． 5p 15． (1,3

5 16．

1 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17（1）焦点坐标(5,0),±离心率5,3e =渐近线43

y x =± 6分（2）设1,PF m =2,PF n =326mn m n =??-=?，2212100cos 02m n F PF mn +-==， 1290O F PF ∠= 12分

18.略解：(1)x y 322= F(8,0) 4分

(2)由重心坐标公式32821++=x x ，3

8021++=y y 得M(11,-4) 8分 (3)?????==2

221213232x y x y 两式作差)(32))((212121x x y y y y -=-+，k BC =4 4x+y-40=0 12分

19（1）2221

(1)2102y x a x x ax y =+??++-=?+=?，

122111x x a xx a ?+=-??+??=-?+?

12120,0OA B x x y y ⊥+=，3a = 6分（2）22221(2)21022

y kx k x kx x y =+??++-=?+=? 设(,)P x y

x x k

k k

y y y

??+

?=-

?==

，22

440

x y y

+-=12分

21.(1)1

4分

（2）

12分

22解：

（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =+，代入2

12y x +=并化简得 242210.x x --=

…………2分设112233(,),(,),(,),

A x y

B x y P x y 则122626,44x x =

12121222()21,x x y y x x +=+=++= 由题意得

3123122()() 1.x x x y y y =-+==-+=- 所以点P 的坐标为2(1).-

经验证，点P

的坐标为

(1)2-

-满足方程 2

21,2y x +=故点P 在椭圆C 上。

…………6分（II

）由(,1)2P -

-和题设知，

PQ 的垂直平分线1l

的方程为

.2y x =- ①

设AB 的中点为M

，则1)42M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为

1.24y x =+ ②

由①、②得12,l l

的交点为1(,)88N -。 …………9分

21||8

||||2||4

||||8NP AB x x AM MN NA ===-=

=====

故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，

所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12分

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