高中数学必修4《平面向量》知识点讲义

第二章 平面向量

一、基本概念

1、数量：只有大小没有方向的量称为数量，例如温度、时间、质量、面积等。

2、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，例如速度，位移，加速度，力等。注意：向量没有位置。

3、有向线段：带有方向的线段。

4、向量的模：向量的长度（大小），记作 。

5、零向量：长度为0的向量叫零向量，记为 ，零向量的方向任意。

6、单位向量：长度等于1个单位的向量。

7、相等向量：长度相等且方向相同的向量。

8、相反向量：长度相等但方向相反的向量， 互为相反向量。 9、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。规定 。

二、表示与运算

代数

几何

坐标 表示

a r 或AB u u u r

(x ，y ）

1122(,),A x y B x y 若（,）

2121=--AB x x y y u u u r

则（，）

加法（减法） “化减为加”

a b +r r

??

?三角形法则：首尾相连法则平行四边形法则

()1212,x x y y ±±

说明：1、向量加法满足： (1)交换律 (2)结合律

2、

3、

0r

()0//a r r

任意向量a a r r

与

-a r

a b b a +=+r r r r

()()

a b c a b c ++=++u u r r r r u u r r a b a b a b +≤+r r r r r r

当且仅当与同向时，取等号。

AB BC AC

AB BC CA GA GB GC ?+=++=?++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r r ABC 中，常见结论（1）（2）（3）G 为ABC 重心，则

代数 几何

坐标

模

a

r

长度

22x y +

平行（共线）

(0)a b a λ=≠r r r r

a r 与

b r

所在直线平行或共线

22

11

(0x y x y =r 规定与任意向量平行）

垂直

0a b ?=r r

所在直线垂直

12120x x y y +=

注意：a b b a ?=?r r r r

但

三、重要的定理、公式

1、平面向量基本定理

1212

,e e λλu r u u r

是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，

112212,a e e e e λλr u r u u r u r u u r

使＝＋，两个不共线的向量称为一组基底。

说明：平面内两个向量能成为基底的充要条件是不共线。

2、两个向量平行的充要条件 ()

122100

a b a b b x y x y λ?=≠?-=r r r r r r

P

3、两个向量垂直的充要条件

121200

a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r

()a b c a b a c +=?+?r r r r r r r ()()a b c a b c ?≠?r r r r r r

a b b c a c

?=?≠>=r r r r r r

4、一个平面内A 、B 、C 三点共线的充要条件是

()

1OA OB OC λμλμ=++=u u u r u u u r u u u r

其中