2017-2018年湖南省长沙市浏阳二中、五中、六中联考高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

2017-2018学年湖南省长沙市浏阳二中、五中、六中联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）函数f（x）=sinxcosx的最小值是（）A．﹣1 B．﹣ C．D．12．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3 B．y=cosx C．D．y=ln|x|3．（5分）下列命题是假命题的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1=0C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），则a5等于（）A．B．C．D．5．（5分）定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有成立，则必有（）A．函数f（x）是先增加后减少B．函数f（x）是先减少后增加C．f（x）在R上是增函数D．f（x）在R上是减函数6．（5分）一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3﹣t2+2t，那么速度为零的时刻是（）A．0秒 B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末7．（5分）在△ABC中，若cosA•cosB﹣sinA•sinB＞0，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能8．（5分）函数y=的值域是（）A．R B．[8，+∞）C．（﹣∞，﹣3]D．[3，+∞）9．（5分）要得到函数y=cos（）的图象，只需将函数y=sin的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则cosA的取值范围是（）A．B．C．D．11．（5分）函数y=x2+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知集合A={（x，y）|y=2x+1}，B={（x，y）|y=x+3}，若a∈A，a ∈B，则a的值为．14．（5分）cos80°cos35°+cos10°cos55°=．15．（5分）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一发现，求：函数对称中心为．四、解答题（本大题6小题，第17题10分，其余每小题10分，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，求a的值．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，其中a1=25，a5=17．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求a1+a3+a5+…+a19的值．19．（12分）已知||=2，||=3，与的夹角是60度．（1）求（+）（﹣2）的值．（2）求|2﹣|的值．20．（12分）设函数f（x）对住意，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）试问：当﹣3≤x≤3时，f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．21．（12分）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．（1）求ω的值和∠DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．22．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R使得f（x0）∈x0成立，则称x0为f （x）的不动点已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）（1）若a=1，b=3，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值．2017-2018学年湖南省长沙市浏阳二中、五中、六中联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）函数f（x）=sinxcosx的最小值是（）A．﹣1 B．﹣ C．D．1【解答】解：∵f（x）=sinxcosx=sin2x．∴当x=kπ﹣，k∈Z时，f（x）min=﹣．故选：B．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3 B．y=cosx C．D．y=ln|x|【解答】解：A．函数y=x3为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，所以A不合适．B．函数y=cosx为偶数，但在（0，+∞）上不单调，所以B不合适．C．函数y=为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，所以C不合适．D．函数y=ln|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，所以D合适．故选：D．3．（5分）下列命题是假命题的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1=0C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：对于A，条件结论同时否定并交换，故A是真命题；对于B，量词否定，结论否定，故B是真命题；由C选项中若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题，所以C选项命题是假命题；对于D，前者是后者的真子集，故D是真命题．故选：C．4．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），则a5等于（）A．B．C．D．=（n∈N*），【解答】解：数列{a n}中，a n+1则=+，又由a1=1，则=1，则数列{}是以=1为首项，公差为的等差数列，则=1+×4=3，则a5=，故选：B．5．（5分）定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有成立，则必有（）A．函数f（x）是先增加后减少B．函数f（x）是先减少后增加C．f（x）在R上是增函数D．f（x）在R上是减函数【解答】解：任意两个不相等实数a，b，总有成立，即有a＞b 时，f（a）＞f（b），a＜b时，f（a）＜f（b），由增函数的定义知：函数f（x）在R上是增函数．故选：C．6．（5分）一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3﹣t2+2t，那么速度为零的时刻是（）A．0秒 B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末【解答】解：∵s=t3﹣t2+2t，∴v=s′（t）=t2﹣3t+2，令v=0得，t2﹣3t+2=0，t1=1或t2=2．故选：D．7．（5分）在△ABC中，若cosA•cosB﹣sinA•sinB＞0，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能【解答】解：在△ABC中，∵cosA•cosB﹣sinA•sinB=cos（A+B）=﹣cosC＞0，∴cosC＜0，∴这个三角形一定是钝角三角形，故选：B．8．（5分）函数y=的值域是（）A．R B．[8，+∞）C．（﹣∞，﹣3]D．[3，+∞）【解答】解：∵t=x2﹣6x+17=（x﹣3）2+8≥8∴内层函数的值域变[8，+∞）y=在[8，+∞）是减函数，故y≤=﹣3∴函数y=的值域是（﹣∞，﹣3]故应选C．9．（5分）要得到函数y=cos（）的图象，只需将函数y=sin的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：==，只需将函数的图象，向左平移个单位长度得到函数=的图象．故选：A．10．（5分）已知△ABC中，AC=2，BC=2，则cosA的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AC=b=2，BC=a=2，∴由正弦定理，得即sinA=∵a＜b，sinB∈（0，1]∴sinA∈（0，]，可得锐角A∈[，0）∵余弦函数在（0，π）内为减函数，∴cosA的取值范围是故选：B．11．（5分）函数y=x2+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=x2+ln|x|=f（x），∴y=f（x）为偶函数，∴y=f（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x→0时，y→﹣∞，故排除D，或者根据，当x＞0时，y=x2+lnx为增函数，故排除D，故选：A．12．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2【解答】解：由于函数，可得x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函在R上的零点个数为0，故选：C．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知集合A={（x，y）|y=2x+1}，B={（x，y）|y=x+3}，若a∈A，a ∈B，则a的值为（2，5）．【解答】解：由，可得x=2，y=5．故a为（2，5），故答案为：（2，5）．14．（5分）cos80°cos35°+cos10°cos55°=．【解答】解：∵cos80°cos35°+cos10°cos55°=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos（80°﹣35°）=cos45°=．故答案为：．15．（5分）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=．【解答】解析：设=，=，那么=+，=+，又∵=+，∴=（+），即λ=μ=，∴λ+μ=．故答案为：．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一发现，求：函数对称中心为（，1）．【解答】解：依题意，得：f′（x）=x2﹣x+3，∴f″（x）=2x﹣1．由f″（x）=0，即2x﹣1=0．∴x=，又f（）=1，∴函数对称中心为（，1）故答案为：（，1）四、解答题（本大题6小题，第17题10分，其余每小题10分，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a．（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，求a的值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+（1+cos2x）+a=sin（2x+）++a，∴其最小正周期T=π；由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．（2）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴a≤sin（2x+）++a≤+a，即f（x）在区间[﹣，]上的值域为[a，a+]，又f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为，∴a+a+=，解得a=0．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，其中a1=25，a5=17．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求a1+a3+a5+…+a19的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=25，a5=17．∴17=25+4d，解得d=﹣2．∴a n=25﹣2（n﹣1）=27﹣2n．（2）a1+a3+a5+…+a19=25×10+（﹣4）=70．19．（12分）已知||=2，||=3，与的夹角是60度．（1）求（+）（﹣2）的值．（2）求|2﹣|的值．【解答】解：（1）||=2，||=3，与的夹角是60度，∴=2×3×cos60°=3∴（+）•（﹣2）=﹣•﹣2=22﹣3﹣2×32=﹣17；（2）|2﹣|2=（2﹣）2=4||2﹣4•+||2=4×22﹣4×3+32=13，∴|2a﹣b|=．20．（12分）设函数f（x）对住意，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）试问：当﹣3≤x≤3时，f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．【解答】证明：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），从而f（0）=0，令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，从而f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数．（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，从而f（x1﹣x2）＜0，又f（x1﹣x2）=f[x1+（﹣x2）]=f（x1）+f（﹣x2）=f（x1）﹣f（x2）．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）为R上的增函数，∴当x∈[﹣3，3]时，f（x）必为增函数．又由f（﹣1）=﹣2，得﹣f（1）=﹣2，∴f（1）=2，∴当x=﹣3时，f（x）min=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣3f（1）=﹣6；当x=3时，f（x）max=f（3）=3f（1）=6∴当﹣3≤x≤3时，函数f（x）的最大值、最小值分别为6，﹣6．21．（12分）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．（1）求ω的值和∠DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．【解答】解：（1）由条件，得A=2，．（2分）∵，∴．（4分）∴曲线段FBC的解析式为．当x=0时，．又CD=，∴．（7分）（2）由（1），可知．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．（8分）设∠POE=θ，，“矩形草坪”的面积为=．（13分）∵，故取得最大值．（15分）22．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R使得f（x0）∈x0成立，则称x0为f （x）的不动点已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）（1）若a=1，b=3，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值．【解答】解：（1）若a=1，b=3，f（x）=x2+4x+2，代入f（x）=x化简得x2+3x+2=0，解得x=﹣2、﹣1，则f（x）的不动点为﹣2，﹣1，（2）由题意知，函数f（x）恒有两个相异的不动点，所以方程f（x）=x即ax2+bx+b﹣1=0（a≠0）恒有两个不等实根，则△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，即b2﹣4ab+4a＞0对任意实数b恒成立，即△=（﹣4a）2﹣4×4a＜0，解得0＜a＜1，所以0＜a＜1，（3）因为A、B两点关于直线对称，所以AB与直线垂直，且中点M在直线上，设A（x1，x1），B（x2，x2），由（2）知x1+x2=﹣，所以AB的中点，所以AB的中点易知易知k AB=1，所以k=﹣1，，即，由（2）0＜a＜1，所以当且仅当=，即a=时，b min=﹣=﹣。