常微分方程题库

常微分方程试题库（一）、填空题（每空3分）1、 当_______________时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为： 。

2、形如________________的方程，称为齐次方程。

3、求),(y x f dxdy =满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ϕ是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。

则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为： 。

5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dtdX )(=的一个基本解组。

7、若)(t Φ是常系数线性方程组AX dt dX =的基解矩阵，则At exp = 。

8、方程 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

9、设)(),(21x x ϕϕ是与二阶线性方程： )()()(21x f y x a y x a y =+'+''，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .10、形如 的方程称为欧拉方程。

11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dtdX )(=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系： 。

12、若向量函数);(y t g 在域R 上 ，则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dtdy ==ϕ的解ϕ存在且惟一。

13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换 ，可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。

14、方程04=+''y y 的基本解组是 ．15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．16、若)(t Φ是常系数线性方程组X t A dtdX )(=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=的解()t ψ=_____________________17、n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．18、方程 称为黎卡提方程。

19、如果),(y x f 在R 上： ，则方程),(y x f dxdy =存在唯一的解)(x y ϕ=定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中=h ，=M 。

20、若)(t x i =i (1，2，……，)n 是n 阶齐线性方程的n 个解，)(t W 为其伏朗斯基行列式，则)(t W 满足一阶线性方程 。

21、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。

其积分因子为： ；有只含y 的积分因子的充要条件是 ，其积分因子为： 。

22、方程 称为黎卡提方程，若它有一个特解）（x ϕ,则经过变换 ，可化为伯努利方程。

23、若dx d D =，而n n n n a D a D a D D L ++++=--111)( ϕ（x ）、且0)(≠λL 时，则：x e D L λ)(1= 。

24、若)(t ϕ是n 阶非齐线形方程的一个特解，)(t i ψ（n i ,,2,1 =）是其对应齐线性方程的一个基本解组，则非齐线形方程的所有解可表为 。

25、如果)(t A 是n ×n 矩阵，)(t F 是n 维列向量，则它们在 a ≤t ≤b 上 时，方程组)()(t F X t A dtdX +=满足初始条件η=)(0t X 的解在a ≤t ≤b 上存在唯一。

26、若dxd D =，而n n n n a D a D a D D L ++++=--111)( ，)(x f k 是关于x 的k 次多项式.则当0)0(≠=n a L 时, 有)()()()(1x f D Q x f D L k k k =，其中)(D Q k 是D 的k 次多项式,它是将)(D L 按D 的升幂排列后用通常的多项式除法去除1,在第 步上得到的商式。

27、在用皮卡逐步逼近法求方程组)()(t F X t A dtdX +=，η=)(0t X 的近似解时，则=)(t k ϕ 。

28、若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ． 29、线性齐次微分方程组Y x A dx dY )(=的一个基本解组的个数不能多于 个。

30、二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 ．31、方程y x xy tan d d 2=的所有常数解是 ． 32、方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 ． 33、 线性齐次微分方程组的解组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ．34、微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 35、对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件.36、函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 。

37、若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= 线性方程组AX dtdX =的一个基解矩阵。

38、设)(t Φ是方程组X t A dtdX )(=的基本解矩阵，)(t ϕ为)()(t F X t A dtdX +=的某一解，则它的任一解都可表为 。

39、方程 称为变量分离方程,它有积分因子 。

40、若)(t Φ是X t A dtdX )(=的基解矩阵，则向量函数 )(t ϕ= 是)()(t F X t A dtdX +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= 是)()(t F X t A dtdX +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

41、方程2231)(dsr d ds dr +=是 阶方程。

42、方程0==+x x x x是 阶方程。

43、函数满足的一阶方程是 。

44、函数满足的一阶方程是 。

45、方程xdy ydx =的通解为 。

46、方程0)(=+y x p dx dy 的通解为 。

47、齐次方程)(x y g dx dy =经过变换 可化为变量分离方程。

48、设)(x ϕ是一阶线性齐次方程0)(=+y x p dxdy 于区间I 上的解。

若存在某点I x ∈0，有0)(0=x ϕ，则 。

49、方程0=+ydx xdy 的通解为： 。

50、方程02=-x ydx xdy 的通解为： 。

51、方程02=+-yydx xdy 的通解为： 。

52、方程0=+-xyydx xdy 的通解为： 。

53、方程022=++-y x ydx xdy 的通解为： 。

54、方程的积分因子为： 。

55、方程y x e dxdy -=的积分因子为： 。

56、方程 的左端可以因式分解为： ，从而得到两个方程与 ，原方程的解有 和 。

57、方程 称为克莱洛方程，它的通解为： 。

58、设I x ∈0，)(,),(1x Y x Y n 是区间I 上(LH)的n 个解，则)(,),(1x Y x Y n 在区间I 上线性相关的 条件是向量组)(,),(001x Y x Y n 线性相关.59、设)(x Φ是 (LH)的任一基本解矩阵，则 (LH)的标准基本解矩阵是 .60、 非齐线性次方程组(NH)的任意两个解之差都是 的解.选题说明：每套试题选8个空为宜。

（一）、填空题参考答案（每空3分） 1.x N y M ∂∂=∂∂, ⎰⎰+=y y x x dt t x N ds y s M y x U 00),(),(),(0 , 或⎰⎰+=y y x x dt t x N ds y s M y x U 000），（），（），（； 2. )()(x g x f dxdy =； 3. ⎰+=x x dt t y t f y x y 0))(,()(0； 4. )()(x x C y ψϕ+=； 5. 它们的朗斯基行列式W (x )不为零； 6. n 个线性无关解； 7. ),0()()ex p(1-ΦΦ=x Ax8. )()(x f y x p dxdy =+，⎰=dx x p e )(μ，⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p 9. dt t f t t t t t x x t x C x C y x x )()()()()()()()()()()(0212121212211⎰'-'-++=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ； 10. 01111=++++---y a xDy a y D x a y D x n n n n n n ；11. 存在非奇异矩阵A ,使得I x A x x ∈Φ=Φ,)()(21；12. 连续且关于y 满足李氏条件； 13. 1)1(21,,,--==''='n n y y y y y y ； 14. x x sin ,cos ；15. 充分； 16. η)()(01t t -ΦΦ ；17. n ； 18. )()()(2x r y x q y x p y ++='；19. 连续且关于y 满足李氏条件，),min(0M b a h =，),(max ),(y x f M R y x ∈= ； 20. )()()(1t W t a dt t dW -= ；21. 只与x 有关， ；只与y 有关， ； 22. )()()(2x r y x q y x p y ++='，z x y +=)(ϕ；23. )()(1λλλL e e D L x x = ； 24. )()()(11t t C t C n n ϕψψ+++ ；25. 连续；26. 1+k ；27. ⎰++=-x x k k dt t F t t A Y x 0))()()(()(10ϕϕ；28. )()()1(21x Cy x y C -+；29. n ； 30. 线性无关；31. ,2,1,0,±±==k k y π ；32. ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ ；33. 充要；34. 一； 35. 2121),(),(y y N y x f y x f -≤- ；36. t t t tt t t t t te e e e e e e e e e 2222642-=----； 37. []n t t t n e e e νννλλλ,,,2121 ；38. )()(t C t ϕ+Φ；39.)()(y g x f dx dy =，)(1y g ； 40. ⎰-ΦΦtt ds s F s t 0)()()(1，⎰--ΦΦ+ΦΦt t ds s F s t t t 0)()()()()(101η . 41.二；42.三；43. x x dx dy +=253；44.0222=++ydy xdy xdx ；45.cx y =；46.⎰=-dx x p ce y )(；47. ux y =； 48. 则)(x ϕ在区间I 上恒等于零；49. c xy =； 50. cx y =； 51. c y x =；52. c y x =；53. c x y arc =cot ；54. 21x；55. y e ； 56. 、x y ='、y y ='、c x y +=221、x ce y =； 57. )(y y x y '+'=ϕ、)(c cx y ϕ+=； 58. 充要；59. )()(01x x -ΦΦ； 60. 对应齐线性次方程组.。