《三角函数应用举例》
如何应用三角函数解决实际问题
如何应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于解决实际问题中。
本文将介绍如何应用三角函数解决实际问题，并提供相关的例子进行说明。
一、三角函数简介三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别用sin、cos和tan表示。
这些函数可以描述直角三角形中各个角的关系。
例如，在一个直角三角形中，对于一个给定的角度Θ，sinΘ等于对边与斜边的比值，cosΘ等于临边与斜边的比值，tanΘ等于对边与临边的比值。
二、应用实例：测量高楼高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但我们无法直接得到高楼的实际高度。
这时，我们可以利用三角函数来解决这个问题。
首先，在离高楼一定距离的地方A站立，测量与地平线之间的角度α。
然后，远离高楼一段距离B站立，再次测量与地平线之间的角度β。
由于我们可以测得AB之间的距离，我们可以根据三角函数的性质得到高楼的高度H。
首先，我们可以推导出以下公式：tanα = H/ABtanβ = H/(AB+d)其中，H表示高楼的高度，AB表示A点到高楼的距离，d表示A点到B点的距离。
将上述两式联立解方程，可以得到高楼的高度H：H = AB*(tanβ - tanα)/(1 + tanα*tanβ)通过测量角度α和β以及距离AB和d，我们可以应用这个公式计算高楼的高度H。
三、应用实例：测量不可达距离三角函数还可以用来解决测量不可达距离的问题。
假设我们要测量两座高楼之间的距离，但由于某些原因，我们无法直接测量这个距离。
这时，我们可以利用三角函数来解决这个问题。
假设我们站在第一座高楼的顶部A点，测量与水平线的角度α。
然后移动到第二座高楼的顶部B点，测量与水平线的角度β。
由于我们可以测得AB之间的水平距离d，以及A点到底部的垂直高度h1和B点到底部的垂直高度h2，我们可以根据三角函数的性质得到两座高楼之间的距离D。
首先，我们可以推导出以下公式：tanα = h1/dtanβ = h2/d将上述两式联立解方程，可以得到两座高楼之间的距离D：D = (h1-h2)/（(1+tanα*tanβ)/tanα-tanβ)通过测量角度α和β以及距离d和垂直高度h1、h2，我们可以应用这个公式计算两座高楼之间的距离D。
三角函数应用实例
三角函数应用实例三角函数是数学中常见的函数之一，它在很多实际问题中都有广泛的应用。
在本篇文章中，我们将会介绍一些常见的三角函数应用实例，帮助读者深入理解三角函数的实际应用。
首先，我们来讨论三角函数在三角测量中的应用。
三角测量是通过测量角的大小和边的长度，来确定不同点之间的距离和方位关系的一种方法。
三角测量广泛应用于地理测量、导航、建筑等领域。
在三角测量中，正弦函数、余弦函数和正切函数等三角函数起到了关键的作用。
以地理测量为例，假设我们想要测量两座山之间的距离。
我们可以站在一个位置测量山顶的角度，然后移动到另一个位置再次测量山顶的角度。
通过测量这两个角度可以计算出两座山之间的距离。
这里就用到了正弦函数。
正弦函数可以表示角度和三角形边长之间的关系，通过计算正弦值可以求得两个角度所对应的边长比例，从而计算出两座山之间的距离。
另一个常见的三角函数应用是在物理问题中的运动学。
例如，我们想要计算一个物体在斜面上滑行的速度和加速度。
假设斜面的角度为θ，物体的质量为m，重力加速度为g。
我们可以利用正弦函数和余弦函数来计算物体在竖直方向和水平方向上的加速度。
根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的加速度可以表示为g*sin(θ)，而在水平方向上的加速度可以表示为g*cos(θ)。
通过计算这两个加速度，我们可以求得物体在斜面上滑行的加速度。
类似地，我们也可以利用三角函数来计算物体在斜面上的速度和位移。
此外，三角函数还可以应用于信号处理和通信领域。
在音频和视频信号处理中，我们经常需要对信号进行调整和处理。
而频率域处理是其中一个重要的方法，它通过将信号转换到频率域中进行处理。
而频率域分析中经常使用傅里叶变换来将时域信号转换为频域信号。
而这里面就涉及到了正弦函数和余弦函数。
傅里叶变换实际上是将一个时域信号分解成多个正弦函数和余弦函数的加权和，通过分析这些正弦函数和余弦函数的振幅和相位可以得到信号的频率和幅度信息。
最后，三角函数还可以在几何画图中得到应用。
“高中数学课件：三角函数应用举例”
本课件将带你深入了解三角函数的丰富应用领域，包括在数学、物理学、航 空航天、地理学、生物学、建筑学等领域的实际应用。
三角函数的定义及性质回顾
回顾三角函数的定义，思考其基本性质，并通过实例加深理解。
用三角函数计算直角三角形的例题
已知斜边和一个角度
通过正弦、余弦和正切函数，计算出直角三角 形的其他边长。
求解三角函数方程的方法
1 利用单位圆的性质
通过单位圆，解三角方程，求解不同范围内 的解集。
2 使用三角恒等式
通过应用三角恒等式，简化方程，得出解集。
3 借助图形法
利用图形法求解三角方程的解集。
4 利用技巧和变换
通过基本数学技巧和变换，解决复杂的三角 方程。
三角函数在电路中的应用
1
交流电的频率和相位差
已知两个边长
通过正弦、余弦和正切函数，计算出直角三角 形的角度。
用三角函数计算一般三角形的例题
已知两边和一个角度
根据三角函数的定义，计算出三 角形的面积和其弦定理、正弦定理等相关 公式，求解三角形的角度和面积。
利用余弦定理、正弦定理等相关 公式，计算出三角形的第三边和 其他两个角度。
三角函数在计算机图形学中的应用
坐标变换和旋转
利用三角函数描述二维和三维图 形的坐标变换和旋转。
分形图形的生成
通过三角函数的迭代运算生成各 种神奇的分形图形。
动画的平滑过渡
通过三角函数描述动画的平滑过 渡和插值。
利用正弦函数和余弦函数描述交流电的
电阻、电感和电容的阻抗
2
频率和相位差。
通过三角函数计算电路中电阻、电感和
电容的阻抗。
3
电压和电流的相位关系
应用三角函数解决实际问题
应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中重要的概念之一，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在实际生活中，我们可以利用三角函数解决各种实际问题，例如测量高楼的高度、计算船只与灯塔之间的距离等。
本文将通过几个具体的例子，详细介绍如何应用三角函数解决实际问题。
一、测量高楼的高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但是无法直接测量。
此时，我们可以利用三角函数中的正切函数来解决这个问题。
我们可以站在离这座高楼较远的地方，仰望其顶部，并找到一个合适的角度。
然后，通过测量自己所站位置与地面的距离，以及仰望高楼时的角度，利用正切函数可以计算出高楼的高度。
例如，假设我们站在离高楼的位置为100米的地方，仰望高楼的角度为30度。
我们可以利用三角函数中的正切函数，根据公式tan(角度) = 高楼高度 / 100，计算出高楼的高度为100 * tan(30度) = 57.74米。
因此，高楼的高度约为57.74米。
二、计算船只与灯塔之间的距离假设我们在海上驾驶一艘船，远处有一座灯塔，我们想要知道船只与灯塔的距离。
此时，我们可以利用三角函数中的正弦函数来解决这个问题。
我们可以站在船只上，观察灯塔并记录下观察的角度。
然后，通过测量船只与海平面的高度，以及观察灯塔时的角度，利用正弦函数可以计算出船只与灯塔的距离。
例如，假设船只与海平面的高度为10米，我们观察灯塔的角度为45度。
我们可以利用三角函数中的正弦函数，根据公式sin(角度) = 灯塔的高度 / 距离，计算出船只与灯塔的距离为10 / sin(45度) = 14.14米。
因此，船只与灯塔的距离约为14.14米。
三、求解三角形的边长在一些实际问题中，给定三角形的某些角度和边长，我们需要求解其他未知边长。
这时，可以利用三角函数中的正弦、余弦、正切等函数来解决。
例如，已知一个直角三角形的直角边长分别为3和4，我们需要求解斜边的长度。
根据勾股定理，我们知道斜边的长度可以通过勾股定理计算得出：斜边的平方等于两个直角边平方和。
三角函数在实际生活中的应用
三角函数在实际生活中的应用目录摘要：1关键词：11引言11.1三角函数起源22三角函数的根底知识22.1以下是关于三角函数的诱导公式32.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式42.3二倍角的正弦、余弦、正切公式53.三角函数与生活53.1火箭飞升问题53.2电缆铺设问题63.3救生员营救问题63.4足球射门问题73.5食品包装问题83.6营救区域规划问题83.7住宅问题93.8最值问题104 总结11AbstractTrigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。
The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems.Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function摘要：三角函数在历史的开展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成局部，还是数学学习中得重点难点，总之它在教学和其他领域中具有重要的作用。
九年级三角函数的应用实例
九年级三角函数的应用实例三角函数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在九年级的学习中，我们已经初步接触了正弦、余弦和正切等常用三角函数，并学习了如何在直角三角形中求解角度和边长的问题。
接下来，让我们通过一些实际应用的例子，进一步理解并掌握三角函数的应用。
1. 建筑工程中的角度测量角度测量在建筑工程中起着至关重要的作用。
例如，当我们希望确定两栋高楼之间的夹角时，可以利用三角函数来进行测量。
首先，我们需要准备一个测角仪器，如经纬仪或者全站仪。
然后，我们选择一个参考点A，站在该点上，使用仪器测量参考点A与第一座楼顶的夹角α，以及参考点A与第二座楼顶的夹角β。
通过测量结果，我们可以利用正切函数的性质来计算出两栋楼之间的夹角θ，即θ = β - α。
2. 航海中的航向计算航海中，航向计算是非常重要的。
其中，真航向（True Heading）是指船舶相对于真北方向的夹角，偏航角（Deviation Angle）是指船舶磁罗盘的指示与真航向之间的夹角，而磁航向（Magnetic Heading）则是指船舶相对于磁北方向的夹角。
为了计算这些夹角，我们可以使用余弦函数。
假设我们测得磁北的方向角为α，偏航角为β，那么真航向可以通过如下公式计算得出：θ = α + β。
3. 电子游戏中的角度运动在电子游戏设计中，我们经常需要控制角色的运动。
例如，我们希望让角色向特定方向移动，但只知道该方向与水平方向之间的夹角。
这时，我们可以利用正弦和余弦函数来分解分别计算角色在水平方向和竖直方向上的位移。
假设角色需要向右移动，我们可以设定水平方向上的速度为v，那么角色在水平方向上的位移即为x = v * cosθ，而在竖直方向上的位移为y = v * sinθ。
通过以上的实例，我们可以看到三角函数在各个领域中的广泛应用。
熟练掌握三角函数的性质和应用方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以启发我们在数学思维和逻辑推理方面的能力。
三角函数应用举例(1)仰角俯角
28.2.2解直角三角形的应用（仰角和俯角）教案
中，
D
设计意图：通过分析题意，引导学生构造直角三角形，把已知条件转化到两个直角三角形里，根据已知的边角条件，恰当地选择锐角三角函数关系，解决实际问题，让学生初步认识到解直角三角形在实际问题中的应用；同时通过
一方面让学生进一步认识到解直角三角形在实际问题中的应用，另一方面，让学生意识到通过设未知数，建立方程也是解决实际问题时常用到
处，看另一栋楼楼顶的俯角为30°，看这
BC有多高？
A
E
尽管实际问题的背景发生了变化，
C E。
三角函数的万能公式应用大全
三角函数的万能公式应用大全1.求解三角函数的值：sin30° = sin(90° - 60°) = sin90°cos60° - cos90°sin60° = cos60° = 0.5同样地，可以使用万能公式求解其他角度的三角函数值。
2.简化复杂的三角函数表达式：有时候，我们需要简化一些复杂的三角函数表达式，以便更方便地进行运算。
万能公式常常被用于化简这些表达式。
例如，对于表达式 sinx + cosx，可以使用万能公式将其化简为：sinx + cosx = sqrt(2) * sin(x + 45°)这样的化简可以使得表达式更加简洁，并且易于计算。
3.证明三角恒等式：三角恒等式是指在三角函数中成立的等式。
我们可以使用万能公式来证明这些恒等式。
例如，我们要证明 tanx + cotx = secx * cscx。
可以使用万能公式将式子的左边化简为：tanx + cotx = (sinx/cosx) + (cosx/sinx) = (sin^2x +cos^2x)/(sinxcosx) = 1/(sinxcosx) = cscxsecx通过使用万能公式，我们得到了三角恒等式的证明。
4.解三角方程：在解三角方程的过程中，有时候需要将方程中的三角函数转化为其他形式。
万能公式提供了这样的转化的方法。
例如，对于方程 sinx = cosx，可以使用万能公式将其转化为：sinx = cosxsinx = sin(90° - x)根据单位圆上的正弦函数的性质，可以得到x=45°以上是三角函数万能公式的一些常见应用。
通过灵活运用这些公式，我们可以更加便捷地解决三角函数的相关问题，并深入理解其性质和关系。
三角函数：生活中的指南针
三角函数：生活中的指南针
三角函数在现实生活中有许多应用，以下是一些实例：
1.时钟：时钟的指针的运动轨迹可以通过三角函数来描述。
例如，秒针一圈的长度是60秒，分针一圈的长度是60分钟，时针一圈的长度是12小时。
当我们在时钟上表示时间时，实际上是在使用三角函数来描述各指针之间的大小关系。
2.地球运动：地球的运动如果用三角函数来描述，就可以得出地球每天的运行轨迹，以及每天的日出日落时间。
这其中就涉及到了正弦、余弦和正切等三角函数。
3.建筑：在建筑设计中，三角函数也被用来计算建筑物的抗压能力、承重能力等。
例如，通过使用三角函数，可以计算出梁的跨度和高度，以使其在满足承重要求的同时，保持足够的稳定性。
4.机械：在机械设计中，三角函数同样有广泛的应用。
例如，可以用来计算出机械的转动角度，以及机械的运动轨迹等。
5.测量：在测量建筑物或山的高度时，如果知道建筑物的位置与仰角之间的距离，则可以利用三角函数轻松地计算得到建筑物的高度。
6.游戏：在一些游戏中，如赛车游戏，当控制赛车运动的角度时，需要利用三角函数时刻计算赛车当前的位置以及运动的距离。
7.航空飞行：飞行工程师在考虑飞行路径时，需要精确地计算飞行轨道、着陆角度等，这就涉及到了大量的三角函数应用。
通过以上例子，我们可以看出三角函数在生活中的应用十分广泛，几乎在各个领域都有其用武之地。
5三角函数应用举例
6 6 AB 11 (m ). sin 0.55
综合提高
如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡 的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°。沿坡面AB 向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡 AB的坡度i＝1： 3，AB=10米，AE＝15米。（i＝1： 3 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； C （2）求广告牌CD的高度． D （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米． 参考数据： 2 1.414, 3 1.732 ）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A 6m F E D i=1:3 β C
1 2 tan 1 .5 3
i=1:1.5
B α
33 . 69
在Rt△CDE中，∠CED=90°
(2)在Rt△ABF中，
tan
1 3 18 . 43
6 sin , AB
AB表 示坡面
h
B
BC表示 水平面
α
铅 直 高 度
l
水平宽度
C
一般地，线段BC的长度称为斜坡 AB的水平宽度，用l表示，线段AC 的长度称为斜坡AB的铅直高度，用h 表示。
h
i α
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） l 的比叫做坡面坡度（或坡比）。 记作 温馨提示 h i,即 i= ＝tanα。 （1）坡度i不是坡角的度数，它
B α D
A
β
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出
俯角
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
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第1课时
1、了解仰角、俯角的概念，能应用锐角三角函数的知识 解决有关实际问题；
2、培养学生分析问题、解决问题的能力.
A
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2 b
c
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
Ca
B
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角 叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
视线
【例4】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高 楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果取整数）.
仰角
【分析】从组合体上能直接看到的地球表面最远的点，应
是视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线， 切点Q是从飞船观测地球时的最远点．弧PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ
（即a）.
F
P Q
α O·
【解析】在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
cosaO Q 6400 0.9491
O F 6400343
F
a18.36
∴弧PQ的长为
PQ α
O·
1 8 .3 6 6 4 0 0 1 8 .3 6 3 .1 4 2 6 4 0 0 2 0 5 1 ( k m )
1 8 0
1 8 0
当组合体在P点正上方时，从组合体观测地球时的最远
点距离P点约2051km.
B
水平线
αD Aβ
俯角
C
Rt△ABC中，a=30°知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出
BC．
仰角
B
水平线
αD Aβ
俯角
C
【解析】如图，a = 30°,β= 60°，AD＝120．
tan a BD , tan CD
AD
AD
BD AD tan a 120 tan 30
脚出发，沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年
春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从到
上升的高度是
米．
【解析】依题意得，∠ACB=90°.所以 sin∠ACB=sin30°= BC BC 1 .
AB 80 2
所以BC=40（米）. 【答案】40
3. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶 部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度 （精确到0.1m）
练习
. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的 另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一 直线（精确到0.1m）
【解析】要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是
△BDE 的一个外角，
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
30°
60°
【解析】如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,
AB=50m.设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
tan ADC AC , tan BDC BC ,
x
x
AC x tan 60, BC x tan 30.
x tan 60 x tan 30 50.
x
B
120 3 40 3(m) 3
CD AD tan 120 tan 60
αD Aβ
120 3 120 3(m)
BC BD CD 40 3 120 3
160 3277(m)
C
答：这栋楼高约为277m.
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰 角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°, 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m). 要解决这问题,我们仍需将其数学化.
50
50 25 3 43m.
tan 60 tan 30 3 3
3
答:该塔约有43m高.
30° A 50
m
D 6┌0° BC
P α β
归纳与提高
P
450 O P
O
45° B
30° A
C
30° B
450
45°
O
A
30°60° A
45°45°220000米 . B
P 4455°° 3300°°
b c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
【例3】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号 与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道 上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时， 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置? 最远点与P点的距离是多少? (地球半径约为6 400 km， π取3.142，结果取整数)？
【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°B，C=DC=40m，
在Rt△ACD中：
A
tan ADC AC DC
B
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2m
所以AB=AC－BC=55.2－ 答40：=棋15杆.2的m高度为15.2m.
54°45° D 40m C
P
C
位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处， 这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多
34°
远？（结果取整数）
B
.
18
【解析】如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°）
cos BDE DE BD
DE COSBDE BD
AB 140°
C
E
cos50 520 0.64520 332.8m
50°
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
D
.
17
【例】如图，一艘海轮位于灯塔P的北
偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，
65° A
它沿正南方向航行一段时间后，到达
O
220000米 D
13
B
1.（2010·青海中考）如图，从热气球C上测定建筑物A、B 底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为 150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离 为（ C ）
A.150 3 米
B.180 3 米
C.200 3 米
D.220 3 米
2.（2011·株洲中考）如图，孔明同学背着一桶水，从山