第五节 最小费用最大流
最小费用最大流
Spfa实现
概念
• 网络流图论中的一种理论与方法，研究网络 上的一类最优化问题 。 • 所谓网络或容量网络指的是一个连通的赋权 有向图 D＝(V、E、C) ， 其中V 是该图的 顶点集，E是有向边(即弧)集，C是弧上的容 量。此外顶点集中包括一个起点和一个终点。 网络上的流就是由起点流向终点的可行流， 这是定义在网络上的非负函数，它一方面受 到容量的限制，另一方面除去起点和终点以 外，在所有中途点要求保持流入量和流出量 是平衡的。
(3,3,1)
v0
(2,2,1) v3
(1,1,1)
(4,6,0)
v2
(2,3,0) (2,2,0)
(9,3,0) v5
(3,4,0)
如果 f 是可行流,则对收、发点vt、vs有
∑fsi =∑fjt =Wf ,
即从vs点发出的物质总量 = vt点输入的量.Wf 称为网络流 f 的总流量.
上述概念可以这样来理解,如G是一个运输网络,则 发点vs表示发送站,收点vt表示接收站,中间点vk表示中间 转运站,可行流 fij 表示某条运输线上通过的运输量,容量 Cij表示某条运输线能承担的最大运输量,Wf 表示运输总 量.
将各弧的单位运费作为长度，求v0到vn的最短 增流路v0v1v3v4vn，路长为8，可增加1单位的 流值。
v1
(4,3,0)
v4 (2,5,0) vn
(3,3,0)
v0
(2,2,0) v3
(1,1,0)
(4,6,0)
v2
(2,3,0) (2,2,0)
(9,3,0) v5
(3,4,0)
将各弧的单位运费作为长度，求v0到vn的最短 增流路v0v1v3v4vn，路长为8，可增加1单位的 流值。
网络流：最小费用最大流(最简单的算法)
网络流：最小费用最大流（最简单的算法）最小费用流在OI 竞赛中应当算是比较偏门的内容，但是NOI2008 中employee 的突然出现确实让许多人包括zkw 自己措手不及。
可怜的zkw 当时想出了最小费用流模型，可是他从来没有实现过，所以不敢写，此题0 分。
zkw 现在对费用流的心得是：虽然理论上难，但是写一个能AC 题的费用流还算简单。
先贴一个我写的employee 程序：只有不到70 行，费用流比最大流还好写～程序代码:C++#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxint=~0U>>1;int n,m,pi[550]={0},cost=0;bool v[550]={0};struct etype{int t,c,u;etype *next,*pair;etype(){}etype(int t_,int c_,int u_,etype* next_):t(t_),c(c_),u(u_),next(next_){}void* operator new(unsigned,void* p){return p;}} *e[550],*eb[550];int aug(int no,int m){if(no==n)return cost+=pi[1]*m,m;v[no]=true;for(etype *&i=e[no];i;i=i->next)if(i->u && !v[i->t] && pi[i->t]+i->c==pi[no])if(int d=aug(i->t,m<i->u?m:i->u))return i->u-=d,i->pair->u+=d,d;return 0;}bool modlabel(){int d=maxint,c;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])for(etype *j=eb[i];j;j=j->next)if(j->u && !v[j->t])if((c=j->c-pi[i]+pi[j->t])<d)d=c;if(d==maxint)return false;for(int i=1;i<=n;++i)if(v[i])pi[i]+=d,e[i]=eb[i];return true;}int main(){freopen("costflow.in","r",stdin);freopen("costflow.out","w",stdout);scanf("%d %d",&n,&m);etype *Pe=new etype[m+m];while(m--){int s,t,c,u;scanf("%d%d%d%d",&s,&t,&u,&c);e[s]=new(Pe++)etype(t, c,u,e[s]);e[t]=new(Pe++)etype(s,-c,0,e[t]);e[s]->pair=e[t];e[t]->pair=e[s];}memmove(eb,e,sizeof(e));do do memset(v,0,sizeof(v));while(aug(1,maxint));while(modlabel());printf("%d\n",cost);return 0;}程序代码:CB大牛翻译的PASCALvarn,m,i,l,s,t,c,cost,u:longint;v:array[0..600]of boolean;dis:array[0..600]of longint;e_n,e_t,e_c,e_u,e_p,e_x:array[0..250000]of longint;function min(a,b:longint):longint;beginif a>b then exit(b);exit(a);end;procedure addedge(s,t,c,u,k:longint);begininc(l);e_n[l]:=e_n[s];e_n[s]:=l;//下一条边e_t[l]:=t;//边的另一端e_c[l]:=c;//边的费用e_u[l]:=u;//边的容量e_p[l]:=l+k;//对应的边end;procedure build(s,t,c,u:longint);beginaddedge(s,t,c,u,1);addedge(t,s,-c,0,-1);end;function aug(no,m:longint):longint;vari,d:longint;beginif no=n then begininc(cost,m*dis[1]);exit(m);end;v[no]:=true;i:=e_x[no];while i<>0 do beginif (e_u[i]>0)and(not v[e_t[i]])and(dis[e_t[i]]+e_c[i]=dis[no]) then begind:=aug(e_t[i],min(m,e_u[i]));if d>0 then begindec(e_u[i],d);inc(e_u[e_p[i]],d);e_x[no]:=i;exit(d);end;end;i:=e_n[i];end;e_x[no]:=i;exit(0);end;function modlabel:boolean;vard,i,j:longint;begind:=maxlongint;for i:=1 to n do if v[i] then beginj:=e_n[i];while j<>0 do beginif (e_u[j]>0)and(not v[e_t[j]])and(e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]]<d) then d:=e_c[j]-dis[i]+dis[e_t[j]];j:=e_n[j];end;end;if d=maxlongint then exit(true);for i:=1 to n do if v[i] then beginv[i]:=false;inc(dis[i],d);end;exit(false);end;beginassign(input,'coflow.in');reset(input);assign(output,'coflow.out');rewrite(output);readln(n,m);l:=n;for m:=m downto 1 do beginreadln(s,t,u,c);build(s,t,c,u);end;repeatfor i:=1 to n do e_x[i]:=e_n[i];while aug(1,maxlongint)>0 do fillchar(v,sizeof(v),0);until modlabel;writeln(cost);close(output);end.这里使用的是连续最短路算法。
最大流与最小费用流PPT课件
(1)为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流 问题（譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
图10.3.2
第7页/共36页
在图10.3.2中，每条弧 上V标ij 有两个数字，其
中，靠近点 i 的是 ，c靠ij 近点 j 的是 。如c①ji
②表示5 从0①到②的最大通过量是5（百辆），从② 到①的最大通过量是0；② ③表示从2②到2③和 从③到②都可以通过2（百辆）；等等。
例如，在图10.3.11中，从①到⑦的最短路是①— ③—⑤—⑦，代价为7，在这条最短非饱和路上取P 3 后，③—⑤变成容量为零，在下一次选择最短路时 应将③—⑤视为断路来选取最短非饱和路。另外， 选取①—③—⑤—⑦路后，③—①，⑤—③，⑦— ⑤的弧成为容量大于零的弧，可分别标上它们的代 价值为-3，-3，-1，是①—③，③—⑤，⑤—⑦的相 反数。
转入步骤④，用原图中各条弧上发点与收点数
值减去修改后的图上各点的数值，将得到正负号
相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到
负的方向用箭头表示,这样就得到最大流量图。例
如原来弧(3,6) 是③ 7 0 ⑥，现在是③ 2 5 ⑥，
相减为±5，③那边为正，我们就记作③ 5⑥。
这样，就得到图10.3.9，即最大流量图。依这样的
第12页/共36页
通过第1次修改，得到图10.3.3。
图10.3.3
返回步骤①，进行第2次修改。
第13页/共36页
第2次修改： 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由
于 P c25，所3 以，将 改为2c12， 改为0，c25 改
为5，c5、7 、 改为c213。c5修2 改c后75 的图变为图
10.3.4。
最小费用最大流
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000 3.000000 0.000000 0.000000
结果说明，最小费用为12，此时，流值为3。
例6.8.6 用MATLAB软件求解例6.5.1。 解： MATLAB编程如下： f=zeros(7,1);f(1)=1;f(2)=1; g=-f; aeq=[1,0,-1,-1,0,0,0 0,1,0,1,-1,0,-1 0,0,1,0,1,-1,0]; beq=zeros(3,1);lb=zeros(7,1); ub=[2 1 6 3 2 4 3]';
( vi , v j )A
cij xij
（6.5.3）
n n X ij X ji 0 s.t. j 1 j 1 0 x w , (v , v ) A ij ij i j
§6.5.2 最小费用最大流问题的算法
寻求最大流的方法 最小 费用 最小费用最大流
运行结果如下：
z= 2.0000 1.0000 0.0000 2.0000 0.0000 0.0000 3.0000 favl1 = 12.0000
结果说明最大流值为3，最小费用为12。 可以看出，最小费用最大流问题其实就是在最 大流问题基础上，再进行一次线性规划问题的计算 得出。
例：求图中从vs vt的最小费用最大流。
解: 取 X (0) 0, 见图6.4.7（a）， 构造 D( X (0) ).
v2
(1, 2, 0)
(5,6,0)
v 4
(3, 4,0)
(2,3,0) (3,1, 0)
(1, 2, 0)
v1
v3 (1,3, 0)
运筹学最小费用最大流流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
5-5 最小费用最大流问题-xfj
v2
v3
(10, 0) ①流量调整量 总流量v(f 总流量v(f(1))=5
v2
v3
=min{8-0,5-0,7ε1=min{8-0,5-0,7-0}=5 ②最小费用增广链的费用 ∑bij=1+2+1=4 ③新的可行流为f(1),总费 新的可行流为f =4× 用b1=4×5=20
vs →v2 →v1 →vt
2、最小费用流 对于一个费用容量网络，具有相同 对于一个费用容量网络， 流量 v(f) 的可行流中，总费用b(f)最小的 的可行流中，总费用b(f)最小的 可行流称为该费用容量网络关于流量 v(f) 的最小费用流，简称流量为 v(f) 的最小 的最小费用流，简称流量为 费用流。 费用流。
3、增广链的费用 当沿着一条关于可行流 f 进行调整，得到新的可行流 f 进行调整， 称 b( f ) − b( f ) 的增广 ，则 链（流量修正路线）µ，以修正量 流量修正路线） ，以修正量ε=1 增广链µ的费用。 为增广链µ的费用。
v2
v3
即是f 的最小费用增广链。 即是f(1)的最小费用增广链
第3次迭代
-4 4
v1
-2 6
பைடு நூலகம்
-1
(10, 2)
v1
(7, 7) (2, 0)
vs
-1
1
vt
2 (8, 8)
vs
(5, 5)
vt
(4, 3)
v2
3
v3
①零流弧保持原边，非饱和非 零流弧保持原边， 零流弧增添后向弧， 零流弧增添后向弧，饱和弧去 掉原边增添后向弧 ②用列表法求得最短路
增广费用网络图的 增广费用网络图的构造方法 将流量网络中的每一条弧（ 将流量网络中的每一条弧（vi,vj）都看 作一对方向相反的弧，并定义弧的权数如 作一对方向相反的弧， 下： vi (cij,fij) c vj
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题例题讲解
最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow Problem）是一种在特定的多媒体网络中传送给定体积的流量，使总花费最小化的一种算法。
它能满足一些实际生活中的求解，比如电力系统的供求、工厂的物料的分配和两地之间的物品的运输问题，以及更加复杂的产品开发和行业分工中的分布问题等等。
最小费用最大流问题的目标是在满足给定的最大流量要求的前提下，找出具有最小成本的流量方案。
这种问题的解决步骤如下：
1. 在图形中定义网络：用图形表示整个网络，每条边的容量是边上的流量上限。
2. 尝试找出最大流量：在不超过容量限制的前提下，找出输出流量最大的允许方案，也就是最小费用最大流量。
3. 计算最小成本：对所有边的成本进行总结，计算出最小成本。
下面以一个最小费用最大流问题的例题来说明：
假设有一个三角形的网络，它由一个源点S、一个汇点T、一个中间点O以及三条边组成，边的名字分别是SO、OT、OS，它们的容量分别是10、15和5，费用分别是5、3和2。
要求我们在此条件下求解最小费用最大流问题。
解：首先，我们可以求出最大流量：在边SO的容量为10时，我们可以将费用最小的边OT累加，得到最大流量值为10+3=13。
接下来，计算最小费用：根据上述算法，所有边的费用应该都大于等于0，才能累加而得到最大流量。
也就是说，最小费用为
5+3+2=10。
最后，最小费用最大流问题的解为：最大流量13，最小成本10。
最小费用最大流问题.
vs
(
5,2)
(
(
2,6)
8,1)
V2 10,3)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV3
4,2)
第一轮：f 0为初始可行流，作相应的费用有向图网络L(f 0)，如 图（a）。 在L(f 0)上用DijksTra标号法求出由vs到vt的最短路（最小费用链） 0 m i n 8，5， 5 7 μ0=(vs,v2,v1, （ vt)v ，并对 μ 按 进行流量的调整， 0 ， v ） ，（ v ， v ） ，（ v ， v ） s 2 0 2 1 0 1 t 0 由于， (1) (1) 所以有 fs2 f12 f1t(1) 5，其余不变，得新的可行流f1的流量 有向图（b）。
vs
vt
2.下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价 表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网 络图并求数值解。 2 3 产量 1 产地 销地
A B 销量 20 30 4 24 22 5 5 20 6 8 7
最小总费用为240
(20,8) A (0,8) s (30,7) (0,7) (5,8) (24,8)
4
vt
vs
1
6
2
2
v1
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0)
v2
V(f
1)
(a) = 5
3
v3 vs
(8，5)
w(f0)
（5，5）
v2
(10,0)
v3
(b) f 1
v1 vs
(8，5)
(7,5)
（2，0）
（10，0）
vt
(4，0) 4
v1
vs
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(2, 3)
(-4,3) V2 V3 (4,3)
在赋权 图 W(f (3)) 上求出 最短路
求最小费用最大流算法
(4,2) (-4,2) Vs (-2, 5) (-1, 8) V1 (-1,7) (-1,5) (6, 0) Vt
(2, 3)
(-4,3) V2 V3 (4,3)
在初始 赋权图 W(f (0)) 上求出 最短路
(2, 4)
V2
(4,4)
V3
在最短 路上增 加流量 =1 得新的 流量 f (4) =11
求最小费用最大流算法
V1 (4,3) (1,7)
Vt
(2, 4) 5-1 (6, 0)
(2, 4)
(1, 8)
*注意 在负向 弧上减 去增量 值
V2
(4,4)
V3
求最小费用最大流算法
(4,2) (-4,2) Vs (-2, 5) (-1, 8) (6, 0) V1 (-1,7) Vt
上一次 的赋权 图
**依据新 流量在最 短路径上 对此重求 赋权值
(2, 3)
(-4,3) V2 V3 (4,3)
求最小费用最大流算法
bij (-1,7) (4,3) bij w ji 10 Vs (6, (2, 4) 0) 5 (1, 8)
b( f ) b( f )
'
b
ij
bij
此为增广链μ的费用. 最小费用最大流的求解
构造赋权有向图w(f), 定义:
wij w ji bij bij f ij cij f ij cij f ij 0 f ij 0
V1
(4,0)
(1, 0) 7-0
Vt
Vs
(2, 0) (6, 0) 5 - 0 最小 (2, 0)
(1, 0) 8-0
求 增 加 的 流 量
f (0)
V2
(4,0)
V3
求最小费用最大流算法
V1 (4,0) Vs (2, 5) (1, 5)
(1,5)
Vt
(6, 0)
(2, 0)
V2
*只对增广链
V2
(4,0)
V3
求最小费用最大流算法
(4,2) (-4,2) Vs (-2, 5) (-1, 5) (4,0) V3 (6, 0) V1 (-1,7) Vt
(2, 0)
新 赋 权 图 W(f (2))
*只对增广链
V2
求最小费用最大流算法
(4,2) (-4,2) Vs (-2, 5) (-1, 5) (4,0) V3 (6, 0) V1 (-1,7) Vt
Vs
V2
V3
依据新 的流量 构造又 一赋权 图 W(f (1))
*只对增广链
求最小费用最大流算法
V1 (1,5) Vt (2, 5) (-1, 5) 8 V2 (6, 0)
(4,0)
Vs
(2, 0)
赋 权 图 W(f (1)) 的构造
*只对增广链
(4,0)
V3
求最小费用最大流算法
V1 (4,0) Vs (2, 5) 5 (1,5)
5.最小费用最大流
定义: 对D=(V,A,C), 给定一个单位流量 的费用bij≥0, 最小费用最大流即:求一最大 流f, 使
min b( f )
ij ij ( vi , v j ) A
b
f
对增广链μ, 若调整流量θ=1, 那么新可行 流f’的费用比原可行流f的费用增加:
例：用MS-Excel求解网络最大流问题，请 单击问题求解
求最小费用最大流算法
V1
bij wij Vs (2, 0) bij w ji (1, 0)
(1, 0)
f ij cij
(4,0)
Vt
(6, 0)
f ij cij f ij 0 (2, 0) f ij 0
V2
(4,0)
V3
取初始 可行流 f (0) =0 构造赋 权图 W(f (0))
(4,0)
V3
在最短 路上增 加流量 =5 得到新 的流量 (1) f =5
求最小费用最大流算法
V1 (1,5) f ij cij bij wij f ij cij (4,0) Vt f ij 0 bij w ji 0) f ij 0 (2, 5) (6, (2, 0) (1, 5) 8 (4,0)
*只对增广链
求最小费用最大流算法
(4,2) (-4,2) Vs (-2, 5) (-1, 8) V1 (-1,7) (-1,5) (6, 0) Vt
(2, 3)
(-4,3) V2 V3 (4,3)
赋 权 图 W(f (3)) 的构造 *只对增广链
求最小费用最大流算法
(4,2) (-4,2) Vs (-2, 5) (-1, 8) V1 (-1,7) (-1,5) (6, 0) Vt
V1 (1,5)
(0) ij
min{ min (cij f
(4,0)
Vs
), min (f
(0) ij
Vt )}
( 0 )5) f(2, ij (1) (0) (1, 5) f ij f ij (0) f ij
(6, 0) (vi , v j ) (2, 0)
赋 Vt 权 f ij cij 图 f ij cij (2, 0) 的构造 f ij 0 (2) W( f ) f ij 0
V3
*只对增广链
V2
(4,0)
求最小费用最大流算法
(4,2) V1
(-1,7)
Vt
(-4,2)
Vs
(-2, 5)
(-1, 5)
(6, 0)
(2, 0)
赋 权 图 的构造 W(f (2))
Vs
(6, 0)
(2, 0)
在最短 路上增 加流量
V2
(4,0)
V3
求最小费用最大流算法
V1 (1,7) Vt (2, 5) (1, 5) (6, 0)
(4,2)
Vs
(2, 0)
V2
(4,0)
V3
=2 得到新 的流量 f (2)=7 新的流 量图如 图所示
求最小费用最大流算法
V1 (1,5) (-1,5) (-2, 5) (1, 5) (4,0) V3 (6, 0) Vt
f ij cij (2, 0) f ij cij f ij 0 f ij 0 V3
赋 权 图 的构造 W(f (2))
*只对增广链
求最小费用最大流算法
(4,2) (-4,2) Vs (-2, 5) (-1, 5) V1 (1,7) 7
bij wij (6, 0) bij w ji
V1 wij
f ij cij f ij cij Vt f ij 0 f ij 0
(2, 4)
4
V2
(4,4) 10
V3
依据新 的流量 构造又 一赋权 图 W(f (4))
(4,0)
Vs
(2, 0)
构造的 赋权 图 W(f (1))
*只对增广链
V2
求最小费用最大流算法
V1 (1,5) (-1,5) (-2, 5) (-1, 5) (4,0) V3 (6, 0) Vt
(4,0)
Vs
(2, 0)
在赋 权图 W(f (1)) 上求出 最短路
V2
求最小费用最大流算法
V1 (4,0) 10 - 0 (2, 5) (1, 5) 最小 (1,5) 7-5=2 Vt
( k 1) ij
(vi , v j ) (vi , v j ) (vi , v j )
求最小费用最大流算法
V1 Vt
Vs
V2
V3
初 始 网 络 数 值
求最小费用最大流算法
V1 (1, 7) Vt (2, 5) (1, 8) (6, 2)
(4,10)
Vs
(2, 4)
Vt
f ij cij (2, 0) f ij cij f ij 0 f ij 0 V3
对最短 路上求 新的权 值
求最小费用最大流算法
(4,2)
V1 (1,7) Vt Vs (-4,2)
(1, 5)
(-2, 5) (6, 0) b ij wij bij w ji (4,0) V2
求最小费用最大流算法
V1 (4,0) (-1,5) Vs (1,5) 7 Vt
(-1, 5) 8
(-2, 5) 5
(6, 0)
(2, 0)
赋 权 图 W(f (1)) 的构造
*只对增广链
V2
(4,0)
V3
求最小费用最大流算法
V1 (1,5) (-1,5) (-2, 5) (-1, 5) (4,0) V3 (6, 0) Vt
(6, 0)
(2, 3)
V2
(4,3)
在最短 路上增 加流量 =3 得到新 的流量 (3) f =10
求最小费用最大流算法
(4,2) (-4,2) Vs (-2, 5) (1, 8) 8 V2 V1 (-1,7) (-1,5) (6, 0)
Vt
(2, 3)
4 (4,3) 10 V3
依据新 的流量 构造又 一赋权 图 W(f (3))
bij Vt wij (6, 0) bij w ji (2, 0)