最大和最小费用流问题模型

最大流和最小费用流的作业

1.在下图中A 、B 为发点，分别有50和40单位物资往外发送，D 和E 是为收点，分别需要物资30和60单位，C 为中转站，各弧旁数字为（Cij ，Bij ），求满足上述收发量要求的最小费用流。

解：把问题转化为网络图：

(20,90) (50,40) ( 10,20 ) (30,20) (10,30)

(40,30) (80,10)

决策变量：设A 运到B 为L1, A 运到C 为L2， A 运到D 为L3，B 运到C 为L4， C 到E 为L5 D 到E 为L6， E 到D 为L7。 目标函数：

Min Z=L1×20+L2×40+L3×90+L4×30+L5×10+L6×30+L7×20 约束条件：

L1<=10,L2<=50,L3<=20,L4<=40,L5<=80,L6<=30,L7<=20

L1+L2+L3=50

L4=40+L1

L2+L4=L5

L3+L7=30

L5+L6=60

Li 为整数（i=1，2，3，4，5，6，7）；

A D

B E

C

结果如下：

解得L1=0 L2=40 L3=10 L4=40 L5=80 L6=0 L7=20

Min Z=4900

2、下图是描述一个水渠系统，其中R1，R2，R3,代表三个水库，A,B,C,D,E,F,代表水渠的交汇点，T 表示水渠终点的一个城市，水渠各段每日允许通过的最大流量（1000m 3）分别见表6-10和6-11.城市水资源管理部门希望制定一个方案，使每天输送到城市的水流量为最大，请将此问题归结为求最大流问题。

表6-10

到

从 A B C

R1 73 65 _

R2 40 50 60

R3 _ 80 70 R1 R2

R3 A D

B E T

C F

表6-11

到到

从 D E F 从T

A 60 45 _ D 120

B 70 55 45 E 190

C _ 70 90 F 130

解：

决策变量：

设：R1->A的流量为Ｋ１

R1->B的流量为Ｋ2，

R2->A的流量为Ｋ3，

R2->B的流量为Ｋ4，

R2->C的流量为Ｋ5，

R3->B的流量为Ｋ6，

R3->C的流量为Ｋ7，

A->D的流量为Ｋ8，

A->E的流量为Ｋ9，

B->D的流量为Ｋ10，

B->E的流量为Ｋ11，

B->F的流量为Ｋ12，

C->E的流量为Ｋ13，

C->F的流量为Ｋ14，

D->T的流量为Ｋ15，

E->T的流量为Ｋ16，

F->T的流量为Ｋ17。

目标函数：（=流入终点T的水流量）最大

Max Z= K15+K16+K17

约束条件：

1）每条弧上的实际流量不能超过其最大通过能力

Ｋ1<=73;Ｋ2<=65;Ｋ3<=40;Ｋ4<=50;Ｋ5<=60;Ｋ6<=80; Ｋ7<=70;Ｋ8<=60;Ｋ9<=45;Ｋ10<=70;Ｋ11<=55;

Ｋ12<=45;Ｋ13<=70;Ｋ14<=90;Ｋ15<=120;

Ｋ16<=190;Ｋ17<=130;

2）起点的流出量等于终点的流入量

K1+K2+K3+K4+K5+K6+K7= K15+K16+K17

3）非负约束：Ｋi>=0(i=1,2... ...16,17) fr1a+fr2a=fad+fae 4）中间结点的水流入量等于水流出量

Ｋ1+Ｋ3=Ｋ8+Ｋ9; 结点A

Ｋ2+Ｋ4+Ｋ6=Ｋ10+Ｋ11+Ｋ12; 结点B

Ｋ5+Ｋ7=Ｋ13+Ｋ14; 结点C

Ｋ8+Ｋ10=Ｋ15; 结点D

Ｋ9+Ｋ11+Ｋ13=Ｋ16; 结点E

Ｋ12+Ｋ14=Ｋ17; 结点F

解得：最大流为414 .