一元回归分析
一元回归分析(书本)
二、数学模型
设在试验中，因素A有r个水平A1 , , Ar , 水平Ai下的指标为随机变量X i～N ( i , )
其中
Lxx x nx
i 1 n 2 i
n
2
ˆL SS R 1 xy ˆL SS E Lyy 1 xy Lxy ˆ 1 Lxx
Lyy y ny
i 1 n 2 i
2
Lxy xi yi nx y
i 1
r 检验法 SS R 当ST固定时，SS E 越小，则SS R占的比重 越大， SST 回归效果越明显.由于 2 ˆ 2L L SS R xy 1 xx , SST Lyy Lxx Lyy 因此称r SS R SST Lxy Lxx Lyy 为x与y的相关系数，且 r 1.
当r 0时，y 与x 之间不存在相关关系； 0 r 1时，y 与x 之间存在一定相关关系，r 0时，正相关， r 0时，负相关; r 1时，SS R SST，y 与x 之间完全线性相关，存在确定的 相关关系.
t检验法 ˆ 1 1 t Lxx t (n 2) SS E / n 2 当H 0成立时， ˆ 1 t Lxx t (n 2) SS E / n 2 H 0的拒绝域 t t
2
三、回归效果的显著性检验
y1),( x2, y ), ,( x ,n y )n 2 ^ ^ ^ 用最小二乘法总是可以求出一条回归直线：y x
0 1
一般地，对测定出来的数据 ( x1,
但变量 X 与Y 是否真有线性相关的关系？ 这是需要作检验的。
F 检验（方差分析）
把 Y 的观测值的总离差平方和 分解成两部分：SS
一元线性回归分析
C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
13
为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
14
12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi
一元回归分析
一元回归分析
一元回归分析是统计学中一个重要的研究方法，是探讨一个或多个特征对一个变量的影响程度的有效工具。
即对一个变量（称为因变量）的变化，由另一变量（称为自变量）决定的这种关系强度的大小，分析方法就是一元回归分析。
回归的最基本形式是一元线性回归，也就是说，自变量和因变量之间的关系是一条直线。
一元回归分析中的最重要的因素是多元线性回归模型，也被称为最小二乘法。
其核心思想是寻找一条能够最好地拟合给定数据的直线，以评估每一条直线的拟合错误率为目标函数，通过最小二乘法求解最优化模型，来获得其参数估计值。
最后，一元回归分析也有诊断检验来测试模型的有效性。
诊断检验包括残差检验、正态性检验、相关性检验和自相关性检验等，这些检验可以帮助检查模型是否满足预先设定的假设，因此可以确定模型的可靠性。
从上面可以看出，一元回归分析是一种重要的统计学研究方法，它不仅可以用来研究一个或多个特征对因变量的影响程度，而且还可以通过诊断检验来测试模型的有效性。
因此，它应用广泛，可以为不同领域的研究者提供有价值的结果，如社会、医学、经济和心理等。
实际的应用中，除了研究因变量的影响，还可以使用回归分析来预测未来的值，同时可以采用回归模型来识别与所研究的变量关联的模式和关系。
此外，一般会使用协方差分析识别两个变量之间的关系，这可以使用线性回归模型来完成，即计算变量之间的协方差和相关系
数来评估两个变量之间的强弱程度。
总之，一元回归分析是一种有效的统计分析工具，其主要用途是研究一个或多个特征对一个变量的影响程度，进而识别出两个变量之间的关系，并利用诊断检验来测试模型的有效性，它的应用非常广泛，可用于社会、医学、经济和心理等许多领域。
一元回归分析
一元回归分析1. 简介回归分析是统计学中重要的分析方法之一，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，一元回归是指只涉及一个自变量和一个因变量的分析。
一元回归分析的目的是建立一个数学模型，描述自变量对因变量的影响关系，并通过拟合数据来确定模型的参数。
通过一元回归分析，我们可以研究自变量和因变量之间的线性关系，预测因变量的值，并进行因变量的控制。
2. 原理2.1 线性回归模型一元线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用以下方程来表示：Y = β0 + β1 * X + ε其中，Y 表示因变量，X 表示自变量，β0 和β1 分别表示模型的截距和斜率，ε 表示误差项。
2.2 最小二乘法拟合回归模型的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法通过计算观测值与回归线之间的垂直距离来确定参数值，使得这些距离的平方和最小化。
3. 回归分析步骤一元回归分析通常包括以下步骤：3.1 数据收集收集与研究问题相关的数据。
数据包括自变量和因变量的观测值。
3.2 模型设定根据问题和数据，选择适当的回归模型。
对于一元回归分析，选择一元线性回归模型。
3.3 模型估计利用最小二乘法估计模型的参数值。
最小二乘法将通过最小化残差平方和来确定参数值。
3.4 模型诊断对拟合的模型进行诊断，检查模型是否满足回归假设。
常见的诊断方法包括检查残差的正态分布性、检查残差与自变量的关系等。
3.5 结果解释解释模型的结果，包括参数估计值、模型拟合程度、因变量的预测等。
3.6 模型应用利用拟合的模型进行预测、推断或决策。
4. 注意事项在进行一元回归分析时，需要注意以下几点：•数据的收集应当尽可能准确和全面，以确保分析的可靠性；•模型的设定应当符合问题的实际情况，并选择合适的函数形式；•模型诊断是确定模型是否可靠的重要步骤，需要进行多种检验；•需要注意回归分析的局限性，不能因为有了一元回归模型就能解释所有的问题。
一元回归分析模型
一元回归分析模型一元回归分析模型是统计学中最常用的模型之一，它在一个给定数据集上进行单变量分析，以确定这个变量和某个受试变量（即因变量）之间的关系。
一元回归模型的基本概念是，它假定因变量可以从一个或多个自变量的和的函数中获得，因此，它假设自变量与因变量之间存在线性关系。
一元回归分析模型可以帮助我们弄清楚在数据集中包含的变量之间存在什么样的关系，特别是在通过线性函数计算因变量的值时。
通过检查线性关系，可以确定自变量对因变量的重要性，并为投资者提供有效的决策。
此外，回归模型也可用于预测未来的值，只要用户给出一组自变量的值，即可预测出因变量的值。
回归分析的步骤特别简单，只需执行以下步骤：-观察自变量与因变量之间的关系-收集有关自变量与因变量的数据-计算自变量的一元线性回归公式-对回归方程进行拟合-检查模型的准确度-使用模型来预测未来结果-将结果应用到复杂的数据集中一元回归分析有许多应用，尤其适合预测模型，其中自变量是单调的，因变量也是连续的变量。
它也可以用于研究多个自变量，但因变量仍然是连续的变量。
一元回归模型还用于探索分类变量之间的关系，该模型利用变量的差异而不是变量的平均值，因此可以得出有意义的结果。
然而，一元回归模型也有几个缺点，包括缺乏多元关系，假定关系是线性的，忽略多重共线性等问题。
此外，一元回归模型在预测未来结果方面会出现一定的误差，该误差通常取决于自变量和因变量之间的不一致性。
总而言之，一元回归分析模型是一个有用的统计分析模型，它可以帮助分析人员更好地理解数据集中变量之间的关系，从而更好地决策和预测未来结果。
虽然一元回归分析模型的缺点不可忽视，但其可靠性仍然是不容置疑的。
一元线性回归分析
模型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均 方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用 性。
参数估计方法
参数估计是确定回归模型中各个参数的取值的过程。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估 计法和贝叶斯估计法等，可以帮助我们找到最优的参数估计结果。
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性 回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它 可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模 型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满 足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们 发现模型的不足和改进方向。
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等 领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。
第9章 一元线性回归分析
9.1.2相关关系的类型
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关）
从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2
11
10.8 10.6 10.4 10.2 10
若在定距变量分布不满足正态性的条件，可将定距变 量降级为定序变量
如要研究考试中学生交卷的名次是否与成绩有关，
交卷名次与考试名次之间的关系
交卷名 次
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
考试成 绩
94 74 74 60 68 86 92 60 78 74
78
64
参阅《统计学在经济和管理中的应用》
2 i i 2 i i
__
^
__
^
2
总离差平方和
回归平方和
残差平方和
判定系数定义：
r
2
(Y Y ) (Y Y )
i i
^
2 2
判定系数的特点
判定系数是非负的统计量； 判定系数取值范围： 0 r 2 在一元线性回归中，判定系数在数值上是
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关
回归方程
描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程称为回归方程。
E( y) b0 b1 x
估计的回归方程
(estimated regression equation)
第15讲 一元线性回归分析
n
i 1
2
2 2 ˆ ˆ 2b yi y xi x b xi x i 1 i 1
i 1
n
i 1
n
ˆS /S ˆ b ˆ2 S S bS ˆ . b S yy 2bS xy xx xy xx yy xy
例2 求例1中误差方差的无偏估计。
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
即要检验假设 H0 : b 0, H1 : b 0, 若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点 （称为散点图），可以粗略看出 ( x)的形式。
基本思想
(x, Y)
回归分析 回归方程
采集样本信息 ( xi, yi )
散点图
回归方程参数估计、显著性检验
对现实进行预测与控制
一元回归分析:只有一个自变量的回归分析 多元回归分析:多于一个自变量的回归分析
x1 x2 x3
xi
xn
整理得 na ( xi )b yi ,
( xi )a ( xi )b xi yi .——正规方程组
2 i 1 i 1 i 1
n
i 1
n
i 1
n
na ( xi )b yi ,
i 1 i 1
n
n
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数据挖掘工作总结：首先确定数据集，数据的读取多种方式：Matlab:读取时用load test.textTextread():D=textread('D:\2012aMATLAB\R2012a\bin\shuju.txt');[a1,a2,a3,a4]=textread('test1.txt','%s%s%s%s','headerlines',4) 说明：%s可以是其他形式，跟读入的数据类型有关，比如这里也可以用%n,%f等。
这里%s的个数和[a1,a2,a3,a4]对应.C 语言读取时：使用StreamReader和StreamWriter 文件头：using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; using System.IO; StreamReader读取文件：StreamReader objReader = new StreamReader(文件路径); string sLine=""; ArrayList LineList = new ArrayList(); while (sLine != null) {sLine = objReader.ReadLine(); if (sLine != null&&!sLine.Equals("")) LineList.Add(sLine); } objReader.Close(); return LineList; StreamWriter写文件： FileStream fs = new FileStream(文件路径, FileMode.Create); StreamWriter sw = new StreamWriter(fs);通过数据集看用哪几种方法！将这些方法运用的环境是什么？检验变量之间的关系：用：回归分析、时间序列分析、方差分析、判别分析、联合分析、逻辑回归、结构方程模型、以及联列表和相和性分析用于发现数据之间可能关系的方法有：因子分析、聚类分析、多维排序、高维联列表和神经网络。
结构检验的方法：主要进行原因分析。
前提是知道其中的逻辑关系。
回归分析：描述一个因变量和另一个因变量或多个自变量之间的影响关系时间序列分析：描述和解释变量发展的趋势，对变量进行预测，估计未来某个时间段或时间点的值。
方差分析：如果自变量为名义测度，应变量是为基数测度可以使用方差分析。
研究一种产品的不同包装或产品的摆放位置对销量的影响。
判别分析：如果应变量为名义测度，并且自变量是为基数测度可以使用判别分析。
适用于信用评价逻辑回归：与判别分析非常相似的问题也可以用逻辑回归的方法进行研究。
如病人的心肌梗塞风险与他们的年龄以及胆固醇水平之间的关系。
联列表和相合性分析：例如检验吸烟（烟民和非烟民）与肺部疾病（是和否）之间统计的关系问题。
这个检验可以借助于联列表形式的数据进行。
联合分析：找出产品或其他对象的单个特征对对象总效用的贡献。
新产品设计为此方法的一个重要领域，例如不同的材料、形状、颜色或价格水平对效用评价的影响和贡献数值之间的关系非线性回归：估计任意模型结构。
在研究广告效应时，广告记忆与广告联系的数量相关，销量与广告支出的金额相关；对新产品增长率的研究也要用到非线性回归。
结构方程模型：检验多个因变量，多级因果关系和隐性变量之间的关系。
基于选择的联合分析：传统的联合分析可以利用哑变量得到估计值，而在基于选择的联合分析使用最大似然估计。
因子分析使变量压缩或捆绑，而聚类分析最求的对象捆绑。
其目的在于，将对象归于组（类）中，使一组中的对象尽可能相似，而组与组之间尽可能异常。
神经网络：主要用于对象的分类。
多维排序：主要用于定位分析。
在没有或大致了解哪些特征与主观评价对象（例如：产品品牌，企业和政治家）相关时，研究者尤其偏好于使用MDS多维排序一元线性回归function yyxxhgx=[];y=[];plot(x,y,'*')xlabel('职工工资总额')ylabel('商品零售总额')%计算最佳参数lxx=sum((x-mean(x)).^2);lxy=sum((x-mean(x)).*(y-mean(y)));b1=lxy/lxx;b0=mean(y)-b1*mean(x);%多项式拟合p=polyfit(x,y,n)[p,s]=ployfit(x,y,n)%多项式回归模型的预测及其置信区间y=ployval(p,x0);[Y,Delta]=polyconf(p,x0,s,alpha)拟合回归界面function nhhgjmx=[1,2,3,4,5,6,7,1,2,4,35,6];y=[2,3,4,6,2,4,3,9,6,8,43,1];polytool(x,y,3,0.05)非线性回归：function fxxhg%非线性拟合命令[beta,r,J]=nlinfit(x,y,'model',beta0);%利用inline定义范数model,方法如下：fun=inline('f(x)','参变量','x')%非线性回归预测命令为nlpredic,其调用格式为：ypred=nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J);一元回归：首先：（1）作散点图。
根据散点图拟合出相对应函数的曲线。
（2）建立直线回归方程。
估计出回归函数后，应该先检验决定系数的显著水平。
若未达到显著的检验结果，则必须否定整个回归方程。
接着，应该分别检验各回归系数，在逻辑上检验符号，在统计上检验显著水平。
直到检验求得的回归方程是否遵守线性回归模型的前提。
可能要从方程中剔除变量或选入新的变量。
直到满足前提。
（3）误差估计与可决系数。
（主要运用最小二乘的思想，找出真实值与估计值差值的平方，估计出系数。
）（4）回归方程关系显著性的F检验。
（5）回归关系显著的T检验。
（6）预测。
例如：X=[];Y=[];Plot(x,y,’*’)Xlabel(‘x()’);Ylabel(‘y()’);(2)N=size(x,1);[p,s]=polyfit(x,y,1);Y1=polyval(p,x);Hold onplot(x,y1);(3)TSS=sum((y-mean(y)).^2)RSS=sum((y1-mean(y)).^2)ESS=sum((y-y1).^2)R2=RSS/TSS;(4)F=(n-2)*RSS/ESSF1=finv(0.95,1,n-2)F2=finv(0.99,1,n-2)(5)T=p(2)/sqrt(ESS/(n-2))*sqrt(sum((x-mean(x)).^2)) T1=tinv(0.975,n-2);T2=tinv(0.995,n-2);(6)X1=[]; %测试数据Yc=polyval(p,x1)[y,delta]=polyconf(p,x1,s);I1=[y-delta,y+delta];%在程序中加入：Polytool(x,y)Bar(x,y-y1);Legend(‘残差’)H=lillietest(y-y1)%残差正态性检验例如：销量价格拜访次数支出2585.00 12.50 109.0 2000.001819.00 10.00 107.0 550.001647.00 9.95 99.0 100.001496.00 11.50 70.0 800.00921.00 12.00 81.0 1182.322278.00 10.00 102.0 1500.001810.00 8.00 110.0 800.001967.00 9.00 92.0 1200.001612.00 9.50 87.0 1100.001913.00 12.50 79.0 1300.002118.00 8.50 91.8 1550.001438.00 12.00 91.6 550.001834.00 9.50 91.4 1980.001869.00 9.00 91.3 1600.001574.00 7.00 91.1 500.002597.00 11.00 90.9 2000.002026.00 10.00 90.8 1680.002016.00 9.50 90.6 1700.001566.00 10.00 65.0 1400.002169.00 13.00 90.0 1800.001996.00 11.00 76.0 1600.002501.00 8.00 89.0 2000.002604.00 8.50 108.0 1800.00通过分析再到回归，再到线性，确定因变量，自变量的销售波动由这三个自变量解释，这对于此类市场研究而说明了F检验，在回归regression这行，先给出由回归模型解释的标准差（平方和），旁边是自由度和已解释的方差，F=23.864将此值与F分布表的值查出，算的实际F 与理论F比较大于，因而是高度显著，拒绝原假设。
在实际spss中上述犯错概率即实际F值的显著水平，在显著这列给出。
这里，改值为0.00，因而不存在是否接受的问题。
Coefficients aSpss程序中，在讲各自变量写入回归方程前，都要先检查其容许度。
若容许度低于0.0001的临界值，则自变量不能记入方程。
该临界值可有用户更改，不过，它不能预防共线性，只能保证回归分析的计算可行性。
得到结果销量=718.247-43.837*价格+0.483*支出+10.922*拜访次数多元回归基本步骤：（1）对问题进行直观分析，选择因变量与解释变量，做出因变量与各解释变量的散点图，决定设定多元线性回归模型的参数个数。
（2）输入因变量与自变量的观测数据（y,x）,调用命令为：[b,bint,r,rint,s]=regress(y,x,alpha)计算参数的估计。
（3）调用命令rcoplot(r,rint),分析数据的异常点情况。
（4）作显著性检验，若通过，则对模型作预测。
（5）对模型进一步研究，如残差的正态性检验，残差的异方差检验，残差的自相关性检验等。
多元回归建模命令多元回归建模命令为regeress,其调用格式有一下三种：b=regress(y,x),[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)第三种方式称为全参数方式。
其中输入参数：输入量Y表示模型中因变量的观测值（y1,y2,y3,…yn）的转置；x是一个nx(p+1)的矩阵，其中第一列元全部是数1，其余为x的向量，对于一元线性回归，取p=1即可，alpha为显著水品（默认值为0.05）输出参数：输出向量b为回归系数估计值，bint为回归系数的（1-alpha）置信区间；输出向量r 表示残差列向量，输出量rint为模型的残差的（1-alpha）的置信区间；输出量stats是用于检验回归模型的统计量，有4个分量值：第一个是R平方，其中R是相关系数；第二个是F统计量值；第三个是与统计量F对应的概率P，当P<alpha时拒绝H，即认为线性回归模型有意义；第四个是方差sigemad的无偏估计。