一元回归分析-1
一元回归及简单相关分析
2、基本概念 回归方程：Yˆ a称 b为XY对X的回归方程。
回归线：根据回归方程所画出的直线称为回归线。 回归系数：一元线性回归线的斜率称为回归系
数，表示自变量每改变一个单位，因 变量平均改变的单位数。
3、最优回归线的估计原理
最小二乘法(method of least square)原理：
条件平均数：在具有回归关系的两变量之间， 对于自变量X的任一可能的值xi，因变量Y 与之对应的分布的平均数μY·X=xi，称为自变 量X=xi时因变量Y的条件平均数。
二、 相关 (correlation)
相关：设有两个随机变量X和Y，对于任一随机 变量的每一个可能的值，另一个随机变量都 有一个确定的分布与之相对应，即在Y对X存 在回归关系的同时，X对Y也存在回归关系， 则称这两个随机变量间存在相关关系。
t5,0.05/2=2.571，|t| > t5,0.05/2，拒绝H0，即拒绝α = 100。
结论： a不是抽自α = 100的总体 。
三、两个回归方程的比较
对两个回归方程的b和a的差异显著性检验 之后，就能判断它们是否来自同一总体。 若来自同一总体，则可以将它们合并为一 个回归方程。
⑴ 检验MSe1和MSe2有无显著差异：
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115
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85
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103
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110
143
127
103
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128
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131
121
一元线性回归分析
C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
13
为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
14
12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi
一元回归分析
一元回归分析
一元回归分析是统计学中一个重要的研究方法，是探讨一个或多个特征对一个变量的影响程度的有效工具。
即对一个变量（称为因变量）的变化，由另一变量（称为自变量）决定的这种关系强度的大小，分析方法就是一元回归分析。
回归的最基本形式是一元线性回归，也就是说，自变量和因变量之间的关系是一条直线。
一元回归分析中的最重要的因素是多元线性回归模型，也被称为最小二乘法。
其核心思想是寻找一条能够最好地拟合给定数据的直线，以评估每一条直线的拟合错误率为目标函数，通过最小二乘法求解最优化模型，来获得其参数估计值。
最后，一元回归分析也有诊断检验来测试模型的有效性。
诊断检验包括残差检验、正态性检验、相关性检验和自相关性检验等，这些检验可以帮助检查模型是否满足预先设定的假设，因此可以确定模型的可靠性。
从上面可以看出，一元回归分析是一种重要的统计学研究方法，它不仅可以用来研究一个或多个特征对因变量的影响程度，而且还可以通过诊断检验来测试模型的有效性。
因此，它应用广泛，可以为不同领域的研究者提供有价值的结果，如社会、医学、经济和心理等。
实际的应用中，除了研究因变量的影响，还可以使用回归分析来预测未来的值，同时可以采用回归模型来识别与所研究的变量关联的模式和关系。
此外，一般会使用协方差分析识别两个变量之间的关系，这可以使用线性回归模型来完成，即计算变量之间的协方差和相关系
数来评估两个变量之间的强弱程度。
总之，一元回归分析是一种有效的统计分析工具，其主要用途是研究一个或多个特征对一个变量的影响程度，进而识别出两个变量之间的关系，并利用诊断检验来测试模型的有效性，它的应用非常广泛，可用于社会、医学、经济和心理等许多领域。
一元回归分析
一元回归分析1. 简介回归分析是统计学中重要的分析方法之一，用于研究变量之间的关系。
在回归分析中，一元回归是指只涉及一个自变量和一个因变量的分析。
一元回归分析的目的是建立一个数学模型，描述自变量对因变量的影响关系，并通过拟合数据来确定模型的参数。
通过一元回归分析，我们可以研究自变量和因变量之间的线性关系，预测因变量的值，并进行因变量的控制。
2. 原理2.1 线性回归模型一元线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，可以用以下方程来表示：Y = β0 + β1 * X + ε其中，Y 表示因变量，X 表示自变量，β0 和β1 分别表示模型的截距和斜率，ε 表示误差项。
2.2 最小二乘法拟合回归模型的常用方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法通过计算观测值与回归线之间的垂直距离来确定参数值，使得这些距离的平方和最小化。
3. 回归分析步骤一元回归分析通常包括以下步骤：3.1 数据收集收集与研究问题相关的数据。
数据包括自变量和因变量的观测值。
3.2 模型设定根据问题和数据，选择适当的回归模型。
对于一元回归分析，选择一元线性回归模型。
3.3 模型估计利用最小二乘法估计模型的参数值。
最小二乘法将通过最小化残差平方和来确定参数值。
3.4 模型诊断对拟合的模型进行诊断，检查模型是否满足回归假设。
常见的诊断方法包括检查残差的正态分布性、检查残差与自变量的关系等。
3.5 结果解释解释模型的结果，包括参数估计值、模型拟合程度、因变量的预测等。
3.6 模型应用利用拟合的模型进行预测、推断或决策。
4. 注意事项在进行一元回归分析时，需要注意以下几点：•数据的收集应当尽可能准确和全面，以确保分析的可靠性；•模型的设定应当符合问题的实际情况，并选择合适的函数形式；•模型诊断是确定模型是否可靠的重要步骤，需要进行多种检验；•需要注意回归分析的局限性，不能因为有了一元回归模型就能解释所有的问题。
一元线性回归分析的作用方法步骤
一元线性回归分析的作用方法步骤一元线性回归分析是一种用于探究两个变量之间线性关系的统计方法。
它的作用是根据给定的自变量和因变量数据，建立一个线性回归模型，以预测未来的因变量值或者对自变量进行解释。
以下是一元线性回归分析的方法步骤：1. 收集数据：收集自变量（x）和因变量（y）的数据。
确保数据具有代表性，容量足够大，并且是可靠的。
2. 绘制散点图：根据所收集的数据，绘制自变量（x）和因变量（y）的散点图，以查看它们之间的大致关系。
3. 计算相关系数：计算自变量（x）和因变量（y）的相关系数，以评估它们之间的线性相关性。
通常使用皮尔逊相关系数来进行衡量。
4. 建立模型：使用最小二乘法来建立一元线性回归模型。
该模型的方程可表示为y = β₀+ β₁x，其中β₀是截距，β₁是斜率。
最小二乘法通过最小化残差平方和来确定最佳拟合的直线。
5. 评估模型：评估回归模型的拟合程度。
可以使用多种统计指标，如可决系数（R²）和均方根误差（RMSE），来评估模型的精度和稳定性。
6. 预测和推断：使用建立的回归模型进行预测和推断。
可以利用模型来预测因变量的值，或者对自变量进行解释和推断。
7. 检验假设：对回归系数进行假设检验，以判断自变量对因变量是否具有统计上显著的影响。
常见的方法是计算回归系数的t值和p值，并根据显著性水平来确定是否拒绝或接受假设。
8. 验证和诊断：验证回归模型的有效性和适用性。
可以使用残差分析、正态概率图和残差图等方法来检查模型的假设前提和模型的良好性。
以上是一元线性回归分析的一般方法步骤。
实际分析中，可能会根据具体问题进行调整和扩展。
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
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ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第17页/共40页
一元回归分析
一元回归分析一元回归是统计学中的一种方法，它是在一组观察点之间进行变量间关系分析的有效方法。
这种分析方法运用统计学中的最小二乘法来选择一组观察变量和一个预测变量，并建立一个拟合变量之间的线性关系，以预测预测变量的值。
一元回归也可以称为“线性回归模型”，这是因为它假设观测变量和预测变量之间的关系是线性的。
一元回归分析的基本假设是一个观察变量和一个预测变量之间存在强烈的线性关系。
具体而言，一元回归假定观察变量可以在一定程度上解释预测变量的变化，即观察变量可以作为预测变量的预测因子。
因此，一元回归将使用统计学方法建立一个线性模型，以最大程度地说明观测变量和预测变量之间的关系。
一元回归分析有很多应用，包括了营销、金融、管理等领域。
在营销领域，一元回归可以帮助企业了解客户的偏好和行为，并采取有效的措施来满足客户的需求。
在金融领域，一元回归可以帮助投资者了解投资的风险和回报，并采取有效的策略来实现最佳收益。
在管理领域，一元回归可以帮助企业评估工人和设备的工作效率，并有效地进行资源调配。
一元回归分析的模型需要满足如下几个基本要求：(1)型需要包含一个观察变量和一个预测变量；(2)观察变量和预测变量之间必须存在线性关系；(3)观察变量和预测变量之间的关系不能有多重共线性；(4)观察变量和预测变量的数据必须具有正态分布特征；(5)观察变量和预测变量之间不能存在缺失值；(6)观察变量和预测变量之间不能存在异常值。
一元回归分析可以有效地分析观察变量和预测变量之间的关系，从而更有效地预测结果变量的值。
然而，鉴于基本假设的限制，它的应用范围是有限的，因此，在对变量进行回归分析之前，最好首先对数据属性进行充分的研究。
此外，它也不能有效地解释少量观察变量的变化，因此在多变量情况下，其他分析方法可能更有效。
总之，一元回归是一种有效的分析方法，它通过在一组观察变量和一个预测变量之间建立强有力的线性关系，可以有效地推断预测变量的值，并为企业提供重要的决策支持。
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似导致的均小 方 . 误差就越
y ˆi y ˆxxia ˆb ˆxi,
yi yˆi xi处的残差
n
n
Q e (yiy ˆi)2 (yi a ˆ b ˆx i)2
i 1
i 1
残差平方和
n
n
Q e(y i y ˆi)2[y i y b ˆ(x i x )2]
i 1
i 1
Syyb ˆSx.y
b, a的估计量为 n
根Y 据 1,Y2, ,Yn的独立性可度 得函 到数 联
n
L
i 1
1 2 π ex 2 p 1 2(y i a bi)x 2
( 1 2 π )n e x 2 p 1 2i n 1(y i a bi)2 x .
用最大似然估计知估参计数 a,未 b.
对于任意y1一 ,y2, 组 ,yn,样 观本 察的 值
Y a b x , ～ N ( 0 ,2 ).
对( 于 x 1 ,Y 1 ) ,( x 2 样 ,Y 2 ) , ,( x 本 n ,Y n )
Y i a bi xi, i～ N (0 , 2 )各 , i相互 .
于 Y i ～ N ( a 是 b i ,2 ) x , i 1 , 2 , , n .
i1
i1
n
n
n
正规方程组
(
i1
xi
)a
(
i1
xi2)b
i1
xiBiblioteka yinnn
xi
n
xi
i1 n
0,
x
2 i
( xi x)( yi y)
bˆ i1 n
,
(xi x)2
i 1
i1
i1
aˆybˆx,
其x 中 n 1i n 1xi,yn 1i n 1yi.
(x)abx
ˆ(x)a ˆbˆx Y关于x的经验回归函数
系b 数 的置信 1水 的 平 置 为 信区间为
bˆ t2(n2)
Sˆxx.
例,求 如 1中 例 b的置信 0.9的 水 5 置 平.信 为区
0 .482 3 .300 6 0 .9 00 3 (0 .4 05,0 8 .59 0)4 7 . 1
( x i x )Y i
bˆ
i1 n
, a ˆYb ˆx
(xi i1
x )2 其中 xn 1i n 1xi,Yn 1i n 1Y i.
n
n
记S YY (Yi Y)2, SxY (xi x)Y (i Y).
i1
i1
残差平Q 方 e的 和相应的统计量为 Q eS YY b ˆSx.Y
函数 L 为 ( 1 2 π )n e x 2 p 1 2i n 1(y i a bi)2 x
L取最大值等价于
n
Q(a,b) (yi abix)2
取最小值.
i1
Q
n
a
Q
b
2 (yi
i1 n
2 (yi
i1
abxi ) abxi )xi
0
0
n
n
na(xi )b yi
t ˆ Sxxt2(n2).
拒绝 H0:b0,认为回归效 . 果显著 接受 H0:b0,认为回归效.果不显 回归效果不显著的原因分析: (1)影响 Y取值,除 的x及随机误差外还 他不可忽略; 的因素 (2)E(Y)与x的关系不是线 ; 性的 (3)Y与x不存在关 . 系
6.系数b的置信区间 当回归效,果 对显 系 b作 著 数区 时间 . 估计
利用样Y本 关x 来 于 的估 回计 归 (x). 函数
求解步骤
1.推测回归函数的形式
方法一 根据专业知识或者经验公式确定; 方法二 作散点图观察. 例1 为研究某一化学反应过程中,温度 x(oC) 对产 品得率Y ( % )的影响, 测得数据如下 .
温度x(oC) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
yˆ aˆbˆx Y关于x的经验回归方程
回归方程 回归直线
由a ˆ于 yb ˆx, y ˆyb ˆ(xx),
回归直线通过散 几点 何图 中(的 x心 ,y).
n
记 Sxx (xi x)2,
i1
n
Syy (yi y)2,
i1
n
Sxy (xi x)(yi y),
i1
bˆ S xy , S xx
得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 用MATLAB画出散点图
x=100:10:190;y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; plot(x,y,'.r')
观察,散 (x)具 点 有 图 线 ab的 性 x 形 函 .
2.建立回归模型
(x)abx一元线性回归问题
假设 x的 对 每 于 一 Y ～ N 个 (ab值 , x2)a 有 ,, b,2都是不 x的依 未赖 .知于 参数
记 Y(ab)x 那 , 么
Yabx, ～N(0,2). a,b,2是不依x赖 的于 未知参 . 数
一元线性回归模型
x的线性函数 随机误差
3.未知参数a,b的估计
可以证 Qe2明 ～ 2 (n 2),
从E 而 (Q e 2 ) n 2 ,E (n Q e2 )2 .
2的无偏估计量为
ˆ2nQ e2n1 2SYYbˆSxY.
5.线性假设的显著性检验
Y a b x , ～ N ( 0 ,2 ).
检: 验 H 0 :b 假 0 , H 1 :b 设 0 .
b ˆ～ N (b,2Sx)x, (n 2 2)ˆ2 Q e 2～ 2(n2).
并b ˆ且 ,Qe相互,因 独此 立
当 H 0 为 bˆb ˆ b真 0 ,S 此 xx～ t t( n时 b ˆ ˆ时 2)S .x ～ x t( n 2 ),
并E 且 (b ˆ)bb0 ˆ,得 H 0的拒绝域为
问题的一般提法 对x的一组不完全x1相 , x2,同 ,x的 n,设 值
Y1,Y2,,Yn分别是 x1,在 x2,,xn处对 Y的独立 观察结 . 果
称 (x 1,Y 1)(,x 2,Y 2) ,,(x n,Y n)是一. 个 对应的样本值记为
(x1,y1),(x2,y2) , ,(xn,yn).
1n
aˆni1yi
(n 1i n1xi)bˆ.
4.未知参 2的数 估计
Y a b x , ～ N ( 0 ,2 ).
E { Y ( [ a b ) 2 } ] x E ( 2 ) D ( ) [ E ( ) 2 ] 2 .
2越,小 用回归 (x函 )a数 bx作Y 为 的近