第九章 回归分析(一元线性回归)(1)汇总
9-1(回归分析)-56页精选文档
回归系数的最小二乘估计
ˆ(X'X)1X'Y
2的估计
2
SSRes np
MSRes
(经验)回归方程
k
yˆx'ˆˆ0 ˆjxj j1
回归方程的拟合优度
决定系数
n
n
R2
SSR i1 yˆi
S ST
n
yi
y2 y2
yi yˆi2
1in1
yi y2
i1
i1
反映y的变化由x解释的比例,
回归直线与样本观测值的拟合优度,
1. 0= 37.187 表明，如果不作任何广告推广，则商品的
(周)销售额为 37.187(万元)。 ︿
2. 1= 1.209 表明，每增加 1 万元的广告投入，会导致
1.209 万元的销售收入的增加。 ︿
3. 1> 0 表明，广告投入于销售收入之间有一定的正比关
系.
2 多元线性回归模型
例:
本章主要内容
线性回归分析 曲线估计 二项Logistic回归
第1节 线性回归
基础知识回顾
一元线性回归 多元线性回归 残差分析 其他问题
1 一元线性回归
例1 x钢材中碳的含量, y 合金钢的强度 需了解y与x之间的关系
i
X(%)
Y(kg/mm2)
1
0.03
40.5
2
0.04
39.5
3
0.05
某公司为了了解营销手段对某一种 食品产品的销售量产生的影响，统 计了三年期间的周销售数据，见 SPSS数据文件 food.sav。
多元线性回归模型
y 0 1 x 1 2 x 2 ...k x .k ..
假设
第9章一元线性回归解读
也称为Pearson相关系数 (Pearson’s correlation coefficient)
2. 样本相关系数的计算公式
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
相关系数的性质
• 性质1：r 的取值范围是 [-1,1]
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？ 9.1.2 用散点图描述相关关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
怎样分析变量间的关系？
建立回归模型时，首先需要弄清楚变量之 间的关系。分析变量之间的关系需要解决 下面的问题
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体
2020-11-17
散点图
(销售收入和广告费用的散点图)
2020-11-17
9.1 变量间的关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
相关系数
(correlation coefficient)
1. 度量变量之间线性关系强度的一个统计量
– 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体
相关系数，记为
变量之间的关系？
2020-11-17
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？
函数有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完
y
全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量
•
的相关系数相等，即rxy= ryx
• 性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的
一元线性回归分析
模型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均 方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用 性。
参数估计方法
参数估计是确定回归模型中各个参数的取值的过程。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估 计法和贝叶斯估计法等，可以帮助我们找到最优的参数估计结果。
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性 回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它 可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模 型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满 足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们 发现模型的不足和改进方向。
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等 领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。
回归分析法概念及原理一（一元线性回归）
回归分析法概念及原理一（一元线性回归）2009-12-14 14:27最近，在学一门统计学，有点意思。
问题一点一点出现，又一点一点被慢慢解决，慢慢消化~~做为初学者，搞不清的地方还真多。
今天刚好又看了有关相关分析和回归分析的学习资料，感觉不错，闲来与大家分享分享。
一、一元回归分析法，是在考虑预测对象发展变化本质基础上，分析因变量随一个自变量变化而变化的关联形态，借助回归分析建立它们因果关系的回归方程式，描述它们之间的平均变化数量关系，据此进行预测或控制。
1、基本原理假设预测目标因变量为Y，影响它变化的一个自变量为X，因变量随自变量的增（减）方向的变化。
一元线性回归分析就是要依据一定数量的观察样本（Xi,Yi）i=1，2…，n，找出回归直线方程Y=a+bX (1)对应于每一个Xi，根据回归直线方程可以计算出一个因变量估计值Yi。
回归方程估计值Yi 与实际观察值Yj之间的误差记作e-i=Yi-Yi。
显然，n个误差的总和越小，说明回归拟合的直线越能反映两变量间的平均变化线性关系。
据此，回归分析要使拟合所得直线的平均平方离差达到最小，简称最小二乘法将求出的a和b代入式（1）就得到回归直线Y-i =a+bXI 。
那么，只要给定Xi-值，就可以用作因变量Y i的预测值。
2、变量间的关系确定性关系或函数关系：研究的是确定性现象非随机变量间的关系。
统计依赖关系或相关关系：研究的是非确定性现象随机变量间的关系。
几点注意：–不线性相关并不意味着不相关；–有相关关系并不意味着一定有因果关系；–相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的；回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分因变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。
总体回归函数：•给定解释变量X的某个确定值X i，与之统计相关的被解释变量Y的总体均值（期望值）可以表示为：上式说明了被解释变量Y平均地说随解释变量X变化的规律，一般称为总体回归函数或总体回归方程（population regression function，PRF）；对应的曲线称为总体回归曲线（population regression curve），它可以是线性的或非线性的。
第9章 一元线性回归分析
9.1.2相关关系的类型
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关）
从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2
11
10.8 10.6 10.4 10.2 10
若在定距变量分布不满足正态性的条件，可将定距变 量降级为定序变量
如要研究考试中学生交卷的名次是否与成绩有关，
交卷名次与考试名次之间的关系
交卷名 次
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
考试成 绩
94 74 74 60 68 86 92 60 78 74
78
64
参阅《统计学在经济和管理中的应用》
2 i i 2 i i
__
^
__
^
2
总离差平方和
回归平方和
残差平方和
判定系数定义：
r
2
(Y Y ) (Y Y )
i i
^
2 2
判定系数的特点
判定系数是非负的统计量； 判定系数取值范围： 0 r 2 在一元线性回归中，判定系数在数值上是
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关
回归方程
描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程称为回归方程。
E( y) b0 b1 x
估计的回归方程
(estimated regression equation)
第九章 回归分析
经济与管理学院
教学要求
• 一、教学重点 • 回归分析的基本假设；运用SPSS进行线性 回归分析 • 二、教学难点 • 回归分析的原理 • 三、教学方式 • 课堂教学＋实践环节 • 四、课时数 • 12学时
第一节 相关回归分析的基本概念
西藏大学 经济与管理学 院
一、基本概念 （一）现象间的依存关系 函数关系 相关关系
第九章
经济与管理学 院
这样的方程有意义吗？
第九章
第三节 一元回归方程的检验
一、方差的分解
西藏大学 经济与管理学 院
yi y yi i i y y y
第九章
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 200000 400000 600000 800000 1000000
第九章
（二）相关关系的种类
1、直线相关与曲线相关 见图1，图2 2、 单相关与复相关 （1）单相关（一元相关） （2）复相关（多元相关）
西藏大学 经济与管理学 院
农 作 物 产 量 f 气 温, 降 雨 量, 阳 光, 施 肥 量
3、正相关与负相关
第九章
经济与管理学 院
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000
第九章
二、回归分析的类别
一元回归 多元回归 线性回归 非线性回归
西藏大学 经济与管理学 院
回 归 分 析
第九章
三、一元线性回归方程的确定
西藏大学 经济与管理学 院
对于具有线性关系的两个变量，我们可以写成：
yi a b xi
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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2 .弄清楚一 个变量的变化对另一个变量有什么样的影响。
有时候，两个变量之间的关系恰好是直线关 系。
例如，当一条简单电路的电阻R保持不变 时，电流I的变化与电压V的变化就是直线关系，这 由欧姆定律I＝V／R便知。
变量之间的这种关系称为相关关系或称 为统计依赖关系。
对这种关系我们也期望用某种类型的数学方
程式来描述，并在某些限制下，用方程式通过一 些已知的变量之值去预测另一些变量之值。
如用施肥量的值x去预测亩产量y的值。
在这里，我们首先要区分两种主要类型的变 量。
一种变量相当于通常函数关系中的自变量， 对这样的变量能够赋予一个需要的值(如室内的温 度、施肥量)或者能够取到一个可观测但不能人
PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS
概率论 与数理统计
第九章 回归分析
• 一元线性回归 • 多元线性回归
一元线性回归
1 . 回归的含义 2 . 两个变量的直线关系 3 . 一元线性回归模型 4. 最小二乘估计及统计性质 5 . 回归方程的显著性检验和
因此，不能指望实际身高和体重之间存在唯 一的关系。
但可以注意到，随着身高观测值的增加，对
应体重观测值的平均值也在增加，这种对于给定 的身高观测值所得的体重观测平均值的轨迹称为 体重对于身高的回归曲线，记为y＝f(x).
身高对体重的回归曲 线也同样存在，记为x＝ g(y)．
假设这两条曲线均为 直线(一般情况下可能不是), 则这两条直线一般说来是 不相同的。如图所示的两 条直线。
假如不懂欧姆定律，由V的变化和I的观测 值，可凭经验获得这种关系：即当R固定时，观测 值I相对于V的变化可以得到一条过原点的近似直线 (如图)。
虽然他们是确切的直线关系， 但在测量过程中可能会出现误差， 因此描点作图时观测点也就不会恰 好落在一条直线上。
然而，在利用V来预测I的值时， 应该利用这条过原点的直线。
例如，前面所说的水稻亩产量y与施肥量x， 显然，x是预报变量而y是响应变量。
回归分析正是研究预报变量之变动对响
应变量之变动的影响程度，其目的在于根据
已知预报变量的变化来估计或预测响应变量 的变化情况。
“回归（regression）”名称的由
来：
回归名称的由来要归功于英国统计学F．高尔顿
（F．Galton：1822～1911），他把这种统计分析方法 应用于研究生物学的遗传问题，指出生物后代有回 复或回归到其上代原有特性的倾向。高尔顿和他的 学生、现代统计学的奠基者之一K．皮尔逊 （K．Pearson：1856～1936）在研究父母身高与其 子女身高的遗传问题时，在观察了1078对夫妇后，
现在，假设有了每个人身高的记录，但不知 道他们各自的体重，该如何将他们估计出来?
我们利用体重对身高的回归曲线，可以得到
各个给定身高所对应的体重平均观测值，人们就
用这个值去估计体重。
（b）有时，我们明明知道两个变量之间不是 直线关系，但若限制在某个范围内时仍作为直线 关系来处理，是很有实用价值的。
如图所示的响应关系：
以每对夫妇的平均身高作为x，取他们的一个成年儿 子的身高为y，将结果绘成散点图后发现成一条直线。
计算出回归方程为
yˆ 33.73 0.516x
子代的身高有向平均值靠拢的趋向，因此，他用 “回归”一词来描述子代身高与父代身高的这种关 系。 这种趋势说明父母平均身高x每增加一个单位，其 成年儿子的平均身高增加0.516个单位。该结果表明：
1.高个子父亲确实有生高个子儿子的趋势。 2.子代人的身高有回归到同龄人平均身高的趋势。 3.此例形象的说明了生物学物种的稳定性。
具体地说，回归的内容包括：
如何确定响应变量与预报变量之间的回归模 型；
如何根据样本观测数据估计并检验回归模型 及未知参数；
从众多的预报变量中，判断哪些变量对响应 变量的影响是显著的，哪些变量的影响是不显著 的；
回归系数的置信区间 6.预测与控制
1 . 回归的含义
在含有变量的系统中，考察一些变量对另 一些变量的作用是必要的。
它们之间可能存在一种简单的函数关系， 也可能存在一种非常复杂的函数关系。这是确 定性关系。
然而，更常见的是，有些变量之间的关系 是非确定性的关系，这种关系无法用一个精确 的数学式子来表示。
（a）有时，即使不考虑误差，某种关系也不 是精确的直线关系，不过这时考虑直线关系仍有 很大意义。
例如，假设要考虑某一地区成年男子的身高 (cm)和体重(kg)的关系时，描出点对(x，y)＝(身 高，体重)便得到图象。
注意对已知的身高，其 对应的体重观测点有一范 围，反之亦然。
这种量的变化，部分 地是由于测量误差引起的， 但主要还是由各人之间的 差异所引起的。
例如 1、合金的强度与合金中碳的含量有密
切的关系，但是不能由碳的含量精确知道这些合
金的强度，这是因为合金的强度还受到许多其它 因素及一些无法控制的随机因素的影响。
2、在气候、土质、水利、种子和栽培技术等
条件基本相同时，水稻亩产量y与施肥量x有密切 关系，但是施肥量相同，亩产量不一定相同.
3、某种日用品的销售量与当地人口有关，一 般人口越多销售量越大，但是人口与销售量之间 并无确定的数值对应关系。
响应关系
在0≤x≤10时，显然不是直线关系。 但如果只对o≤x≤5内的关系感兴趣，就可以看 作是直线关系。 当然这种关系不适合0≤x≤5以外的场合。这一 点在作预报时应值得注意，就是说，利用直线关 系对0≤x≤5以外的点作出的预报是不可靠的。预报 变量不止一个时，也有类似的情况值得注意.
为控制的值(如室外的温度)，这种变量称为自变量， 或称预报变量。
预报变量的变化能波及另一些变量(如水稻亩
产量)，这样的变量称为因变量，或称响应变量。
人们通常感兴趣的问题是预报变量的变化对 响应变量的取值有什么样的影响。
预报变量与响应变量之间的区别并无明显的 界线，往往与考虑的问题有关。然而，在实际问 题中，两种变量是容易区分的。