概率积分I=∫_0～+∞e～-x～2dx的几种计算方法

定积分计算方法总结

定积分计算方法总结定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积、曲线长度、质量、动量等问题。

本文将总结几种常见的定积分计算方法。

1.基本积分法：也称为不定积分法，是定积分的基础。

通过求导的逆过程，可以将一些简单的函数反求积分。

例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，都可以直接得到不定积分的表达式。

但对于复杂函数，基本积分法可能不适用。

2. 牛顿-莱布尼茨公式：也称为换元积分法。

该方法通过引入新的变量，将原积分转化为更简单的形式。

常见的换元变量有正弦函数、指数函数、幂函数等。

换元积分法的关键在于选择合适的换元变量，使得被积函数的形式变得更简单。

例如，对于∫sin(2x)dx，可以通过令u=2x进行换元，得到新的积分∫sin(u)du，再求解即可。

3. 分部积分法：也称为乘法积分法，是对乘积形式的积分进行处理的方法。

通过对乘积函数中的一个函数求导，另一个函数积分，可以将原积分转化为更简单的形式。

分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是可以求导或积分的函数。

该方法适用于许多复杂函数的积分计算，例如多项式函数与指数函数的积分。

4. 凑微分法：也称为凑常数法，是对积分式进行代换，使得被积函数的微分形式展开后更简单，从而进行积分的方法。

例如，对于∫x/(1+x^2)dx，可以通过令u=1+x^2进行代换，得到新的积分∫(1/u)du，再求解即可。

5. 变限积分法：该方法常用于计算曲线与坐标轴之间的面积。

当被积函数为连续函数时，可以通过使用反函数求解，将定积分转化为一系列不定积分的差值。

例如，对于求解曲线y=f(x)与x轴所围成的面积，可以将其表示为∫[a,b]f(x)dx=[F(x)]a^b，其中F(x)是f(x)的原函数。

通过求F(x)的反函数，可以将定积分简化为计算两个不定积分的差值。

6. 参数方程法：该方法适用于计算平面曲线围成的面积。

当曲线由参数方程给出时，可以通过将x或y表示为参数的函数，进而将面积转化为定积分的形式。

概率论中的微积分

概率论中的微积分在概率论与数理统计中，⽤到微积分的主要有以下部分⼀维连续随机变量的期望和⽅差⼀元不定积分概率密度函数导数联合分布⼆重积分偏导数偏积分下⾯列出⼀些上⾯所需的基本公式1. 导数表2. 多元函数偏导数和偏积分1. 对于函数z=f(x,y)的导数1. 求函数对x的导数，把y当作常数k，不参与导数运算2. 求函数对y的导数，把x当作常数k，不参与导数运算2. 求函数对y的导数，把x当作常数k，不参与导数运算2. 在求⼆维连续型随机变量f(x)和f(y)时1. 求f（x）：f(x)=∫f(x,y)dx ，把y当作常数，可以先把含有y的部分分离出来，放到积分左边2. 求f（y）：f(y)=∫f(x,y)dy ，把x当作常数，可以先把含有x的部分分离出来，放到积分左边3. 复合函数求导法则1. 什么是复合函数？1. 例：1. 如果t=3x，y=e t，此时的y就可以称作⼀个复合函数1. 要求y对x的导数，遵循三步第⼀：求y对t的导数：dy/dt=e^t第⼆：求t的x的导数：dt/dx=3第三：求y对x的导数：dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=3e 3x2. 如果t=x 2)，此时y可以写作y=sin(t)，y就是⼀个复合函数1. 如何求y对x的导数？1. 第⼀：y对t的导数：dy/dt=cos(t)2. 第⼆：t对x的导数：dt/dx=2x3. 第三：y对x的导数：dy/dx=cos(t)*2x=2xcos(x^2)2. 习题：1. 求y=sin(3x^2)的导数2. 求y=e 2)的导数3. 求y=tan(2x+1)的导数4. 求y=1/(x^2+1)的导数5. 求ln(sin(x)+x^2)的导数4.分部积分公式∫xe^xdx （90%会考这种的）答案：xe x+C5.⼆重积分⼆重积分计算的核⼼就是分清楚两层积分的逻辑关系，先算第⼀层再算第⼆层。

(3x)，那么y就可以写作y=e t=3e 2，y=sin(x (3x x-e求k:对f(x,y)⼆重积分答案：1/8。

概率分布的计算和应用

概率分布的计算和应用概率分布是统计学中的一个重要概念，它描述了随机变量在所有可能取值上的概率分布情况。

在实际应用中，我们经常需要计算和应用概率分布，以便进行数据分析和预测。

本文将介绍概率分布的计算方法和一些常见的应用。

一、离散型概率分布离散型概率分布描述的是随机变量的取值只能是有限个或可数个，而且每个取值的概率都可以明确确定的情况。

常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布。

1. 伯努利分布伯努利分布适用于只有两个可能结果的随机试验，比如投硬币的结果为正面或反面。

设随机变量X表示试验结果，X=1表示成功，X=0表示失败。

伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)其中，p为成功的概率，取值范围为0到1。

应用时，我们可以根据给定的p值计算出X取某个值的概率。

2. 二项分布二项分布适用于重复进行相同的独立试验，每次试验只有两个可能结果的情况。

常见的例子是抛硬币多次的结果，或者进行多次赌博的结果。

设随机变量X表示成功的次数，则X的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示独立试验的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)为组合数，表示n次试验中取k次成功的组合数。

通过计算二项分布的概率，我们可以得到在给定的条件下，成功次数为某个值的概率。

3. 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或者空间内随机事件发生的次数的情况。

常见的例子有单位时间内电话呼叫次数、单位空间内的汽车交通事故次数等。

设随机变量X表示单位时间或者空间内事件发生的次数，X的概率质量函数为：P(X=k) = (lambda^k * e^(-lambda)) / k!其中，lambda表示单位时间或者空间内事件的平均发生次数。

泊松分布的一大特点是，它对于小概率事件的模拟非常有效。

二、连续型概率分布连续型概率分布描述的是随机变量的取值可以是一个连续区间上的任意一个值。

概率积分

概率积分法李磊（中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州221116）摘要：概率积分法的得名是因为其所用的地表移动和变形预计公式中含有概率积分函数，这种方法最先由波兰学者李特威尼申（J.Litwiniszyn）于二十世纪五十年代引入岩层移动的研究，后由我国学者刘宝琛、廖国华等发展为概率积分法。

该方法在我国应用最为广泛，也受到了很多学者的研究，并提出了一系列修正模型以适应我国的地质采矿条件。

下面简要介绍概率积分法的基本原理以及其在开采沉陷预测方面的应用。

关键词：开采沉陷；概率积分法Probability integral methodLI Lei( School of Environment and Survey and Mapping, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)Abstract: the probability integral method is named because it is contained in the equation of surface movement and deformation are expected probability integral function, this method first by polish scholar (J.L itwiniszyn), to the research of strata movement in the 1950s, by Chinese scholars Bao-chen Liu, Liao Guohua after development for probability integral method. This method is the most widely applied in our country, have also been many scholars research, and put forward a series of correction model to adapt to the geological and mining conditions of our country. Following a brief introduction to the basic principle of probability integral method and its application in mining subsidence prediction.Key words: mining subsidence；probability integral method1基本原理及公式推导1．1随机介质理论概率积分法的理论基础是基于非连续的随机介质理论，所以又叫随机介质理论法。

概率公式大全(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】第一章随机事件和概率第七章参数估计单正态总体均值和方差的假设检验公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A AA A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃B A AB ⋃=n i in i iA A 11=== n i in i iA A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i kjinj i jini i ni i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P )()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()( 4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = pn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) Poisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x te x xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k kk p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(k X EX 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()lk Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x te x xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X = 10.随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k kk p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(k X EX 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()lk Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=【最新整理，下载后即可编辑】相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。

概率论中的积分计算

步骤概率积分函数积分l画出概率密度函数的取值图2按自变量分类标出积分范围3按积分范围内的积分变元分段区域积分4利用积分性质计算下面以例子来说明上述的积分计算步骤和方法首先看一重积分一维连续随机变量的问题涉及到的是一重积分一重积分较为简单但对整个积分方法的理解很关键
维普资讯
２
概率积分画出概率密度函数的取值图
函数积分按自变量分类
标出积分范围３４按积分范围内的积分变元分段（区域）积分利用积分性质计算
下面以例子来说明上述的积分计算步骤和方法，先看一重积分，维连续随机变量的问题首一涉及到的是一重积分，一重积分较为简单，但对整个积分方法的理解很关键。
文章编号：１７ — ７０（０７０ — ００ — ０６１４６２０）６０１６
关键词：概率论；积分
中图分类号：０１８文章标识码：Ａ７
概率论中涉及连续随机变量的问题几乎都要使用积分，因而积分计算在概率论中显得尤为重要，实际教学过程中，部分学生对如何进行积分计算无从下手，能正确地运用概率在大不论中的公式求解问题。文主要探讨概率论的积分计算，归纳的步骤简单、法实用，能本所方确提高学习者的积分技能，教师也大有帮助。对为了方便，概率论中的积分分为两类：率积分、数积分。率积分是指求事件概率将概函概使用的，求解相关问题，果为一个数值时的积分；或结函数积分是指求解问题时结果为一个函数的积分。率积分的情况有概率密度函数的正则性、取值在区间（概求区域）的概率、边际分求布、数学期望、差、函数的数学期望；数积分的情况主要有求分布函数、函数分布。求方求函求两类积分的步骤如表所示：步骤１

如何确定二维随机变量函数概率密度的卷积公式中的积分限(概率统计中公式的用法)

如何确定二维随机变量函数概率密度的卷积公式中的积分限二维随机变量函数的分布是概率论与数理统计中的重要内容，在历年考研试题中屡次出现，如何求解二维随机变量函数的概率密度也是教学中的一个难点。

处理此类问题通常有两种方法：“分布函数法”和“公式法”。

分布函数法在计算(,)(,)g x y z f x y d σ≤⎰⎰时，需要根据z 不同的取值范围确定二重积分的积分区域，分情况找出分布函数表达式，最后通过求导数得到(,)Z g X Y =的概率密度函数。

该法原理容易掌握，但计算过程相对复杂；而“公式法”则是利用已经推导出来的公式去求解(,)Z g X Y =的概率密度函数。

此法要求记住一般公式[1]：二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，(,)Z g X Y =是关于X 或Y 的严格单调函数，若z x ∂∂或z y ∂∂处处存在，则随机变量Z 的概率密度为()((,),)Z x f z f x y z y dy z +∞-∞∂=∂⎰ （1）或()(,(,))Z y f z f x y x z dx z+∞-∞∂=∂⎰ （2）如果(,)Z g X Y =关于X 是严格单调函数，我们从(,)z g x y =中解出x ，即(,)x y z ，利用公式（1）便可求Z 的概率密度；如果(,)Z g X Y =关于Y 是严格单调函数，我们从(,)z g x y =中解出y ，即(,)y x z ，利用公式（2）便可求Z 的概率密度。

实践表明，“公式法”过程相对简洁，但大部分学生对公式中积分限的确定模糊不清，甚至不知所措。

很多文献对公式的推导与记忆做了研究，但是公式记好了，如何计算积分是一个被忽略的问题。

所以如何确定公式中积分上下限是研究的核心问题。

下面以公式（2）为例来说明公式中积分上下限的确定。

第一步：由已知找到满足(,)0f x y ≠的区域{}00:(,)(,)D x y x y D ∈；第二步：由于(,)y y x z =，可画出区域{}10(,)(,(,))D x z x y x z D =∈；第三步：当1D 是一个Z 型区域：12()()c zd z x z ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则21()()(,(,)),()0,z z Z y f x y x z dx c z d f z zϕϕ⎧∂≤≤⎪=∂⎨⎪⎩⎰其他. （3）当1D 可划分为n 个小的Z 型区域时，则用公式（3）分别计算()Z f z 在自变量n 个不同的范围内的表达式。

13 概率的运算法则

k! k =1 k! 本题也可采用另一种解法: 本题也可采用另一种解法显然，一年内该地未发生地震} 显然，A = A0 = {一年内该地未发生地震一年内该地未发生地震
e−λ = e−λ (1 −1 + ∑
∞
λk
) = 1 − e−λ
则
P( A) = 1 − P( A) = 1 − P( A0 ) = 1 − e−λ
1.3
概率的运算法则
一、概率的加法公式二、条件概率与乘法公式
三、全概公式与贝叶斯公式
一、概率的加法公式
1、互斥事件的加法公式、
定理1 互斥事件的有限可加性互斥事件的有限可加性) 定理 (互斥事件的有限可加性两两互斥，设事件 A1 , A2 , L , An 两两互斥，则有
i =1 i =1 证取 A n + 1 = A n + 2 = L = Φ , 则 A1 , A 2 , L , A n , A n + 1 , L
注意到
3500 P( B) = , 5000
3000 P ( AB ) = 5000
(*)
从而有
3000 3000 / 5000 P ( AB ) P( A B) = = = 3500 3500 / 5000 P( B)
这个式子的含义是明显的，发生的条件下A 这个式子的含义是明显的，在B发生的条件下发生的条件下发生，当然A且发生发生，发生。发生，当然且B发生，即AB发生。但是，现在发发生但是，现在B发生成了前提条件，因此应该以B为整个样本空间为整个样本空间，生成了前提条件，因此应该以为整个样本空间，而排除B以外的样本点以外的样本点，而排除以外的样本点，即 ΩB = B. 3000 因此 P( A B) = . 3500 为我们在原样本空间Ω 而(*)式,为我们在原样本空间Ω下讨论P ( A B )的式为我们在原样本空间计算提供了方便。计算提供了方便。

关于x,y积分区间综合概率公式

关于x,y积分区间综合概率公式1. 一、积分区间与概率的基础概念。

- 在概率论中，如果随机变量X和Y有联合概率密度函数f(x,y)，那么概率P((X,Y)∈ D)（其中D是x - y平面上的一个区域）可以通过二重积分来计算，即P((X,Y)∈ D)=∬_Df(x,y)dxdy。

- 对于离散型随机变量，我们通常使用概率分布列来描述概率情况，但这里重点讨论连续型随机变量的积分区间相关概率。

2. 二、简单区域的概率计算示例。

- 例1：设X和Y的联合概率密度函数为f(x,y) = 2e^-(x + 2y),x>0,y>0，求P(X + Y<1)。

- 首先确定积分区域D，由X + Y<1（x>0,y>0）可得y <1 - x，所以积分区域D={(x,y)0。

- 然后计算概率：- P(X + Y<1)=∫_0^1∫_0^1 - x2e^-(x + 2y)dydx- 先对y积分：∫_0^1 - x2e^-(x + 2y)dy=<=ft[-e^-(x + 2y)]_0^1 - x=-e^-x - 2(1 - x)+e^-x- 再对x积分：∫_0^1( - e^-x - 2(1 - x)+e^-x)dx=∫_0^1( - e^x - 2+e^-x)dx=<=ft[-e^x - 2-e^-x]_0^1- 计算结果为1 - 2e^-1+e^-2。

3. 三、矩形区域的概率计算。

- 例2：设X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)=3x,0，求P(0。

- 这里积分区域D={(x,y)0。

- 计算概率：- P(0- 由于当x∈(0,(1)/(2))时，min(x,(1)/(4))在x∈(0,(1)/(4))时为x，在x∈[(1)/(4),(1)/(2))时为(1)/(4)。

- 所以P(0- 先计算∫_0^(1)/(4)∫_0^x3x dydx=∫_0^(1)/(4)3x· xdx=(1)/(64)- 再计算∫_(1)/(4)^(1)/(2)∫_0^(1)/(4)3x dydx=∫_(1)/(4)^(1)/(2)(3)/(4)xdx=(3)/(32)- 最终结果为(1)/(64)+(3)/(32)=(7)/(64)。

定积分常用的计算方法

定积分常用的计算方法一、牛顿莱布尼茨公式法。

1.1 这可是定积分计算的一个“王牌方法”呢。

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。

就像是找到了一把万能钥匙，能直接打开定积分计算的大门。

比如说，计算∫_1^2x^2dx，我们都知道x^2的一个原函数是(1)/(3)x^3，那根据牛顿莱布尼茨公式，就直接是(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)，简单又直接，真的是“得来全不费工夫”。

1.2 不过呢，这个方法的难点就在于要先找到原函数。

有些函数的原函数可不是那么好找的，就像捉迷藏一样，得费一番功夫。

像∫(sin x)/(x)dx这种，它的原函数就不能用初等函数表示出来，这时候牛顿莱布尼茨公式就有点“英雄无用武之地”了。

二、换元积分法。

2.1 这是个很巧妙的方法。

当被积函数比较复杂的时候，我们就可以通过换元，把复杂的函数变得简单一些。

比如说∫_0^1√(1 x^2)dx，我们令x = sin t，那么dx=cos tdt。

当x = 0时，t = 0；当x = 1时，t=(π)/(2)。

这样原积分就变成了∫_0^(π)/(2)cos^2tdt，是不是一下子就感觉简单多了呢？这就像是给一个难题来了个“偷梁换柱”，把不好解决的问题转化成好解决的。

2.2 但是换元的时候可得小心了，要注意换元后的积分上下限也要跟着变，就像穿衣服要配套一样。

要是忽略了这一点，那可就“差之毫厘，谬以千里”了。

2.3 而且换元也不是随便换的，要根据函数的特点来选择合适的换元方式。

这就需要我们多做练习，积累经验，就像学骑自行车，骑得多了自然就熟练了。

三、分部积分法。

3.1 分部积分法也很有用。

公式是∫_a^bu(x)dv(x)=u(x)v(x)mid_a^b-∫_a^bv(x)du(x)。