西南交通大学理论力学课件11

第11章
※ ※ ※ 引
达朗伯原理(动静法)
言
惯性力 达朗伯原理
※
※ ※
刚体惯性力系的简化
动绕定轴转动刚体的轴承动反力 结论与讨论 Nhomakorabea引
言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运
动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。
达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问
m1 a1
FN2 Fg2 F2 m2 Fgi
F1 , F2 , , Fi , , Fn
质点系的约束力系
Fi
FN1
mi
FNi
ai
FN1 , FN 2 , , FNi , , FNn
质点系的惯性力系
a2
Fg1 , Fg 2 ,, Fgi ,, Fgn
对质点系应用达朗伯原理，得到
Fi FNi Fgi 0 M O ( Fi ) M O ( FNi ) M O ( Fgi ) 0
惯性力系的主矢
FgR＝ Fgi＝ (－mi ai )＝－maC
i i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积， 方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。
惯性力系的主矩－惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
1、刚体作平动
m2 Fg1 FgR Fgn mn m1 a1
Fg2
a2
m aC an
FgR＝－maC
M gC＝0
刚体平移时，惯性力系简化为 通过刚体质心的合力。
2、刚体绕定轴转动(具有质量对称面) 向转轴简化
aC ai
Fgn i
n aC
C O
a
n i
mi
C
Fgi

O
n FgR
FgR

MgO

非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx Fgx 0 Fy FNy Fgy 0 Fz FNz Fgz 0
飞球调速器的主轴O1y1以匀角 速度ω转动。试求调速器两臂的张角α。 设重锤C的质量为m1，飞球A，B的质量 各为m2，各杆长均为l，杆重可以忽略 不计。
作用在质点上的主动力和约束力 与假想施加在质点上的惯性力，形 式上组成平衡力系。
s
F —— 主动力；
FN —— 约束力； Fg—— 质点的惯性力。
达朗伯原理(动静法)
应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法
F + FN ＋ Fg＝0
Fg ＝－ ma
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。
A

dFg
均质薄圆环，圆心固定。 已知：m ，R， 。 求：轮缘横截面的张力。 解： 取上半部分轮缘为研究对象
O
例题4
R
m Fgi Rd R 2 2R

y
Fgi
Y 0 Fgi sin 2 FT 0
1 m FT R 2 sin d 2 0 2 mR 2 2
O
FT
d

x
FT
§11.3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。
Fgi＝－miai
对于平面问题(或者可以简化为平面问题)， 刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间任意力系。
例题1
O1
A
x1

B

C
y1
解：以小球为研究的质点。质点作匀速圆 周运动，只有法向加速度，在质点上 除作用有重力mg和绳拉力F外，再加 上法向惯性力F*，如图所示。
F * man m v l sin
2
O θ l
F b n mg 解得： t F*
根据达朗伯原理，这三力在形 式上组成平衡力系，即
MA 0
m 2 1 Fg x sin dx ml 2 sin 0 l 2
l
A
FAx
x
B
Fg
2 l FT l cos Fg l cos mg sin 0 3 2

A
dFg
1 1 2 FT ml sin mg tan 3 2 1 1 2 FAx ml sin mg tan 6 2 FAy mg
已知：AB杆的质量为m ，长 为l，绕AC轴的角速度为。 求：BC 绳的张力及A处的约束反力。
例题3
FT
B
解： 取AB杆为研究对象 分析AB杆的运动，计算惯性力 m dFg 2 x sin dx l

C FAy

mg
X 0 FAx Fg FT 0 Y 0 FAy mg 0
m 2 1 Fg x sin dx ml 2 sin 0 l 2
l
FT
B

C FAy

mg
A
FAx
x
B
Fg
X 0 FAx Fg FT 0 Y 0 FAy mg 0
MA 0 2 l FT l cos Fg l cos mg sin 0 3 2
Fg ma
质点惯性力的大小等于质点与其加速度的乘积，方向与加速 度的方向相反，它不作用于质点本身而作用于施力物体上。
§11.2 达朗伯原理(动静法)
一. 质点达朗伯原理 z
m A 根据牛顿定律
F
FN
ma ＝ F + FN
ma
Fg O x
F + FN － ma ＝0
y
Fg ＝－ ma
F + FN ＋ Fg ＝0 非自由质点的达朗伯原理
F mg F * 0
取上式在自然轴上的投影式，有：
F
b
0,
F cos mg 0
mg F 19.6 N cos
v Fl sin 2 2.1 m s－1 m
Fn 0,
F sin F * 0
二. 质点系的达朗伯原理
F1
Fg1
质点系的主动力系
题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求
解动约束反力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求 解动应力。
工 程 实 际 问 题
§11.1 惯性力
v m r O O FT mg m

an m
FT
n
是小球 给绳子的 反力，即 是惯性力
力FT就是通常所说的向心力。小球 将给绳子以反作用力 FT ,反作用力 FT 就 是小球的惯性力，通常所说的离心力。