高考数学 玩转压轴题 专题3_2 动点轨迹成曲线 坐标关系是关键
高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)精编版
轨迹方程的经典求法一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．例2：在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =u u u r u u u r·，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：由题知(2)PA x y =---u u u r ，，(3)PB x y =--u u u r ，，由2PA PB x =u u u r u u u r·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选D ．三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3：已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =u u u r ，1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r．（1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，，由1()2AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r知E 为BD 中点，易知(222)D x y -，．又2AD =u u u r，则22(222)(2)4x y -++=． 即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠； （2）设1122()()M x y N x y ，，，，中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-，直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切，2211k k =+∴，解得3k =±． 将3y =±(2)x +代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630a x a x a a -++-=，2120222(3)x x a x a +==--∴， 又由题意知045x =-，即2242(3)5a a =-，解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来 例4：已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使其满足4OP OP '=u u u r u u u u r ·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta =+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2. 设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y x D.14922=-x y二、填空题3. △ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.4. 高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5. 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6. 双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7. 已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222by a x =1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案配套训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|,∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5y x y x +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x ax y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2，即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =m n m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =n m n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0). |F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
高三数学轨迹问题2
高三数学第一轮复习讲义（54）轨迹问题（2）一．复习目标： 1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）；2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法．二．知识要点：1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程． 2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．三．课前预习：1．已知椭圆1162522=+y x 的右焦点为F ，Q 、P 分别为椭圆上和椭圆外一点，且点Q 分FP 的比为2:1，则点P 的轨迹方程为 （ C ） ()A 14875)6(22=+-y x ()B 14875)6(22=++y x ()C 1144225)6(22=++y x ()D 11444225)32(22=++y x2．设动点P 在直线01=-x 上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是 （ B ）()A ()B 两条平行直线 ()C 抛物线 ()D 双曲线3．已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是 （ B ）()A 圆 ()B 抛物线 ()C 椭圆 ()D 双曲线4．双曲线22143x y -=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是22(2)(2)143y x ---= 5．倾斜角为4π的直线交椭圆1422=+y x 于B A ,两点，则线段AB 中点的轨迹方程是40(||x y x +=< 四．例题分析：例1．动圆22:(1)1C x y -+=，过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．解：（一）直接法：设OQ 为过O 的任一条弦(,)P x y 是其中点，则CP OQ ⊥，则0CP OQ ⋅= ∴ (1,)(,)0x y x y -=，即2211()(01)24x y x -+=<≤（二）定义法：∵090OPC ∠=，动点P 在以1(,0)2M 为圆心，OC 为直径的圆上， ∴所求点的轨迹方程为2211()(01)24x y x -+=<≤ （三）参数法：设动弦PQ 的方程为y kx =，由22(1)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩ 得： 22(1)20k x x +-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 的中点为(,)x y ，则：122121x x x k +==+，21k y kx k ==+ 消去k 得2211()(01)24x y x -+=<≤小结：例2．求过点(1,2)A ，离心率为12，且以x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程． 解：设椭圆下方的焦点00(,)F x y，椭圆的下方的顶点为||1AF =，即点F 的轨迹方程是2200(1)(2)1x y -+-=， 又00,2x x y y ==，∴点的P 轨迹方程为223(1)(2)12x y -+-=． 例3．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.（1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解. 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是 ① ②).44,4()2,2()(21222121kk k y y x x ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤ ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以 .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0） 也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x五．课后作业： 班级 学号 姓名1．抛物线x y 42=经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）()A 12-=x y ()B )1(22-=x y ()C 212-=x y ()D 122-=x y 2．已知椭圆22194x y +=的左、右顶点分别为1A 和2A ，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为1P 和2P ，其中1P 的纵坐标为正数，则直线11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程 （ ）()A 22194x y += ()B 22194y x += ()C 22194x y -= ()D 22194y x -= 3．已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=的顶点为A ，那么当m 变化时，此抛物线焦点F 的轨迹方程是___________________________．4．自椭圆221204x y +=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程为5．已知椭圆15922=+y x 的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，则点M 的轨迹方程为 ．6．如图， 7．设,x y R ∈,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(5)a x i y j =++ (5)b x i y j =-+，||||8a b -=，求点(,)M x y 的轨迹C 的方程．7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关各点均在同一平面上）8．设双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为e ，右准线l 与两条渐近线交于,P Q 两点，右焦点为F ，且PQF ∆为等边三角形．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若双曲线C 被直线y ax b =+截得的弦长为22b e a ，求双曲线C 的方程；（3）设双曲线C 经过点(1,0)，以F 为左焦点，l 为左准线的椭圆，其短轴的端点为B ，求BF 中点的轨迹方程．。
2023年高考数学轨迹问题的9种方法答案和解析
1.（北京市中国科学院附属实验学校 2020-2021 学年高二期中）已知坐标平面上点 M ( x, y ) 与
两个定点 M1 (26,1) ， M 2 (2,1) 的距离之比等于 5．
（1）求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为 C ，过点 A(2,3) 的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8，求直线 l 的
（
）
A．直线
B．圆
C．抛物线的一部分
D．椭圆
知识点二：直接法求轨迹
可以直接列出等量关系式
（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的
距离公式、直线斜率公式等。）
（2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
简化为：设点----列式---化简----去掉“多点”或者补上“少点”
（2，0）。求过点 A 且和◎B 相切的动圆圆心 P 的轨迹。
2
2.（天津市第三中学 2020-2021 学年高二上学期）已知圆 M : x 2 y 2 2 y 7 0 和点
N 0,1 ，动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 P 的轨迹为曲线 E.
（1）求曲线 E 的方程；
5
（3）在（2）的条件下，若过点 , 0 的直线 m 与曲线 W 有两个交点，求直线 m 的斜率
2
的取值范围.
知识点六：参交轨法
交轨法；轨迹交点法。
1. 动点满足第一个条件。求出对应的含参方程。用参数 t 表示。
f（x，y，t）0
=
2. 动点满足第二个条件。求出对应的含参方程。用同一参数 t 表示。
（1）求曲线 C 的方程；
（2）已知 A(2, 0) ，过点 F 的动直线 l 与曲线 C 交于 B ， D 两点，记 AOB 和 △AOD 的面积
动点轨迹成曲线,坐标关系是关键-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(2019版)(原卷版)
专题2 动点轨迹成曲线，坐标关系是关键 【题型综述】1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：（1）直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点P(x ，y)；③列式,列出动点P 所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2.解轨迹问题注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 【典例指引】 类型一 代点法求轨迹方程例1 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。
证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
【解析】 类型二 定义法求轨迹方程 例2.【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】 类型三 参数法求轨迹方程例3[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【解析】类型四 直译法求轨迹方程例4. 已知动圆C 过点()1,0Q ，且在y 轴上截得的弦长为2.（Ⅰ）求圆心C 的轨迹方程；（Ⅱ）过点()1,0Q 的直线l 交轨迹C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，证明：2211QA QB +为定值，并求出这个定值.【解析】点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 【扩展链接】1.若一个圆1C 内含于另一个圆2C ，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；2.在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。
高三数学(专题三 动点的轨迹问题)
点，求Q 点的轨迹方程，并指出该轨迹的名称.解：设直线OP 的斜率为)(R k k ∈，则点P 的坐标为OP l k ⊥,2,2）（.得l 的方程：0=+ky x ，因为直线m 过A 、P 两点，所以方程)1(2-=x k y 即022=--k y kx .),(y x Q 是l 、m 的交点，所以),(y x Q 满足方程组⎩⎨⎧=--=+0220k y kx ky x ，消去k 得：)1(02222≠=-+x x y x ，即)1(12)21(422≠=+-x y x 可化方程）（）（1121)21()22(2222≠=-+x x y ，故轨迹是中心在)0,21(，长半轴长为22，短半轴长为21，焦点在21=x 直线上的椭圆且去掉)0,1(.例4、如图，已知直角坐标平面上点)0,2(Q 和圆122=+y x ，动点M 到圆O 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解： 设动点),(y x M ，则M点到圆的切线长2222)2(.1y x MQ y x MN +-=-+=于是由题意得：2222)1(1y x y x +-=-+λ,整理得014)1(4)1(22222=++-+--λλλλy x x . 当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线； 当）（01>≠λλ时，方程为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x ，表示一个圆例5、设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足【课堂小练】1、已知定点)0,6(A ，B 是曲线1)1(22=-+y x 上的动点，延长BA 到P ，使AB PA =，求动点P 的轨迹方程. 解：设),(y x P ，有条件知点A 为PB 的中点，所以点),12(y x B --，将点B 坐标代人已知曲线方程，得：1)1()12(22=--+-y x .即1)1()12(22=++-y x2、已知△ABC 中，三边a 、b 、c 满足2,=>>b a b c ，且a 、b 、c 成等差数列，求顶点B 的轨迹方程. 解：以边AC 的中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，得)0,1(),0,1(C A -.由42==+b c a .知AC BC BA >=+4.则由椭圆定义知点B 的轨迹方程为)20(13422<<=+x y x 3、如图，给出定点)0)(0,(>a a A 和直线l ：1-=x ，B 是直线l 上动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.解：依题意，记))(,1(R b b B ∈-，则直线OA 和OB 的方程为0=y 和bx y -= 设点),(y x C ，则有a x <≤0，由OC 平分AOB ∠，则点C 到OA 、OB 的距离相等，根据点到线的距离公式得21bbx y y ++=（1） 依题设点C 在直线AB 上，故有)(1a x a b y -+-=，由于0≠-a x 得ax ya b -+-=)1( （2） 将（2）代人（1）得：0,)()1()()1(122222≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++y a x xy a y a x y a y 则222222)1()1)((2)()1()(x a x a a x a x y a a x +++---=++-，又因01≠+a ，整理得：0),0(0)1(2)1(22=<<=++--y a x y a ax x a ，则0=b .)0,0(C 满足上式.① 当1≠a ，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x ≤≤=-+---（3） 当10<<a ，方程（3）表示椭圆弧段；当1>a ，方程（3）表示双曲线一支弧度.② 当1=a ，轨迹方程化为)10(2<≤=x x y （4），此时方程（4）表示抛物线弧段.【课后练习】1、设抛物线经过定点)2,0(A 且以x 轴为准线，求抛物线顶点M 的轨迹方程.解：设),(y x M ，则焦点)2,(y x F由AO AF = 得2)22()(22=-+-y o x ，整理得：1)1(422=-+y x . （除)0,0( 点外） 2、如图，设1A 、2A 为双曲线12222=-by a x 的两顶点，21P P 是垂直于实轴的弦，求11P A 与22P A 的交点P 的轨迹方程.解：设垂直于实轴的弦的端点分别为),(),,(002001y x P y x P -， 其中)(220222a x ab y -= ① 则直线11P A ：)(00a x ax y y ++=； ② ②直线22P A ：)(0a x x a y y --=； ③ ③设11P A 与22P A 的交点),(y x P ，②×③得：)(2222202a x ax y y ---=，将①代人并化简得：12222=+b y a x . 3、已知，动椭圆的一个焦点为)0,3(1F ，长轴长为6，且恒过原点，求动椭圆中心的轨迹方程. 解：设椭圆中心),(y x P ，另一焦点),(002y x F由中点公式x x =+230，则y y x x =+-=2,3200，则y y 20=，得)2,32(2y x F - 因621=+OF OF ,则6)2()32(322=+-+y x .整理得：0()23()23(222≠=+-x y x ,且)3≠x .4、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的角平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.解：设),(y x Q ，再设),(11y x P ，则12121=+y x①Q 分PA 的比为21==OA PO QA PQ ，则211021,21122111+⨯+=+⨯+=y y x x ， 得：y y x x 23,12311=-=，代人①得点Q 的轨迹为圆，方程为94)32(22=+-y x .5、已知椭圆C 的方程为1222=+y x ，点),(b a P 的坐标满足1222≤+b a ，过点P 的直线交椭圆于A 、B 两点，点。
(完整版)高中数学动点轨迹问题专题讲解
动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．(212y x =)8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．(4kx =（28k y >）)9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． （2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． （2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！ 解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ． （I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,2x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（3y x =±） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=） 提示：()221212||10()10AB x x y y =⇒-+-=，又1133y x =-，2233y x =， 则12213()3y y x x +=-，21123()3y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在） 14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知2||2PF d =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围． 解：（I ）依题意有：lxyCGFOPM2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >或1k 2<，且k≠0．∴k 的取值范围是113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； （3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题312 综合求证多变换几何结合代数算
【题型综述】综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引】类型一 证明分点问题例1 【2017北京，理18】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点..直线ON 的方程为22y y x x，点B 的坐标为2112(,)y y x x .故A 为线段BM 的中点. 类型二 几何证明问题例2. 【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向 （ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形（ii ）由24x y =得'y =2x，∴1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即，令0=y ，得，∴1(,x FM =，而11(,1)FA x y =-，于是FA ⋅21x FM =-，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠是钝角.，故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形. 类型三 等式证明例3【2015高考上海，理21】已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明 （2）设1l 与2l 的斜率之积为，求面积S 的值. 类型四 长度关系证明例4.【2016高考四川】已知椭圆EE 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D【扩展链接】1.圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．2.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;【同步训练】1．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3．（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【思路点拨】（1）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（2）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB 与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB+K BN=0，可得∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．2.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．【思路点拨】（1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．（2）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．3.在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．记动点p的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，求证：直线DB平行于x轴．【思路点拨】（1）利用动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．列出关系式，即可求曲线C的轨迹方程；（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，设A的坐标为（），求出OM的方程为y=x（y0≠0），推出点D的纵坐标然后求出直线AF的方程，求出点B 的纵坐标，判断直线DB平行于x轴．即可得到结果．4.在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D，直线OD 的斜率为1，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【思路点拨】（1）根据椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得x1+x2=y1+y2，利用点差法求得直线l的斜率，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k1•k2为定值．设直线l的方程y=﹣x+t，，整理得：3x2﹣4tx+4t2﹣12=0，则x1+x2=，x1x2=，则k1•k2==，===，∴k1•k2为定值．5.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．【思路点拨】（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程．（2）设Q（x1，y1），则，从而y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），由PQ过F，得，，进而=（），=（），由此能证明向量与共线．假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．6.已知动点A，B在椭圆+=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P（﹣1，0）．（1）证明线段AB的中点M在定直线上；（2）求线段AB长度的最大值．【思路点拨】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M（﹣2，0），在直线y=0，当AB与x轴不垂直时，利用平方差法推出，说明M在直线x=﹣2上．（2）当AB与x轴垂直时，，当AB与x轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可．，∴x1+x2=﹣4，，…（8分）∴=（11分）∴．…（12分）7.已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为2，离心率为；抛物线G：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．（1）求椭圆E及抛物线G的方程；（2）证明：存在实数λ，使得+为常数，并求λ的值．【思路点拨】（1）由2a=2，根据椭圆的离心率公式即可求得c的值，代入，b2=a2﹣c2=1，求得椭圆方程，由=c，求得c的值，求得抛物线方程；（2）设直线l的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨AB丨及丨CD丨，由+=为常数，则须有20+λ=4，即可求得λ的值．8.已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M．（1）当P点在圆周上运动时，求点M （x，y）的轨迹C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．【思路点拨】（1）求出圆N的圆心坐标为N（，0），半径为，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ|，利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程．（2）当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，得消去y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过，求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为x=m，验证求解即可．由韦达定理得：．…（8分）∴．∵，∴x1x2+y1y2=0，即，…（9分）整理得m2=2k2+2满足①式，∴，即原点到直线l为的距离是，∴直线l与圆x2+y2=2相切．…（10分）当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C交点为A（m，），B（m，）∵，∴．此时直线为x=，显然也与圆x2+y2=2相切．…（11分）综上，直线l与定圆E：x2+y2=2相切．…（12分）9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|=3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，直线TS与TR的斜率之和为定值．【思路点拨】（1）由题意可知：a=2c，=3，且a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k TR+k TS=0，即可证明直线TS与TR的斜率之和为定值．由R，S两点的直线y=k（x﹣1），故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），则=，由2x1x2﹣5（x1+x2）+8=2×﹣5×+8=0，∴k TR+k TS=0，∴直线TS与TR的斜率之和为0，综上所述，直线TS与TR的斜率之和为为定值，定值为0．10.已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．【思路点拨】（1）设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，椭圆E的方程可化为，通过求解椭圆E上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．（2）直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）．直线l2：y=﹣k（x﹣1）+1．联立消去y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．11.椭圆C：过其右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ， B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点.【思路点拨】(1)由题意可得21a b ==，，则椭圆C (2)由题意可得()35S k ，，则以线段ST12.已知点()11,A x y ， ()22,(D x y 其中12)x x <是曲线()240y x y =≥上的两点， A ， D 两点在x 轴上的射影分别为点B ， C ，且（1）当点B 的坐标为()1,0时，求直线AD 的斜率；（2）记OAD ∆的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：【思路点拨】(1)； (2) 设直线AD 的方程为y kx m =+.联立直线与抛物线的方程，可，。
2025届高考数学复习：压轴好题专项(圆锥曲线中的定点问题)练习(附答案)
2025届高考数学复习：压轴好题专项(圆锥曲线中的定点问题)练习1．（2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考）在一张纸上有一个圆C ：(224x y ++=，定点)M，折叠纸片使圆C 上某一点1M 好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线1M C 的交点为T ．(1)求证：TC TM -为定值，并求出点T 的轨迹C '方程；(2)设()1,0A -，M 为曲线C '上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2114k k =-，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．2．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2．圆O （O 为坐标原点）在椭圆C 的内部，．P ，Q 分别为椭圆C和圆O 上的动点，且P ，Q 两点的最小距离为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．3（2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试）点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，离心率e =(1)求双曲线C 的方程；(2),A B 是双曲线C 上的两个动点（异于点P ），12,k k 分别表示直线,PA PB 的斜率，满足1232k k =，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 4．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，||4FM =，120OFM ∠=︒．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点()0,2Q x 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线,QA QB ，分别交C 于A ，B 两点（异于Q 点）．证明：直线AB 恒过定点．5．（2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 6．（2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考）设直线x m =与双曲线22:(0)3-=>y C x m m 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB(1)求m 的值；(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为M '，F 为C 的右焦点，若M '，F ，N 三点共线，证明：直线l 经过x 轴上的一个定点．7．（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PBPF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．8．（2023届山西省高三上学期第一次摸底）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2． (1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅=，证明：直线PQ 过定点．9．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知(2,0),,D E F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且0,DE DF DG EF ⋅=⊥于G ，证明：存在定点H ，使||GH 为定值.10．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． (1)求p 的值；(2)是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．11．（2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试）设F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当2BF FA =时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使QA QBk k 为定值（其中QA k ，QB k 分别为直线QA ，QB 的斜率）？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【例12】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =． （1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．13.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. 14．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a 、b 为正常数．．)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．（1）设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1ꞏk 2的值；（2）若AMPQ ＝12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，2AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：QAF QBFS S ⋅△△为定值.参考答案1．（2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考）在一张纸上有一个圆C：(224x y ++=，定点)M，折叠纸片使圆C 上某一点1M 好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线1M C 的交点为T ．(1)求证：TC TM -为定值，并求出点T 的轨迹C '方程；(2)设()1,0A -，M 为曲线C '上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2114k k =-，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．【过程详解】（1）由题意得1TM TM =，所以12TC TM TC TM CM -=-=<=，即T 的轨迹是以C ，M 为焦点，实轴长为2的双曲线，即C '：2214y x -=；（2）由已知得AM l ：()11y k x =+，AN l ：()21y k x =+，联立直线方程与双曲线方程()()12222211121424014y k x k x k x k y x ⎧=+⎪⇒----=⎨-=⎪⎩， 由韦达定理得212144A M k x x k --=-，所以212144M k x k +=-，即()1121814M Mk y k x k =+=-， 所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭， 联立直线方程与圆方程()()2222222222112101y k x k x k x k x y ⎧=+⇒+++-=⎨+=⎩， 由韦达定理得222211A N k x x k -=+，所以222211Nk x k -+=+，即()2222211N N k y k x k =+=+， 因为14ANAM k k =-，即2114k k =-，所以2112211168,1616k k N k k ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 若直线MN 所过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点(),0T t ，由三点共线得MT NT k k =，即()()1122222211111122112211884164416161416416k k k k k k t k k t t k k t t k k --+=⇒++-=-++⇒=+-+---+， 所以直线MN 过定点()1,0T ．2．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2．圆O （O 为坐标原点）在椭圆C 的内部，半径为3．P ，Q 分别为椭圆C和圆O 上的动点，且P ，Q两点的最小距离为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【过程详解】（1）设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，由圆的性质，||||PQ PO ≥当点P 在椭圆上运动时，当P 处于上下顶点时||PO最小，故||||33PQ PO b ≥-≥-，即133-=-b依题意得2221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩11a b c ⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上， 所以直线AB 与圆O 相切.（i ）当直线AB 垂直于x轴时，不妨设33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,33B -⎝⎭， 此时0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .（ii ）当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .因为AB 与圆O 相切，所以O 到直线AB3=， 即223220m k --=.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=， 所以2121222422,2121km m x x x x k k --+==++， ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()2222222412121m km k km m k k ⎛⎫--⎛⎫=+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22222122(4)2121k mkm km m k k +-+-++=+222322021mk k --==+，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O . 综上，以AB 为直径的圆过点O .3（2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试）点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上，离心率2e =. (1)求双曲线C 的方程；(2),A B 是双曲线C 上的两个动点（异于点P ），12,k k 分别表示直线,PA PB 的斜率，满足1232k k =，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 【过程详解】（1）由题意点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上，离心率e =可得；221691a b⎧-=⎪=，解出，2,a b == 所以，双曲线C 的方程是22143x y -=（2）①当直线AB 的斜率不存在时，则可设()()00,,,A n y B n y -，代入22143x y -=，得220334y n =-，则221222003123393444(4)(4)2n y y k k n n y n n -----=⋅===----，即2948480n n -+=，解得43n =或4n =， 当4n =时，03y =±，,A B 其中一个与点()4,3P 重合，不合题意； 当43n =时，直线AB 的方程为43x =，它与双曲线C 不相交，故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程y kx m =+代入22143x y -=， 整理得，()2223484120k x kmx m ----=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k ++==---， 由()()22222Δ(8)4344120,34km kmm k =----->∴+>，所以()()()221212121212121212123(3)33334444416k x x k m x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +-++---+-+-=⋅=⋅=-----++ 32=所以，()()()221212232612212300k x x km k x x m m -+-+++--=，即()()2222241282326122123003434m km k km k m m k k ---⋅+-+⋅+--=--, 整理得()2231661690m k m k +-+-=，即()()343430m k m k +++-=， 所以3430m k ++=或430m k +-=， 若3430m k ++=，则433k m +=-，直线AB 化为413y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，过定点4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；若430m k +-=，则43m k =-+，直线AB 化为()43y k x =-+，它过点()4,3P ，舍去综上，直线AB 恒过定点4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭4．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，||4FM =，120OFM ∠=︒．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点()0,2Q x 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线,QA QB ，分别交C 于A ，B 两点（异于Q 点）．证明：直线AB 恒过定点． 【过程详解】（1）由||4,120FM OFM =∠=︒，可得2,2p M ⎛+± ⎝，代入2:122242p C p p p ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．解得2p =或6p =-（舍）， 所以抛物线的方程为：24y x =．（2）由题意可得(1,2)Q ，直线AB 的斜率不为0， 设直线AB 的方程为x my n =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，从而216160m n ∆=+>， 则121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩． 所以()21212242x x m y y n m n +=++=+，()()()22212121212x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=， ∵QA QB ⊥ ， ∴()()()()121211220QA QB x x y y ⋅=--+--=uu r uur，故()()121212121240x x x x y y y y -+++-++=， 整理得2246850n m n m ---+=．即22(3)4(1)n m -=+， 从而32(1)n m -=+或32(1)n m -=-+， 即25n m =+或21n m =-+．若21n m =-+，则21(2)1x my n my m m y =+=-+=-+，过定点(1,2)，与Q 点重合，不符合； 若25n m =+，则25(2)5x my n my m m y =+=++=++，过定点(5,2)-． 综上，直线AB 过异于Q 点的定点(5,2)-．5．（2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【过程详解】（1）由右顶点是M （2，0），得a ＝2，又离心率12ce a==，所以1c =， 所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在．直线l 的方程为()4y k x =-，联立方程组()224,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，由0∆>，得1122k -<<， 所以21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+．因为点()22,D x y -，所以直线AD 的方程为()()1211124y y y x x k x x x +=-+--． 又()12128y y k x x +=+-， 所以直线AD 的方程可化为()()()()()1121212212121842443kx x x k x x x ky x x x x x x x k +---=++---+， 即()()()()()()()2222121212424241434343k k ky x x x x k x x k x x k =-=--+-+-+， 所以直线AD 恒过点（1，0）．（方法二）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4x my =+， 联立方程组224,3412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=， 由0∆>，得2m >或2m <-，所以1222434m y y m +=-+，1223634y y m =+． 因为点()22,D x y -，则直线AD 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-． 又()12121244x x my my m y y -=+--=-， 所以直线AD 的方程可化为()()()()()()()()12121121121121212144y y y y my y m y y y y y x my y x m y y m y y m y y -++++-+=--+=-+---()()()()()()12121222121212424134my y y y y y x x m y y m y y m y y +++=-+=---+-， 此时直线AD 恒过点（1,0），当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为y ＝0，也过点（1，0）． 综上，直线AD 恒过点（1，0）．6．（2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考）设直线x m =与双曲线22:(0)3-=>y C x m m 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB(1)求m 的值；(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为M '，F 为C 的右焦点，若M '，F ，N 三点共线，证明：直线l 经过x 轴上的一个定点．【过程详解】（1）双曲线22:(0)3-=>y C x m m的渐近线方程为y =，则不妨令点(),(,)A m B m ，||AB =，而点O 到直线AB 的距离为m ，因此212OAB S m =⋅⋅== ，解得1m =， 所以1m =．（2）由（1）知，双曲线C 的方程为22:13y C x -=，右焦点(2,0)F ，因直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 与x 轴交于点(,0)t ，直线l 的方程为()(0)y k x t k =-≠，设()()1122,,,M x y N x y ，则()11,M x y '-，由22()13y k x t y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()()222223230k xtk x k t -+-+=，显然有230k -≠且()()()22222Δ24330tk k k t =+-+>，化简得23k ≠且()22130t k -+>，则22212122223,33tk k t x x x x k k ++=-=---，1122(2,),(2,)FM x y FN x y '=--=-， 而M '，F ，N 三点共线，即//FM FN '，则()()122122y x y x --=-，因此()()()()122122k x t x k x t x ---=--，又0k ≠，有()()()()1221220x t x x t x --+--=， 整理得()12122(2)40x x t x x t -+++=，于是得22222322((2)()4033k t tk t t k k +⋅--+-+=--，化简得12t =， 即直线l ：1()2y k x =-，0k ≠过定点1(,0)2，所以直线l 经过x 轴上的一个定点1(,0)2．7．（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【过程详解】（1）由线段RS22b a=又2c a =，所以22212a b a -=，解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩ 所以C 的标准方程为2212x y +=．（2）由PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭， 可知PF 平分APB ∠，∴0PA PB k k +=．设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A my t y +，()22,B my t y +， 由2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩得()2222220m y mty t +++-=， ()22820m t ∆=-+>，即222m t >-，∴12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，∴1212022PA PB y y k k my t my t +=+=+-+-，∴()()1212220my y t y y +-+=，∴()()222220m t t mt ---⋅=，整理得()410m t -=，∴当1t =时，上式恒为0， 即直线l 恒过定点()1,0Q ．8．（2023届山西省高三上学期第一次摸底）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2． (1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅=，证明：直线PQ 过定点．【过程详解】（1）由题设1c =，又12||2F F c =，112||||AF A F a ==， 若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，所以112()222r a c c b ⨯+=⨯⨯，即()r a c bc +=，222(2)4c r b r +-=，而222a b c =+，即24a rb =，综上，22()4a a c b c +=，即222(1)444a a b a +==-，可得2a =，所以24a =，23b =，则22:143x y C +=.（2）当直线斜率都存在时，令DE 为1x ky =-，联立22:143x y C +=，整理得：22(34)690k y ky +--=，且2144(1)0k ∆=+>， 所以2634D E k y y k +=+，则28()234D E D E x x k y y k +=+-=-+，故2243,33)44(kk k P -++， 由0DE MN ⋅= ，即DE MN ⊥，故MN 为1y x k =--，联立22:143x y C +=，所以2236(4)90y y k k ++-=，有2634M N k y y k +=-+，则228234M N M N y y k x x kk ++=--=-+，故22243,(3434k kQ k k +--+， 所以274(1)PQ k k k =-，则PQ 为222374()344(1)34k k y x k k k -=++-+，整理得2(74)4(1)k x k y +=-， 所以PQ 过定点4(,0)7-；当一条直线斜率不存在时,P Q 对应1,O F ，故PQ 即为x 轴，也过定点4(,0)7-；综上，直线PQ 过定点．9．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知(2,0),,D E F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且0,DE DF DG EF ⋅=⊥于G ，证明：存在定点H ，使||GH 为定值.【过程详解】（1）因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线， 设双曲线C 的标准方程为224x y λ-= 代入点A 坐标，解得4λ=所以双曲线C 的标准方程为2214x y -=（2）（i ）当直线EF 斜率存在时，设:EF y kx m =+，设()()1122,,E x y F x y ，联立y kx m =+与双曲线2214xy -=，化简得()()222418410k x kmx m -+++=，()()222Δ(8)444410km m k =-+->，即22410k m --<， 则有12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩， 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因为()()1212220DE DF x x y y ⋅=--+=，所以()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-⋅+++=，所以()()2222244812404141m kmk km m k k +-+⋅+-⋅++=--，化简，得22316200m km k ++=，即()()31020m k m k ++=， 所以12102,3m k m k =-=-， 且均满足22410k m --<，当12m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾， 当2103m k =-时，直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点10,03⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-， 与双曲线C 方程联立解得103E F x x ==，此时EF 也过点10,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上，直线EF 过定点10,03M ⎛⎫⎪⎝⎭.由于DG EF ⊥，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点8,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使GH 为定值23.10．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．(1)求p 的值；(2)是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【过程详解】（1）因为(),0,0,22p F P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且点A 恰好为线段PF 中点，所以,14p A ⎛⎫⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，所以2124pp =⋅，即22p =，解得P = （2）设(),T m n ，可知直线l 斜率存在；设l ：2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程得：22y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，所以220y k -+=，所以1212y y y y +==又：()()()1212)(TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--()()22121244y m y m y n y n ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝()()222222*********y y m y y m n y y n -++-++=2222484m m n k k k k k ⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭22244m m n k k++++=-，令4040m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得：4m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩)4T，此时2218TA TB m n ⋅=+=11．（2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试）设F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当2BF FA =时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使QA QBk k 为定值（其中QA k ，QB k 分别为直线QA ，QB 的斜率）？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【过程详解】（1）设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，得()222210m y my ++-=，又因为2BF FA = ，所以1221222122122m y y m y y m y y ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得227m =，12228m y m ==+，所以18FA == ，即8FA = . （2）假设在x 轴上存在异于点F 的定点()(),01Q t t ≠，使得QA QBk k 为定值.设直线AB 的方程为1x my =+，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222210m y my ++-=，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，所以12122y y my y +=. 所以()()()()11212122121211QA QBy k y x t y my t x t y k y x t y my t x t⋅-+--===⋅-+--1211211212212212(1)22(1)(32)(1)22(1)(32)my y t y my y t y t y y my y t y my y t y y t y +-+--+===+-+-+-.要使QA QBk k 为定值，则321132t t-=-， 解得2t =或1t =（舍去），此时1QA QBk k =-.故在x 轴上存在异于F 的定点()2,0Q ，使得QA QBk k 为定值.【例12】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =． （1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系，再根据1MA MB k k ⋅=求解.【过程详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线：2p x =-，于是得0522p pMF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =， 所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-， 因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅=⋅=⋅=--++--， 化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-， 所以直线l 过定点()0,4-.13.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.【过程详解】（1）根据题意，由对称性得12PF F △为等腰直角三角形，且1290F PF ︒∠=，因为12PF F △的面积等于2，所以12F F =c = 因为椭圆C，即e a==，解得a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：2213x y +=.（2）由（1）得(P ，设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠，()()1122,,,A x y B x y ， 因为点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上，所以直线PB 与直线PA 的斜率互为相反数，即0PB PA k k +=，因为12AP BP k k ==12120y y x x +=，整理得2112((0x y x y +=又因为1122,kx m y kx m y =+=+，所以(()121220kx x m x x ++=，由2233y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 得222(31)6330,k x kmx m +++-= 所以0∆>，即2231m k <+，2121222633,,3131km m x x x x k k -+=-=++所以2223362((03131m mkk m k k -⋅+⋅-=++，整理得22(33)6(0,k m mk m ⋅--= 由于0k ≠，故解方程得2m =， 此时直线l的方程为2y kx =+，过定点⎛ ⎝⎭ 所以直线l恒过定点⎛ ⎝⎭. 14．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a 、b 为正常数．．)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．（1）设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1ꞏk 2的值；（2）若AMPQ ＝12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．【过程详解】（1）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 因为P 、Q 在双曲线上，所以212x a －212y b ＝1，222x a －222y b＝1，两式作差得12122()()x x x x a +-－12122()()y y y y b +-＝0，即01222()x x x a -＝01222()y y y b-， 即012012()()y y y x x x --＝22b a，即k 1ꞏk 2＝22b a；（2）因为AMPQ ＝12，所以 APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形，即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝t ，代入22x a －22y b＝1得，y ＝±由|t －a |＝得，(a 2－b 2)t 2－2a 3t ＋a 2(a 2＋b 2)＝0， 即[(a 2－b 2)t －a (a 2＋b 2)](t －a )＝0，得t ＝2222()a ab a b+-或a (舍)，故直线l 的方程为x ＝2222()a ab a b+-；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，代入22x a －22y b＝1，得(b 2－k 2a 2)x 2－2kma 2x －a 2(m 2＋b 2)＝0，Δ＝a 2b 2(m 2＋b 2－k 2a 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22222kma b k a -，x 1x 2＝－222222()a mb b k a+-；因为AP ⊥AQ ， 所以AP ꞏAQ＝0，即(x 1－a ，y 1)ꞏ(x 2－a ，y 2)＝0， 即x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 即(km －a )(x 1＋x 2)＋(k 2＋1)x 1x 2＋m 2＋a 2＝0，即32222222242222kma k a b m a m b k a b k a ---+--＝0，即a 2(a 2＋b 2)k 2＋2ma 3k ＋m 2(a 2－b 2)＝0， 即[a (a 2＋b 2)k ＋m (a 2－b 2)](ak ＋m )＝0，所以k ＝－2222()()m a b a a b -+或k ＝－ma； 当k ＝－m a 时，直线l 的方程为y ＝－max ＋m ，此时经过A ，舍去；当k ＝－2222()()m a b a a b -+时，直线l 的方程为y ＝－2222()()m a b a a b -+ x ＋m ， 恒过定点(2222()a ab a b +-，0)，经检验满足题意；综上①②，直线l 过定点(2222()a ab a b+-，0)．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，2AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：QAF QBF S S ⋅△△为定值.【过程详解】（1）当l x ⊥轴时，易得2AB p =， 所以22p =，解得1p =， 所以抛物线C 的方程为22y x =；（2）①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()102x my m =+≠， 代入抛物线C 的方程22y x =，并整理得2210y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得12=2y y m +，121y y =-.所以21212121222x x my my m ++++==，所以线段AB 的中点N 的坐标为221,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，连接QM ，若四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点， 易知10,2D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此211,82P mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线PQ 的方程为12x ty =+，代入抛物线C 的方程22y x =，整理得2210y ty --=，所以112P Q Q y y y m=-⋅=-， 故2Q y m =，因此()22,2Q m m ，故可得22212212M m x m +=⨯-=，220M y m m =-=，故点M 的坐标为()1,0M ，因此存在定点()1,0M ，使得四边形AQBM 为平行四边形；②证明：点()22,2Q m m 到直线1:2l x my =+的距离d == 由()11,A x y ，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1AF =， 因此11124QAF S AF d y =⋅=△， 同理可得214QBF S y = ， 所以12111616QAF QBF S S y y ⋅== ，为定值.。
(2021年整理)高中数学动点轨迹问题专题讲解
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动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法．．．．．:根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时,要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义,可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =,0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =,化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等)，分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程,消去参数即可．(5）交轨法．．．:即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点,12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=(0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠) （C ）22116925x y +=（0y ≠) （D)221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y ++=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y +=6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上,则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点,1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．（212y x =）8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．（4kx =(28k y >））9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时， 立，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ,则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时,易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-,设PQ 中点为(,)M x y ， 当12x x ≠时,有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-(二)解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切,求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =,2A 为椭圆另一顶点,连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2)若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =,试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ．∵ GM AB λ=,点M 在x 轴上，∴ (,0)3xM ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=,即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法）（2)设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±)，11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ,得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=． ∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k +=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++，∴ 223(,)1313kb bN k k -++．∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥,∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k++=--+， ∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠． ∴ 20134k <+<且2132k +≠,解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程;（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解:(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =,(,2)PN x y =--，48MP MN y ⋅=+．4PN MN ⋅=，……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅， ∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点,点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅,1()2ON OA OF =+,//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解:∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上,∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆,且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-, 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；(定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合,与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+,所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=． 1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=． 即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k kk k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图,平面内的定点F 到定直线l 的距离为2,定点E 满足：||EF =2,且EF l ⊥于G ,点Q 是直线l 上一动点，点M 满足:FM MQ =，点P 满足://PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程; B ，（II)若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、范令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时,求直线1l 的斜率k 的取值围．建解:（1)以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，立平面直角坐标系xoy ,设点(,)P x y ， 则(0, 1)F ,(0, 3)E ,:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2xM ．∵0PM FQ ⋅=,∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2)设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得1242121-==+∴x x kx x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y (8)分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k 解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ,动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；(2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-,且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ,由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204yx -+=，即动点N程为24y x =．（2)10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=． （1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1)中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解:（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =, 故动点P 的轨迹方程为214y x =．（2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y (0x >)，由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-,∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =,∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心,焦点在x 轴上，且实轴长为2,焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则,直线l的斜率为 又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>,设1122(,),(,)M x y N x y ,则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<,又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-, 由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法!！ 解之得:2115t = ，满足2103t <<． 故所求直线l0y --=0y +-=． 12．设A,B分别是直线5y x =和5y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I) 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为(0，16)，M 、N 是曲线C 上的两个动点,且DM DN λ=,求实数λ的取值范围．解:（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线y x =和y x =上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II）设N(s，t），M（x,y),则由λ=，可得（x，y-16）=λ (s，t—16)．故x sλ=，16(16)y tλ=+-．∵ M、N在曲线C上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+1.16)1616t(25s1,16t25s22222λλλ消去s得116)1616t(16)t16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ,且1≠λ，解得17152tλλ-=．又4t≤，∴421517≤-λλ．解得3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ)．13．设双曲线22213y xa-=的两个焦点分别为1F、2F，离心率为2．（1)求此双曲线的渐近线1l、2l的方程；（3y x=±）(2）若A、B分别为1l、2l上的动点，且122||5||AB F F=，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y+=）提示：||1010AB=⇒=，又113y x=-，223y x=,则1221()3y y x x+=-，2112()3y y x x-=+．又122x x x=+，122y y y=+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N是否存在直线l，使l与双曲线交于P、Q两点,且0OP OQ⋅=，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．(不存在)到直线l的距离14．已知点(1, 0)F，直线:2l x=，设动点P为d ，已知2||2PF d =,且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=,求向量OP 与OF 的夹角；（3)如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P,求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >)交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB(O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；(3a =） （2）若2a =,当k 变化时（k R ∈)，求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．(1)求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点,求实数k 的取值范围． 解:（I ）依题意有: 2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠,∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y )则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D（00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >1k 2<，且k≠0． ∴k的取值范围是113(,(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =（0,1），动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM —d 2）,其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=,1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．(1）求证：直线MN 过定点；（2)记（1)中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ,求H 的轨迹方程,并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西)如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点,且MA MB =．(1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值; （2）若M 为动点，且90EMF ∠=,求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1)由直线MF （或ME )方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >）, 则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-． ∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=,解得01F ky y k-=,∴ 202(1)F ky x k -=，∴002200022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值）． 所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ,由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++,∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=- 由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y -- 同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->．20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点B 都落在边AD 上,记为B '，折痕l 与AB 交于点E ,点M 满足关系式EM EB EB '=+．(1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。
高考数学二轮考前复习第三篇直击压轴大题搏高分必须攻克的6个热点专题专题2圆锥曲线中的定点与定值课件
(2)①由题知,因为x=-1为抛物线D的准线, 由抛物线的定义知:|AB|=d1+d2=|AF2|+|BF2|, 又因为|AB|≤|AF2|+|BF2|,当且仅当A,B,F2三点共线时等号成立, 所以直线l过定点F2, 根据椭圆定义得: |EF|+|EF1|+|FF1|=|EF2|+|EF1|+|FF1|+|FF2|=4a=4 2 .
代入y=1
x2得
y－
1 2
x12
x1x－x12①，
2
y－
1 2
x22
x 2 x－x 2 2②，
①×x2-②×x1,
得(x2-x1)y+1 x1x2(x1-x2)=0,
2
因为x1-x2≠0,
故y=1 x1x2,
2
………3分
因为DA和DB的交点D为直线y=1 -
2
上的动点,所以有y1=
2
x1x2=1 -
程并整理出可以确定定点的形式.
3.计算分:计算准确是根本保证.
4.防止漏解:解答第二问时,通过数形结合,只得到切点为(0, 1 )时的圆的方程,
2
而忽略其他情形而致错.
高考演兵场·检验考试力
1.(定值)已知O为坐标原点,椭圆C:
x2 y2 a2 b2
=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,
14k2 4
2 2，
所以定值为2.
14k2
4.(定值)已知点Q是圆M:(x+ 5 )2+y2=36上的动点,点N( 5 ,0),若线段QN的垂直 平分线交MQ于点P. (1)求动点P的轨迹E的方程; (2)若A是轨迹E的左顶点,过点D(-3,8)的直线l与轨迹E交于B,C两点,求证:直线 AB,AC的斜率之和为定值.
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专题3.2 动点轨迹成曲线 坐标关系是关键【题型综述】1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：（1）直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点P(x ，y)；③列式,列出动点P 所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (3)代入法(相关点法)：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． 2.解轨迹问题注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.【典例指引】类型一 代点法求轨迹方程例1 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。
证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
因此点P 的轨迹方程为222x y +=。
（2）由题意知()1,0F -。
设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---。
由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=。
所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF 。
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
类型二 定义法求轨迹方程例2.【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 类型三 参数法求轨迹方程例3[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆.由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 类型四 直译法求轨迹方程例4. 已知动圆C 过点()1,0Q ，且在y 轴上截得的弦长为2. （Ⅰ）求圆心C 的轨迹方程；（Ⅱ）过点()1,0Q 的直线l 交轨迹C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，证明： 2211QAQB+为定值，并求出这个定值.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【扩展链接】1.若一个圆1C 内含于另一个圆2C ，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。
⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m 的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。
两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。
（10m -<<时，焦点在x 轴上；当 1m <-时，焦点在y 轴上） ⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m 倍，该圆变成椭圆；⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。
方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x 轴的垂线， 则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。
【同步训练】1．在平面直角坐标系xoy 中，设点F (1，0)，直线l : 1x =-，点P 在直线l 上移动， R 是线段PF 与y 轴的交点, 异于点R 的点Q 满足： RQ FP ⊥， PQ l ⊥. （1）求动点Q 的轨迹的方程；（2） 记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB . CD ，设AB . CD 的中点分别为M N ，．问直线MN 是否经过某个定点？如果是，求出该定点，如果不是，说明理由．【思路引导】（1）由已知条件知，点R 是线段FP 的中点，RQ 是线段FP 的垂直平分线，点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．（2）设出直线AB 的方程，把A 、B 坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M 的坐标，同理可得N 的坐标，求出直线MN 的斜率，得到直线MN 的方程并化简，可看出直线MN 过定点．2.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）（1）求动点的轨迹方程；（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.【思路引导】(1)由相关点法得到Q 点轨迹；（2）求出线段中点坐标，点在正方形内（包括边界）的条件是即，解出来即可.【详细解析】（1）设动点，则，且，①3.在直角坐标系xOy 中， 已知定圆()22:136M x y ++=，动圆N 过点()1,0F 且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明: ·OS OT 为定值.【思路引导】（1）由两圆关系得等量关系6NM NF FM +=>，再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程，（2）解析几何中定值问题，往往通过计算给予证明，先设坐标，列直线方程，求出与x 轴交点坐标，再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元，化简计算·OS OT 为定值 .【详细解析】(1)因为点()1,0F 在()22136M x y ++=：内，所以圆N 内切于圆M ，则6N M N F F M+=>，由椭圆定义知，圆心N 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则229,8a b ==，4.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.【思路引导】（1）由圆与直线相切，可得.然后设动点，即可求解.（2）设出直线的，分斜率存在和不存在两种情形，以为直径的圆过坐标原点可转化为 .再把直线方程和椭圆方程联立【详细解析】（1）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切，∴圆将（*）代入可得，即即，又将代入，可得∴当且仅当，即时等号成立．又由，，．②若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得 同理求得 故．综上，得．5.已知椭圆2214x y +=，过点()1,0M -作直线l 交椭圆于,A B 两点， O 是坐标原点． （1）求AB 中点P 的轨迹方程；（2）求OAB ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【思路引导】（1）利用点差法，结合中点坐标公式，即可求AB 中点P 的轨迹方程；（2）令:1l x hy =-代入2244x y +=，利用韦达定理，表示出OAB ∆面积，利用函数的单调性，即可求OAB ∆面积的最大值，及此时直线l 的方程．（2）令:1l x hy =- 联立2244{1x y x hy +==-得： ()224230h y hy +--=因为()21630h ∆=+>所以12224hy y h +=+ 所以121··2S OM y y =-==t =则2221t S t t t==++在)+∞上单调递减，当t =0h =时，max S =:1l x =- 6.已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,A B 两点，点M 为圆O 上异于,A B 的任意一点，圆O 在点M 处的切线与圆O 在点,A B 处的切线分别交于,C D ，直线AD 和BC 交于点P ，设P 点的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与y 轴正半轴交点为H ，则曲线E 是否存在直角顶点为H 的内接等腰直角三角形Rt GHK ∆，若存在，求出所有满足条件的Rt GHK ∆的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由. 【思路引导】（1）设，则处的切线为，切线CD 与AC,BD 组方程组可求得C,D 点坐标，再直线AD,BC 组方程组，解点交点P 轨迹方程。