四边形内角和等于
与四边形有关的定理：
与四边形有关的定理：48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕-?84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值与圆有关的定理101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
四边形的内角和
★故事分享
通过在学校的学习，淘淘已经知道了三角形的内角和是180度。
寒假的一天，他突然想：多边形的内角和是多少度呢？
于是，他开始打电话和乐乐交流：“长方形、正方形都是四边形，它们的内角和很好算，每个内角都是90度，它们的内角和是90°×4=360°。
可是，一般的四边形就不好求了。
”
“虽然其他四边形的内角和不好求，但我们可以……”乐乐补充道。
“对！对！我们可以用这种方法求出四边形的内角和的。
”淘淘很开心地赞同道。
小朋友，你们知道乐乐是怎样求出四边形内角和的吗？动脑筋想一想，你就会明白其中的道理了。
★思考分析
乐乐的方法是：将四个角剪下来，拼在一起就是一个周角，也就是360度。
★拓展思路
小朋友，想一想，你还有其他的方法证明四边形的内角和是360度吗？
★答案提示
将一个四边形分成两个三角形，一个三角形的内角和是180度，两个三角形的内角和是：180°×2=360°。
★智慧提升
对于探索四边形内角和的活动，我们可以从不同的角度进行思考，思考角度不同，探索的过程也不相同。
正是这样的经历让我们始终带着浓厚的兴趣来研究数学，给我们带来收获和快乐。
多边形内角和公式与计算
多边形内角和公式与计算多边形是数学中常见的几何形状，它由若干条边和相应的顶点组成。
在学习多边形的性质时，我们经常会遇到计算多边形内角和的问题。
本文将介绍多边形内角和的公式和计算方法，并通过实例进行说明。
一、三角形的内角和公式三角形是最简单的多边形，它由三条边和三个顶点组成。
三角形的内角和公式是一个基础且重要的知识点。
我们知道，三角形的内角和等于180度，即三个内角的和为180度。
例如，已知一个三角形的两个内角分别为60度和80度，我们可以通过使用内角和公式计算出第三个内角的度数。
首先，将已知的两个内角的度数相加，得到140度。
然后，用180度减去已知的度数，即180度减去140度，得到第三个内角的度数为40度。
因此，这个三角形的三个内角分别为60度、80度和40度。
二、四边形的内角和公式四边形是具有四条边和四个顶点的多边形。
四边形的内角和公式是一个重要的知识点，它可以帮助我们计算出四边形内角和的度数。
对于任意一个四边形，我们可以将它划分为两个三角形。
根据三角形的内角和公式，我们知道一个三角形的内角和等于180度。
因此，一个四边形的内角和等于两个三角形的内角和之和。
举个例子，假设我们有一个四边形，其中三个内角的度数分别为60度、80度和100度。
我们可以将这个四边形划分为两个三角形，其中一个三角形的内角和为60度+80度=140度，另一个三角形的内角和为100度。
将两个三角形的内角和相加，得到这个四边形的内角和为240度。
三、五边形及以上多边形的内角和公式对于五边形及以上的多边形，我们可以通过将其划分为若干个三角形来计算其内角和。
具体的计算方法是：将多边形的顶点连接起来，形成若干个三角形，然后计算每个三角形的内角和，最后将所有三角形的内角和相加，得到多边形的内角和。
举个例子，假设我们有一个五边形，其中四个内角的度数分别为60度、80度、100度和120度。
我们可以将这个五边形划分为三个三角形，其中一个三角形的内角和为60度+80度=140度，另一个三角形的内角和为100度，第三个三角形的内角和为120度。
任意四边形的内角和等于多少
• 形散而神不散是散文的最高 境界，也是教学设计的最高境界！
•
使用课件要注意课件
与教学内容的统一性、课
件与教学方法的协调性、
课件与学生认知水平的相
容性。
三角形的内角和等于180°
➢活动1：探索四边形的内角和
猜猜看：任意四边形的内角和等于多少？
四边形
四边形的内角和等于
180°×2＝360°
D C
A
C
B
D
A
B
E
C B
O D
A
o
四边形 四边形的内角和等于
180°×4－ 360°=360°
C D
A
B
E
C DEAB NhomakorabeaE
D A
C B
五边形
五边形内角和等于
C
D
• ⑶你能求出五边形的外角和吗？你是怎3样得到的？
⑧对六边形继续上面的思考，会有什么发现？ ⑨一般情况下， 意味着什么？
Sn
➢ 知识，应该是“知”与“识” 的黄金组合，“知”是知道、了 解，“识”是见识、思想。
➢ 数学而言的“识”是指分析 鉴别知识经融会贯通而获致个人 见解的能力，包括预见力、判断 力、鉴赏力、洞察力、看问题的 能力、提问题的能力
设计思路：相对于内角和而言，外 角和更能反映多边形的本质。因此，要 借助这个结论的学习过程帮助学生理解 这一本质特征，并充分挖掘其中的数学 内涵和教育价值。
①思考
问题1
我们已经研究了多边形的内角和 是有一定规律的，那么多边形的外 角和有没有规律呢？
三角形的外角和等于多少？四 边形呢？请你们画一画、量一量、 想一想、试一试。
四边形内角和的性质
04
四边形内角和的实 际应用
在几何作图中的应用
利用四边形内角 和性质绘制平行 线
利用四边形内角 和性质构造直角 三角形
利用四边形内角 和性质证明几何 定理
利用四边形内角 和性质解决几何 问题
在建筑设计中的应用
利用四边形内角和性质优化建筑结构设计，提高空间利用率。 通过四边形内角和性质实现建筑外观的多样性和美观性。 利用四边形内角和性质进行建筑采光和通风设计，提高居住舒适度。 利用四边形内角和性质进行建筑节能设计，降低能耗，提高能源利用效率。
添加标题
对于凹多边形，其内角和的计算方法与凸多边形类似，但需要考虑凹进去的角的性 质。
拓展到高维空间
将四边形内角 和的性质推广 到三维空间， 可以得到四面 体的内角和性
质。
进一步推广到 n维空间，可 以得到任意n 维多边形的内 角和性质。
通过高维空间 的几何变换， 可以探究更复 杂的几何问题。
高维空间的几 何学在物理学、 工程学等领域 有广泛的应用。
证明方法
连接对角线，将 四边形分割成两 个三角形
利用三角形内角 和性质，计算四 边形内角和
证明四边形内角 和等于360度
总结证明过程， 强调四边形内角 和的性质
应用场景
几何学研究：四 边形内角和的性 质是几何学中的 基本概念，对于 理解几何形状的 性质和特点非常 重要。
数学教育：在数 学教育中，四边 形内角和的性质 是中学数学课程 中的重要内容， 对于培养学生的 逻辑思维和问题 解决能力具有重 要意义。
05
四边形内角和的推 广与拓展
推广到其他多边形
添加标题
三角形内角和为180度，四边形内角和为360度，五边形内角和为540度，以此类推， n边形内角和为(n-2)*180度。
《四边形的内角和》(教案)-四年级下册数学人教版
《四边形的内角和》（教案）四年级下册数学人教版教案：《四边形的内角和》一、教学内容本节课的教学内容来自于四年级下册数学人教版，主要涉及第四章《四边形》的一个知识点——四边形的内角和。
具体章节为第73页至第75页，内容包括四边形的定义、四边形的内角和定理以及如何计算四边形的内角和。
二、教学目标1. 让学生理解四边形的定义，掌握四边形的内角和定理。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：理解并证明四边形的内角和定理。
2. 教学重点：掌握四边形的内角和定理，并能运用到实际问题中。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：课本、练习本、尺子、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的四边形物体，如桌椅、窗户等，引导学生发现四边形的特点。
2. 知识讲解：讲解四边形的定义，解释四边形的内角和定理，并通过多媒体展示四边形的内角和定理的证明过程。
3. 例题讲解：出示例题，如计算一个矩形的内角和，引导学生运用内角和定理进行计算。
4. 随堂练习：让学生独立完成课本上的练习题，检测学生对内角和定理的掌握情况。
5. 小组讨论：让学生分组讨论如何将内角和定理应用到实际问题中，如计算教室里某个四边形物体的内角和。
6. 成果展示：邀请几组学生上台展示他们的讨论成果，并解释他们的解题过程。
六、板书设计板书设计如下：四边形的内角和定理1. 定义：四边形是有四个边的平面图形。
2. 内角和定理：四边形的内角和等于360度。
七、作业设计（1）矩形（2）三角形（3）平行四边形2. 答案：（1）矩形：360度（2）三角形：180度（3）平行四边形：360度八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对四边形的内角和定理的掌握情况较好，但在实际应用中，部分学生仍存在一定的困难。
在今后的教学中，应加强学生的实际操作练习，提高他们的应用能力。
四年级下册数学教案《5四边形的内角和》-人教版
四年级下册数学教案《5四边形的内角和》-人教版一. 教材分析《5四边形的内角和》是人教版四年级下册数学的一节课。
本节课主要让学生通过探究四边形的内角和，进一步理解多边形的内角和与边数的关系，为后续学习多边形的内角和公式打下基础。
教材以学生熟悉的长方形、正方形为例，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，发现四边形的内角和等于360°。
二. 学情分析四年级的学生已经学习了三角形的内角和是180°，他们对多边形的内角和有一定的认识。
但学生对四边形的内角和的理解可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过实际操作、观察、思考等方式，逐步发现四边形的内角和等于360°。
三. 教学目标1.让学生通过观察、操作、思考、交流等途径，发现四边形的内角和等于360°。
2.培养学生动手操作、观察思考、交流表达的能力。
3.引导学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学兴趣。
四. 教学重难点1.重点：发现四边形的内角和等于360°。
2.难点：理解四边形的内角和与边数的关系。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。
2.运用直观演示法，让学生通过观察、操作，发现四边形的内角和。
3.采用合作交流法，让学生在小组内讨论、分享，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备四边形的模型或图片。
2.准备三角板。
3.准备白板或黑板。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问：“我们已经学习了三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少呢？”引发学生思考。
然后引导学生提出问题，并猜想四边形的内角和可能是多少度。
呈现（10分钟）教师展示四边形的模型或图片，让学生观察。
然后引导学生用三角板拼出四边形，并观察四边形的内角和。
操练（10分钟）教师引导学生进行小组合作，每个小组用三角板拼出不同的四边形，并测量其内角和。
学生在操作过程中，发现无论哪种四边形，其内角和都等于360°。
四边形的内角和
发现规律：多边形的内角和= 180°×（n-2）
认真做练习
• 1.一个四边形的一组对角和为180度，这个 四边形的另一组对角有什么关系？ • 2.一个多边形的木板，锯去一个角后，内角 和为540度。聪明的你能猜想出来这个木板 原来的变数是多少吗？用你的学具剪一剪， 看看有几种情况吧！
• 四边形的内角和到底是多少度呢？
图形
各个角的度数
4个角的和
1
2 3 4 5
任意一个四边形 4 5 6 7 …n
分成的三 角形个数
1
2
3
4
5
… n-2 …
180°×（n-2）
多边形的 内角和
180°×1
180°×（2） 180°×（3)） 180°×（4） 180°×（5）
0
0
我们是方方正正的，每个家 都是直角，内角和最大，是 360°
0
0
0
0
我的内角和大， 因为我有两个钝 角，比直角大， 所以我的内角和 大
0
0
0
0
当我是直角梯形 时，既有直角， 也有钝角，所以 我的内角和最大
0
0
四边形内角和
0
0
我的内角和最大， 因为我是任意的， 想把角画成多大 就是多大
0
0
四边形内角和(王灿林)
活动一、验证四边形的内角和
活动任务：如何验证四边形内角和是360度？ 活动流程： 1、自主思考：独立思考证明方法，并尝试验 证。 2、小组讨论：组内交流自己验证方法。 3、展示分享：一个小组展示并组织其它小组 分享。
任何一个四边形都可以分割成两个三角形。
所以，四边形的内角和等于两个三角形的内角和， 180+180=360 度。
课外拓展：
2008年北京奥运会的奥运村里有 许多美丽的多边形花坛，会有一 个多边形花坛的内角和是2008度 吗？
数学奥秘的大门总是向那些 勇于思考、探索、实践的人 敞开！
1. 画一画，算一算，你发现了什么？
6
7
2
3
×5 180º ×4 180º
我发现每个多边形都可以分成 “边数”－2个三角形，多边形 的内角和＝180º ×（边数－2）。
你想知道几边形的内角和？ 自己根据多边形内角和规律列出算式 算算看。
1个三角形内角和
多边形内角和=180×（边数－2）
三角形个数
下面的图形是几边形？
五边形
六边形
七边形
它们的内角和由几个三角形的内角和组成？
活动二、探究多边形的内角和
活动任务：下面多边形的内角和是多少度？ 活动流程：
1、自主学习：自己动手画画、分分，观察思考这些图形 的内角和有几个三角形内角和组成。 计算出这些图形的内角和。 2、小组讨论：交流自己的发现。 3、展示分享：推选代表准备交流。 要求： 1、不测量、不剪拼，运用转化为几个三角形内角和方法计算。 提示：注意观察边的数量与三角形数量之间有什么规律。
四边形的内角和ppt课件
C
= 360°
8
方法三：
A
B E
D 3×180°- 180°
C
= 360°
9
方法四：
A B
E
D 3×180°- 180°
C
= 360°
10
证明—四边形的内角和等于360°
A
A
D
D
B
C
B
E
C
(1) 2×180°=360°
(2) 4×180°- 360°=360°
A
D
B
C
E
(3) 3×180°- 180°=360°
在四边形ABCD中，
D
A
∠A+ ∠B＋∠C+∠D=360°
B
C
6
四边形内角和定理的证明 认知基础： 三角形的内角和定理
方法： 借助辅助线，将四边形分割为三
角形
思考： 1.辅助线将四边形分割为几个三
角形? 2.这几个三角形各内角与四边形 的内角之间有什么关系?
7
方法二：
A E
B
D 4×180°- 360°
人教版《数学》七年级(下册)
7.3.2 四边形的内角和
1
复习回顾
三角形内角和定理：
三角形内角和等于180°
2
特殊四边形的内角和 长方形 的内角和是 360° 正方形 的内角和是 360°
3
提出问题
任意四边形
的内角和是
4
解决问题
180°×2＝360°
结论：四边形内角和等于360°
5
四边形内角和定理： 四边形内角和等于360°
认知基础
探 索
四边形内角和定理的证明方法
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(1)
800
1200
750
x0
(3)
1500 2X 0
1200
x0
(2)
D
E
x0
1500
600
C
1350
A (4) B
AB∥C D
例1：已知一个多边形每个内角 都等于 108° ，求这个多边形的 边数？
解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得：
(n－2) ×180=108 n
解得：n = 5
答：这个多边形是五边形。
2、过多边形一个顶点有14条对角线， 则该多边形为（ ）1边7 形。
3、一个多边形的内角和等于1800度， 它是（ ）1边2 形。
挑战自我
过m边形的一个顶点有7条 对角线，n边形没有对角线， k边形共有2条对角线，则 （m — k) n＝（ ） 18
（m=10,n=3,k=4)
总结
学习了本节课 的内容，你有 什么收获？
七边形的内角和
（7－2）×180 = 900°
z..x..x..k
议一议
n边形内角和等于
( n － 2 ) × 180
随堂练习
1、 八边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
（8－2) × 180°= 1080° (10－2) × 180°= 1440°
做一做
2.求下列图形中x的值：
1400
x0
x0
10.3.2
多边形的内角和 zxxk
董淑芳
兴凯湖中学
2008.10.29
C
B
A
D
学一学BC 图1P来自ADA
图2 B
P
C
D
如图1，在四边形内任取一点P, 连接PA、PB、PC、PD将四边 形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于
180°×4 － 360°= 360°
如图2，在四边形的一边上任取一 点P,连接PB、PC，将四边形变成 有一个公共顶点的三个三角形，四 边形内角和等于
180° ×3－ 180° = 360°
从一个 六五 八 边形的顶点可
以引（235）条对角线， 它们将多边形分成（346）
个三角形。 Z.x.x.k
学一学
四边形的内角和
（4－2）× 180° = 360°
五边形的内角和
（5－2）× 180° = 540°
六边形的内角和
（6－2）× 180°=720°
例2：如图：AD ⊥AB,BC ⊥CD, 则∠B与∠D是什么关系？为什么？
解： ∠B与∠D是互补。 D
C
因为AD ⊥AB,BC ⊥CD,
所以∠A= ∠C= 90° A
B
因为四边形内角和等于360°
所以∠B＋∠D= 180°
随堂小测试
1、从一个十边形的一个顶点出发可 以画出（7 ）条对角线，这些对角线 把多边形分成（ 8 ）个小三角形。