09线性代数试卷A答案(修订)[1]
线性代数测试试卷及答案
线性代数测试试卷及答案线性代数（A 卷）⼀﹑选择题(每⼩题3分,共15分)1. 设A ﹑B 是任意n 阶阵,那么下列等式必成⽴的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+2. 如果n 元齐次线性程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( )(A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4. 设实⼆次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ??= ? ?-的矩阵为A ,那么( )(A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ?-?? (D) 1001A ??=5. 若阵A 的⾏列式0A =，则( ) (A) A 的⾏向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的⾏向量组线性相关,列向量组线性⽆关 (C) A 的⾏向量组和列向量组均线性⽆关 (D)A 的列向量组线性相关,⾏向量组线性⽆关⼆﹑填空题(每⼩题3分,共30分)1 如果⾏列式D 有两列的元对应成⽐例,那么该⾏列式等于；2. 设100210341A -?? ?=- ? ?-??，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ；3. 设α,β是⾮齐次线性程组AX b =的解,若λαµβ+也是它的解, 那么λµ+= ；4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ；5. 设A 为正交矩阵,则A = ；6. 设,,a b c 是互不相同的三个数,则⾏列式222111ab c a b c = ； 7. 要使向量组123(1,,1),(1,2,3),(1,0,1)T T T αλαα===线性相关，则λ= ； 8. 三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1,2,3---,那么1A -的特征值分别为； 9. 若⼆次型222123123121323(,,)52-24f x x x x x x t x x x x x x =++++是正定的，则t 的取值围为；10. 设A 为n 阶阵,且满⾜2240A A I +-=,这⾥I 为n 阶单位矩阵,那么1A -= . 三﹑计算题（每⼩题9分，共27分）1. 已知210121012A ?? ?= ? ，100100B ?? ?= ? ???，求矩阵X 使之满⾜AX X B =+.2. 求⾏列式1234234134124123的值.3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)αααα==--=-=--的⼀个最⼤⽆关组和秩.四﹑(10分)设有齐次线性程组123123123(1)0,(1)0,(1)0.x x x x x x x x x λλλ+-+=??-++=??++-=? 问当λ取值时, 上述程组(1)有唯⼀的零解﹔(2)有⽆穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求⼀个正交变换X PY =,把下列⼆次型化成标准形:222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++.六﹑(6分)已知平⾯上三条不同直线的程分别为123: 230,: 230,: 230.l ax by c l bx cy a l cx ay b ++=++=++= 试证：这三条直线交于⼀点的充分必要条件为0a b c ++=.线性代数（A 卷）答案⼀﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A⼆﹑1. 0 2. *1()A A -=- 3. 1 4. 3 5. 1或-16. ()()()c a c b b a ---7. 08. 111,,23---9. 405t -<< 10. 1142A I +三﹑1. 解由AX X B =+得1()X A I B -=-. (2分) 下⾯求1()A I --. 由于110111011A I ?? ?-= ? ???(4分)⽽1()A I --=011111110-?? ?- ? ?-??. (7分)所以10111001()11101111100011X A I B --?????? ??? ?=-=-=- ??? ? ??? ?--??????. (9分)2. 解1234234134124123=10234103411041210123123413411014121123= (4分) 123401131000440004-=-- (8分) 160= (9分) .3. 解由于3112341234011301131301053307330733r r ------ - ------324212345011300212700424r r r r -??---+ ?--?? 43123401132002120000r r -??-- +(6分) 故向量组的秩是 3 ，123,,ααα是它的⼀个最⼤⽆关组。
安徽建筑大学线性代数A-009标准答案
一、填空题（每小题3分，共15分）1、11332244a a a a 或11332442a a a a -；2、19； 3、()R A n <； 4、r ； 5、!n二、单项选择题（每小题3分，共 15分）1、A ；2、B ；3、B ；4、B ；5、D ．三、解答题 (本题11分)解：21222 1 220120 -1 0000101 -4 11041D ==-=-- ……………11分四、解答题 (本题11分)解：（1）32A B +=363020630420330042⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3831010372⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ …………… 3分（2）451210220AB ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，210432510BA -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ∴261622330AB BA ⎛⎫ ⎪-=--- ⎪ ⎪-⎝⎭ …………… 7分（3）121010451211210231100021010T A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………11分五、解答题 (本题14分)解：由方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<，因此其系数行列式11||112011aA a=-=-。
即1-=a 或4=a 。
…………………4分当1-=a 时，该方程组的增广矩阵1111(|)11211111A b --⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪--⎝⎭11012301020000⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭于是()(|)23R A R A b ==<，方程组有无穷多解。
分别求出其导出组的一个基础解系13122T-⎛⎫ ⎪⎝⎭，原方程组的一个特解()100T-，故1-=a 时，方程组有无穷多解，其通解为()13100122TTk -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， …………………9分 当4=a 时增广矩阵1141(|)112114116A b -⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪-⎝⎭1141022000015-⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪⎝⎭，()2(|)3R A R A b =<=，此时方程组无解…………14分六、解答题 (本题13分)解：()1234511343113433354100488,,,,~2232000369334210051010ααααα----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1134300488~0000000000--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， …………………6分 所以()12345,,,,2R ααααα=， …………………9分 任意两个不成比例的向量组均是12345,,,,ααααα的一个极大无关组。
09年10月线性代数(经管类)试题答案
全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式=21A （ B ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=C （ A ） A ．ABB ．BAC ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c A 的行列式1|-=A |，则=-1*)(A （ A ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----d cb aB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb as 21（）的秩不为零的充分必要条件是（ B ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ C ） A ．n A r =)(B ．m A r =)(C ．n A r <)(D ．m A r <)(7．已知3阶矩阵A 的特征值为1,0,1-，则下列矩阵中可逆的是（ D ） A ．AB ．A E -C ．A E --D ．AE -2．．A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101011001433241214321A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001010A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ D ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z --- C ．232221z z z -- D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式422221111-=-+-+b a b a b a b a ，则=2211b a b a_________．12．已知矩阵)1,1,2(),1,2,1(-=-=B A ，且B A C =，则=C _________．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333022A ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-121A _________．14．已知矩阵方程B XA =，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111B ，则=X _________．15．已知向量组a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a _________．16．设)0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则21,ββ的秩为_________．17．设3元方程组增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++01001010a a ，若方程组无解，则a 的取值为_______．19．已知向量k )2,,3(=α与k ),1,1(=β正交，则数=k _________．20．已知321321)3()1(),,(x a x x a x x x f +++-=正定，则数a 的取值范围是_________． 21．计算行列式1111111111111111---+-----+=x x x x D 的值．解：1111111111111111111111111111---+-----=---+-----+=x x x x x xx x x x x D 4000000000111x xx xx =--=．22．设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA +=，求||B ．解：由E B BA +=，得E E A B =-)(，1)(--=E A B ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111110012112E A ，21111||=-=-E A ，21||||1=-=-E A B ． 23．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313232121ax x a x x a x x ，（1）讨论常数321,,a a a 满足什么条件时，方程组有解．（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3121321110110011101110011),(a a a a a a a b A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--→32121000110011a a a a a ，0321=++a a a 时，方程组有解． （2）),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000011001121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-→0000110101221a a a ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=333213211x x x a x x a a x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110221k a a a ． 24．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3130631120140121),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------3130643024700121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------2470643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------612210643031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------15500930031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3100310031300121 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000310031300121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310060303021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000310020103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000310020101001，向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组，=4α32132ααα+-．25．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3421A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1205B ，存在TT )1,1(,)2,1(21-==αα，使得,511αα=A 22αα-=A ；存在T T )1,0(,)1,3(21==ββ，使得2211,5ββββ-==B B ．试求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．解：由题意，A 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,αα；B 的特征值为1,5-，对应的线性无关特征向量为21,ββ．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==1211),(211ααP ，则1P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005111AP P ；令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1103),(212ββP ，则2P 是可逆矩阵，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1005212BP P ． 由上可得=-111AP P 212BP P -，从而B P P A P P=--)()(121112，即B P P A P P =---)()(1211121，令=P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--13/113/23101121131110312111121P P ，则P 是可逆矩阵，使得B AP P =-1．26．已知323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=，求正交变换Py x =，将二次型化为标准形．解：原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011101110A ．=-||A E λλλλ111111------λλλλλλλλ1111111)2(1212112-----=-------==++-=101011001)2(λλλ)2()1(2-+λλ，A 的特征值为=1λ12-=λ，23=λ．对于=1λ22=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------111111111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，取=1α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011，=2α⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101， 先正交化：11αβ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011，1211222||||),(βββααβ-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12/12/101121101． 再单位化：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==02/12/1||||1111ββp ，==222||||1ββp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6/26/16/1． 对于23=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------211121112→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110101 ，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，取=3α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，单位化为==333||||1ααp ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/13/13/1．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，经过正交变换Py x =后，原二次型化为标准形 2322212y y y +--． 四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ线性无关．。
09年01月线性代数量02198自考试题及答案
2009年1月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示矩阵A 的逆矩阵，秩（A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。
请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A 为n 阶方阵，若A 3=O ，则必有（ ） A. A =OB.A 2=OC. A T =OD.|A |=02.设A ，B 都是n 阶方阵，且|A |=3，|B |=-1,则|A T B -1|=（ ） A.-3 B.-31C.31 D.33.设A 为5×4矩阵，若秩(A )=4，则秩(5A T )为（ ）A.2B.3C.4D.5 4.设向量α=（4,-1,2,-2），则下列向量中是单位向量的是（ ） A.31α B.51α C.91αD.251α5.二次型f (x 1,x 2)=522213x x +的规范形是（ ）A.y 21-y 22B. -y 21-y 22C.-y 21+y 22 D. y 21+y 226.设A 为5阶方阵，若秩(A )=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5 7.向量空间W ={(0,x ,y ,z ) |x +y =0}的维数是（ ） A.1 B.2C.3D.48.设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3421，则矩阵A 的伴随矩阵A *=（ ） A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛1423 B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1423C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1243 D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1243 9.设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（II ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A.若（I ）线性无关，则（II ）线性无关 B.若（I ）线性无关，则（II ）线性相关 C.若（II ）线性无关，则（I ）线性无关 D.若（II ）线性无关，则（I ）线性相关二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（ ） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
线性代数试题A答案[大全5篇]
线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。
线性代数A习题册答案
线性代数A习题册答案练习1.2 n阶⾏列式的性质与计算⼀、填空题:1. 设是⽅程的三个根，则⾏列式.解: 由于是⽅程的三个根，由根与系数的关系有, ⼜,故应填.2. ; .解:由于时, 的第⼀⼆列对应元素相等,故, 从⽽有因⼦；⼜由于时, 的第三四⾏对应元素相等,故, 从⽽有因⼦；由于中关于最⾼次数为,故,⼜由于的的项为, ⽐较两边的系数, 得,故应填.由于,故应填.3. 已知, 则.解: ,,从⽽,故应填.4. ⽅程的所有解为.解: 因为当分别等于时, 均有两列元素对应相等, 故, 故是的解, ⼜中关于的最⾼次数为, 所以是的所有解, 故应填.5. ⾏列式当时, , 当时, .解: ，当时,,故应填, .⼆、选择题：1．设则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解: ，故应选(B).2. 设, 其中均为三维列向量, 若, 则[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解:，故，故应选(D).3. 设, 其中均为三维列向量, 且, 则[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D).解:.故应选(C).三、计算下列⾏列式:(1)； (2) .解:四、证明:(1) ; (2).证明: (1)利⽤⾏列式的性质可将左边⾏列式表⽰为个⾏列式之和.这⼋个⾏列式中有六个⾏列式因有两列元素成⽐例，因⽽为零.所以，，得证.(2)练习1.3 ⾏列式按⾏(列)展开定理与克莱姆法则⼀、填空题:1. 已知,表⽰第⾏第列元素的余⼦式, 则.解：因为，故应填.2. .解：，故应填3. 当时, ⽅程组有⾮零解.解：⽅程组有⾮零解，由于，所以或.故应填或.⼆、选择题：1．设, 则多项式次数最⾼可能为 [ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解：，将其按第⼀⾏展开，得.若，则是常数；若，则是⼀次多项式，故应选(A). 2. 设,且其每列元素之和为, 则的第⼀⾏元素的代数余⼦式之和[ ](A) ； (B) ； (C) ； (D).解：, 显然，与第⼀⾏元素的代数余⼦式相同，所以，故应选(B).3. ⾏列式⾮零的充分条件是 [ ](A) 的所有元素⾮零； (B) 的任意两⾏元素之间不成⽐例；(C) ⾄少有个元素⾮零； (D) 以为系数⾏列式的齐次线性⽅程组有唯⼀解.解：选项(A),(B),(C)均不是⾮零的充分条件，故应选(D).4. 齐次线性⽅程组只有零解, 则应满⾜的条件是 [ ](A) ； (B) ； (C) ；(D) .解：齐次线性⽅程组只有零解, ⽽，所以，故应选(D).三、证明: (1) ; (2)证明：（1），得证.(2)，得证.四、计算下列⾏列式:(1) ； (2).解：(1)将的第⾏经次⾏的调换调⾄第⼀⾏，第⾏经次⾏的调换调⾄第⼆⾏,…, 第2⾏经1次⾏的调换调⾄第⾏, 于是经过次⾏调换，故得（2）将按第列展开，得，但此递推公式难以推出的表达式. 由于于是我们猜测. 事实上，假设结论对于⼩于阶的⾏列式均成⽴，则对于阶，由递推公式有，故由数学归纳法，得.练习2.1 矩阵及其运算⼀、填空题:1. 设，则.解：，⽽，所以，，故应填.2. 设是阶矩阵, 其每⾏元素之和为,则的每⾏元素之和为.解：由题设知，即线性⽅程组有解，亦即，所以，推⼴可得，即的每⾏元素之和为，故应填.3. 已知线性变换则变量到变量的线性变换为.解1：因为,故应填.解2：由已知：,故, 故应填.4. , , ,.解: ；；；.⼆、选择题：1．设是阶⽅阵, 且, 则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D) .解: , 同理可得, 故. 故应选(C).2. 设为阶对称矩阵, 为阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解:, 故应选(A).3. 设为阶⽅阵,为正整数, 则下列结论中不正确的是 [ ](A) 若可交换, 则； (B) 若可交换, 则和可交换；(C) 若和可交换, 则可交换； (D) 若和可交换, 则可交换.解:若可交换, 则,故(A)正确；若可交换,显然也可交换, 于是,故(B)正确；由,知和可交换的充要条件是,即, 故(C)正确；从⽽(D)不正确. 事实上,若,由知,即不可交换,但, 故应选(A).4. 设,矩阵满⾜, 则[ ](A)； (B) ； (C) ； (D) .解:由得,即,亦即, 两边取⾏列式得,因, 故, 故应选(B).5. 设为阶⽅阵,则下列结论正确的是 [ ](A) 且； (B) 若；(C) 或； (D) .解: 或, 故(C)成⽴；若,则,但,故(A)不成⽴；, 但,故(B)不成⽴；, 但,故(D)不成⽴. 故应选(C).三、设, 求解：, .四、设, 计算.解:当时, , 所以；当时, , 所以.五、设, 求.解: 设, 则,. ⽽, , 所以.六、证明任何⼀个阶⽅阵都可以表⽰为⼀对称矩阵与⼀反对称矩阵之和.证明: 设为任⼀矩阵, 且,其中, 由于, 所以,解得, 即, 且为⼀对称矩阵, 为⼀反对称矩阵.得证.练习2.2 矩阵的初等变换⼀、选择题：1．设则必有 [ ](A)； (B) ； (C) ； (D).解：因为对矩阵施⾏⼀次初等⾏(列)变换, 相当于⽤同种的阶初等矩阵左（右）乘，⽽是由经过将第⼀⾏加到第三⾏，调换第⼀，⼆⾏两次初等⾏变换得到的，所以，故应选(D).。
09-10线代(A)参考答案-黄加增
福建农林大学东方学院考试试卷（A ）2009 ——2010 学年第二学期课程名称： 线性代数 考试时间专业 年级 班 学号 姓名一、填空题（每小题3分，共15分）1、矩阵21002n-⎛⎫ ⎪⎝⎭=21002n ⎛⎫⎪⎝⎭． 2、已知向量组123(1,1,2,1),(1,0,0,2),(1,4,8,)k ααα'''===---线性相关，则k = 2 ．3、设123012001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭则()1A -*=123012001---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．4、设12,ηη为非齐次线性方程组Ax B =的两个解，则12ηη-是0Ax =的解．5、矩阵104021413A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭对应的二次型是22212313232382f x x x x x x x =+++-．二、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号） （每小题2分，共10分）1 、设4阶行列式D 的第i 行第j 列的元素为ij a , 则D 的展开式中, 下列各项符号为负的是（ C ）． A . 44332211a a a a ； B . 44312312a a a a ； C . 42341321a a a a ；D . 44322113a a a a .2、 已知向量组4321,,,αααα是线性无关，则 ( A )A ．14433221αααααααα-+，＋，＋，线性无关；B ．14433221αααααααα－，－，－，－线性无关；C ．14433221αααααααα++，＋，＋，线性无关；D . 14433221αααααααα－，－，＋，+线性无关． 3、已知A , B 均为n 阶矩阵，则必有( D ). A . 2222)(B AB A B A ++=+ B . B A AB ''=')(C.. =AB 0时，=A 0或=B 0 D . 若AY AX =且0≠A ，则Y X =4、设n 阶矩阵A 满足A A =2, 则A 的特征值为（ D ）. A ．0；B .1；C .1±；D . 0或1.5、如果⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx有非零解，则（ B ）A ．0=kB ．2=kC ．1-=kD ．2-=k三、计算题（每小题10分，共20分）1、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-．解：111100111100x x x D y y y +--=+--101000011000x x y y-=-=22001100x x y x y y-=- 2、101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，用初等变换求1A -．解：()101100101100,210010012210325001022301A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭5110011011002201221001051100272171001122⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎪⎪=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭15112251171122A -⎛⎫-- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭四、解答题（每小题10分，共20分）：1、已知矩阵方程01022010X X ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ．解：0102010220102010X X X E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11022110X -⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 102111021X --⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，又111112121----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭则102110211421021102111X ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、设123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==45(1,1,2,0),(2,1,5,6)αα=-=求向量组的秩及其一个极大无关组.解：用这些向量作为列向量得矩阵A ，并对其施行初等行变换1234103121031210312130110330301101(,,,)2172501101000114214060224200000A αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪ ⎪''''==→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此：(1)其向量组的秩为3；（2）124,,ααα是向量组12345,,,,ααααα的一个最大线性无关组五、应用题（本题13+12=25分）1、设方程组123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问当λ 取何值时， （1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；（3）方程组有无穷多解，求其通解解:系数行列式为3212222202(5)2(4)22222254254245011r r r r λλλλλλλλλλ+--------⨯-----=------- 22(1)(10)λλ=---，（1）因此当1,10λλ≠≠时，方程组有唯一解； （2）当10λ=时，51151112128221222225420999099924511018184500063A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程组无解；（3）当1λ=时，122112212442000024420000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭通解为：12123122010001x x k k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中12,k k 为任意实数。
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东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷）答案及评分标准
2009 --20010 学年第 一 学期
《 线性代数 》试卷
开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷，允许带 入场
80 分每空2分）
．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 1 10 2 11 0 0A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=3 0 00 2 00 0 1B ，则：
=A - 1 ，B 2-= -48 ，
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅0 2 1 0 4 1 3 0
0 B A ，
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=55
53 0 0 0 2 0 0 0
1 B ，
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-1/3 0 0 0 1/2 0 0 0 1 1
B ．行列式3
222322
23的第3行第2列元素2的代数余子式32A = -2 ;
表达式：131211232A A A +⋅+⋅= 0 ， 表达式：131211223A A A +⋅+⋅= 7 ， 表达式：131211A A A ++= 1 。
3．=A ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛3 2 3 2 1
2 1 1 1 ，=B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
3 2 3 3 1 3 3 3 1 ，=C ⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛4 0 0 40 3 0 3 0 0 2 2 1 1 1
1 行列式3
2 3 2 1
2 1
1 1 = 0 ，行列式=3 3 33 1 33
3 1____6______ 行列式
4 0 0 4 0 3 0 30
0 2 21
1 1 1 = - 48
秩⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3 2 3 2 1
2 1 1 1 = 2 ，秩⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛3 2 3 3 1 3 3 3 1 = 3 ， 4. 向量),1,1,1(),3,2,1('2
1='=αα矩阵'
21αα⋅=A , 则6A =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛3 3 3 2 2 2 1 1 1 65 5．向量)3,1(),5,3(),7,5('32
1='='=ααα，则计算表达式是3212ααα+-= （0，0）’ ； 向量组321,,ααα的线性相关性为： 线性相关 ；向量组321,,ααα的秩为： 2 ，此时两个向量21,αα线性 无关 。
6． 两个向量)1 ,2- ,1(),1 ,1 ,1(21
='='αα的内积为： 0 ， 夹角为：2/π; 1α的 长度为：3 。
7．向量组)0 , 1- ,1(),0 ,0 ,2(21
='='αα把21αα，用施密特正交化方法得:112 0, - 1,0 βαβ'==，（）
8．已知向量组α1=(1,-1,2),α2=(2, k ,4),线性相关,则k =___-2__________.
9．若3阶方阵A 与矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=3 0 00 2 00 0 1B 相似，则A 的三个特征根分别是1，2，
3，则 方阵A 的行列式6=A 。
10. n 元齐次线性方程组O X A =有非零解的充分必要条件是：A 的秩 小于n ，此时矩阵A 的列向量线性 相 关
11． 设矩阵5阶方阵A 的秩为3 ，线性方程组O X A =的基础解系的向量个
数为 2 .
12. 非齐次线性方程组β=X A 有解的充分必要条件是增广矩阵的秩 等于
系数矩阵的秩。
13．给定线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++23213213211λ
λλλx x x x x x x x x ,
则：当λ≠1 时，方程组有唯一解；当λ= 1 时方程组有无穷解； 当λ=Φ时方程组无解.
14．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1 2 22 1
22 2 1A 对应于特征值5=λ的特征向量为：0,111≠⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅k k ，它与对应于另一个特征值的特征向量的夹角为：2/π??????
15． 设方阵A 的列向量为两两正交的单位向量，则A 满足='A A E .
16．二次型3231212
32221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=的矩阵的系数矩
阵为: ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=3 1- 11- 3 11
1- 3A ，方阵A 的特征值为： 1，4 ，4 ，?????
该二次型为 正 定二次型。
通过正交变换，该二次型可化为标准型为：
222123
44y y y ++.
3’
6 分）
.1102,3021,2010,10014321⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=＝ ＝
＝ αααα
4321αααα，，，的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表.
解 ()⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 0 01 0 0 00 2 1 0 0 1- 0 1~
1 3
2 11 0 0 00 2 1 0 2 1- 0 14321r αααα，，， 2’ 由此可知, 421,ααα，为一组极大线性无关向量组, 2’ 2132ααα+-= 2’
7 分）
⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=+---=-+-1
22 1 2
4321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解．
增广矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1 0 0 0 01 1- 1 0 01 0 0 1- 1~1 2 2- 1- 11 1 1-
1- 12- 1- 1
1- 1r B 4’ 导出方程组为矛盾方程组， 2’ 方程组无解。
1’
计算题（共7分）
已知二次型3231212
3222122252)(x x x x x x x x x x f +++++=，
a ） 出二次型所对应的矩阵A
b ）用配方法将二次型化为标准型， C)写出相应的可逆线性变换矩阵。
解 a ）⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=5 1 11 2 11 1 1A 1’ b)
3
2
2
2
23213
231212
322214)( 22252)(x
x
x x x x x x x x x x x x x f ++++=+++++= 3’
令⎪⎩⎪
⎨⎧==++=33223
211x
y x y x x x y 即有变换⎪⎩⎪
⎨⎧==--=33
223211y
x y x y y y x ,
把二次型
32312123222122252)(x x x x x x x x x x f +++++=化为标准型
2
3
22214)(y y y x f ++= 1‘ C)对应变换矩阵 1 -1 - 10 1 00 0 1P ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
2’。