第六章统计量及其抽样分布(统计学贾俊平)

2.某个样本统计量的抽样分布： 从理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由 每一个样本算出的该统计量数值的概率分布。
2 3. 正态条件下，主要有 分布、t分布、F分布。
§ 6.3 由正态分布导出的几个重要分布 统计学
6.3.1 6.3.2 t分布 6.3.3 F分布
2 分布
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2
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6.4.1
样本均值的分布
X ~ N ( ， ) n
6. 由图形来观察：
2
10
n4 x 5
n 16 x 2.5
50 总体分布
X
x 50 抽样分布
X
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6.4.2
中心极限定理
中心极限定理：设从均值为，方差为 2 的一个任意 总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样 本均值X 的抽样分布近似服从均值为 、方差为 2 / n 正态分布
一个任 意分布 的总体
X
n
当样本容量足 够大时(n 30) ，样本均值的 抽样分布逐渐 趋于正态分布
总体期望，方差 2
X
X
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6.4.2
f ( x)
中心极限定理
f ( x) f ( x)
统计学
抽样分布趋于正态分布的过程
总体分布形状
f (x)
x
f (x)
x
f (x)
(1) 设随机变量X服从 F (m，n)，
n ，n 2 则数学期望：E ( X ) n2
2n 2 (m n 2) 方差： D( X ) ，n 4 m(n 2)(n 4)
(2) F分布与t分布的关系
若 X ~ t (n) 分布，则 X 2 ~ F (1 ，n)
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差的信息。样本标准差S也是常用的统计量。
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6.1.2
常用统计量
s (3)V 是样本变异系数，反映总体变异系数C X D( X ) 的信息。其中总体变异系数定义为 C E( X )
它反映了随机变量在以它的均值为单位时，取 值的离散程度。此统计量取消了均值不同对不 同总体的离散程度的影响，常用来刻画均值不 同时，不同总体的离散程度。在投资项目的风. 险分析中、不同群体或行业的收入差距描述中 有广泛的应用。
i 1 100 i 1 i 1 3
T2 X1 X 2 X 3
T1为充分统计量。
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§6.2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐近分布(略) 6.2.3 随机模拟获得的近似分布(略)
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6.2.1
抽样分布
1. 统计量的分布叫抽样分布。
X (1)和X ( n)分别为最小和最大次序统计量。 R( n) X ( n) X (1) 称为样本极差。
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6.1.4
充分统计量
充分统计量是指统计量的加工过程中一点信息都不损 失的统计量。 【例 6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率 p ， 质检员抽检了100个电子元件，检查结果是，除前3个 ，X 2＝ 1 ，X 3＝ 1 )外，其他都是 是不合格品(记为 X1 1 合格品(记为X i 0，i 4 ~ 100 )。当企业领导问及抽检 结果时，质检员给出如下两种回答： 100 (1)抽检的100个元件中有3个不合格(记 为 X i＝3) (2)抽检的100个元件中前3个不合格(记 为 X i＝3) 解： T1 X i
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6.3.3 F分布
1. F分布是统计学家费希尔首先提出的。F分布 有着广泛的应用，如在方差分析、回归方程的 显著性检验中都有着重要的地位。
2. 定义6.5
设随机变量 Y与Z 相互独立，且 Y与Z 2 分别服从自由度为m和n的 分布，随机变量X
Y / m nY 有如下表达式： X Z / n mZ
0
x
图6-2
t分布的概率密度函数曲线
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6.3.2
t分布
4. t分布的性质和特点： (1)以0为中心，左右对称的单峰分布；
(2) t分布的数学期望为 E (t ) 0，n 2 ： 方差为： D(t ) n ，n 3，显然比N(0，1)大； n2 (3)t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说 与自由度）大小有关。自由度越小，t分布曲线越 低平；自由度越大，t分布曲线越接近标准正态分 布（u分布）曲线 ，在自由度大于30的情况下，t 分布的曲线就很接近正态分布了。
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定义6.2
6.1.3
次序统计量
，X n 是从总体X中抽取的 设 X1，X 2，
X (i ) 称为第i个次序统计量， 容量为n的一个样本，
它是样本 ( X1，X 2， ，X n ) 满足如下条件的函数：
，xn 时， 每当样本得到一组观测值 x1，x2，
其由小到大的顺序 x(1) x( 2) x( n) 中， 第k个值 x( k ) 就作为次序统计量X ( k ) 的观测值， ，X ( n) 称为次序统计量。 而 X (1)，X ( 2)，
2 2 X 平方和 i 服从自由度为n的 分布。 i 1 n
3. 自由度是统计学中常用的一个概念，可以解释 为独立变量的个数。
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2
2
6.3.1
2 分布
X
4. 设 X ~ N (， )，则 Z
令 Y Z ，则 Y ~ 2 (1) 2 (n) 分布的概率密度函数曲线为 5.
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学习目标
1. 理解统计量与分布的几个概念 2. 掌握t、卡方、F三大分布 3. 掌握单总体参数（均值/比例/方差）推断 时样本统计量的分布 4. 掌握双总体参数（均值差）推断时样本统 计量的分布
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6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
统计学§6.4样本均值的分布与中心极限定理
6.4.1 样本均值的分布 6.4.2 中心极限定理
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6.4.1
样本均值的分布
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，X n 是从某一总体中抽出的随机样本， 1. 设 X1，X 2， 则 X1，X 2， ，X n为互相独立且与总体有相同分布 的随机变量。 2. 要想知道 X 的分布，必须知道总体分布。 由于正态分布是最常见的分布之一，所以主要介绍即 在总体分布为正态分布 N (， 2 ) 时样本均值 X 的分布。 3. 在总体分布为正态分布 N (， 2 ) 时，有 2 X 的抽样分布仍为正态分布，即 X ~ N ( ， )
这与总体的分布形状有关。总体偏离正态越远，则 要求n越大。 2.实际应用中，由于总体的分布未知，我们常要求n≥30。 3.大样本与小样本问题。在样本量固定的条件下进行的 统计推断、问题分析，都称为小样本问题；而在样本 量n→∞的条件下进行的统计推断、问题分析则称为大 样本问题。一般统计学中的n≥30为大样本，n<30为 小样本只是一种经验说法。
2 2 U ~ ( n ) ， V ~ (n2 ) ，且独立， 若 1 (4) 可加性： 2 U V ~ (n1 n2 ) 则
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6.3.2
t分布
1. t分布也称学生氏分布，是高塞特(W.S.Gosset)于
1908年在一篇以“Student”为笔名的论文中首次 提出的。
§6.1 统计量
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6.1.1
统计量的概念
1. 统计量的定义：
，X n 是从总体X中抽取的 (1)定义6.1 设 X1，X 2，
容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个 ，X n ) ，不依赖于任何未知 函数 T ( X1，X 2， ，X n )为一个 参数，则称函数 T ( X1，X 2， 统计量(或样本统计量)。 ，xn 后， (2)当获得样本的一组具体观测值 x1，x2， 代入T计算的数值称为一个具体的统计量值。
则称X服从第一自由度为m，第二自由度为n的
F分布，记为F(m，n)，简记为 X ~ F (m，n)
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3.
6.3.3
F分布
F分布的概率密度函数曲线
p( x)
F(1，10) F(5，10)
F(10，10)
O
x
图6-3
F分布的概率密度函数曲线
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6.3.3
F分布
5. F分布的性质和特点：
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统计量概念的例题
，X n 是从某总体X中抽取的 【例6.1】设 X1，X 2，
一个样本，判断下列各量是否为统计量。
1 n (1) X X i n i 1 (3) [ X i E ( X )]2
i 1 n
1 n (2) S ( X i X ) 2 n i 1
2 X ~ N ( 0 ， 1 ) ， Y ~ (n) 分布， 2. 定义6.4 设随机变量 X 其分布称为t分布， 且 X与Y 独立，则 t Y /n
记为t(n)，其中n为自由度。
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3.
6.3.2
t分布
t分布的概率密度函数曲线
p( x)
N(0，1) t(13) t(4)
x
n 2时 x 的抽样分布 n 4时 x 的抽样分布 n 30时 x 的抽样分布
f (x)