2018丰台区高中数学(文)二模试卷及答案

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（二） 2018.5高三数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，2{|230}A x x x =--<，则U A =ð(A) {|1x x ≤-或3}x ≥ (B) {|3x x ≤-或1}x ≥ (C) {|1x x <-或3}x >(D) {|3x x <-或1}x >（2）设a ，b 为非零向量，则“∥a b ”是“a 与b 方向相同”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（3）设双曲线2221(0)x y a a -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则a =(A)3(B)3(C)(D) （4）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 6（5）下列函数中，既是偶函数，又在区间)0,(-∞上为减函数的是(A) 2log ()y x =- (B) xx y -=1 (C) 21y x =-+(D) ||e x y =（6）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为(A) 25 (B) 20 (C) 13 (D) 6（7）在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为CD 中点，设AB =a ，AC =b ，若AE λμ=+a b ，则λμ的值是俯视图侧视图正视图(A)14 (B)12 (C) 2(D) 4（8）某游戏开始时，有红色精灵m 个，蓝色精灵n 个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色 (A) 只与m 的奇偶性有关 (B) 只与n 的奇偶性有关 (C) 与m ，n 的奇偶性都有关 (D) 与m ，n 的奇偶性都无关第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数4i 12i+的虚部为 ．（10）已知实数x ，y 满足不等式组0,2,20,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则4x y +的最大值是____．（11）已知圆C ：22(1)4x y -+=，则过点P 且与圆C 相切的直线方程为____．（12）已知函数sin()y x ωϕ=+(0ω>，π2ϕ<)的部分图象如 图所示，则=ω____；ϕ=____．（13）设函数122,0,()log ,0.x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪⎩① (2)f =____；② 若(1)1f x +>，则x 的取值范围是____．（14）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ； ② 线段BM 的长为定值；③ 存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90︒．其中正确的命题是 ．（写出所有．．正确命题的序号）A 1MEDCBA三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，14AB =，6BD =，10AD =，cos DAC ∠=． （Ⅰ）求ADB ∠； （Ⅱ）求AC 的长．（16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ．（17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点， 1A D ⊥平面ABC ，=AB BC ，平面1BB D 与棱11AC 交于点E ．（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥；（Ⅱ）求证：平面1BB D ⊥平面11AAC C ；EB 1C 1A 1DCD AB（Ⅲ）求证：1B B DE ∥．（18）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取8位归为A 组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取8位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图：注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值． （Ⅰ）分别求出A 组客户与B 组客户“实际平均续航里程数”的平均值；（Ⅱ）在A ，B 两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于335的客户中各随机抽取1位客户，求A 组客户的“实际平均续航里程数”不小于B 组客户的“实际平均续航里程数”的概率； （Ⅲ）试比较A ，B 两组客户数据方差的大小．（结论不要求证明）（19）（本小题共13分）已知函数()()cos sin f x x a x x =--，(0,π)x ∈，()a ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意1(0,π)x ∈，存在2(0,π)x ∈，都有2122()21f x x x >--，求a 的取值范围．（20）（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，过右焦点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点P 的坐标为(4,3)，记直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当247MN =时，求直线l 的斜率； （Ⅲ）求证：21k k +为定值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）25-（10） 5 （11）50x +-=（12）2；π6（13）1-；1,4,2-∞-U （）（-1-） （14）①② 注：第12，13题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 第14题只写对一个得2分，有一个错误不得分．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）在△ADB 中，由余弦定理得222cos 2ADBD AB ADB AD BD +-∠=⋅100361962106+-=⨯⨯12=-． …………………2分 因为 (0,π)ADB ∠∈， …………………3分 所以2π3ADB ∠=． …………………5分 （Ⅱ）由 cos DAC ∠=，可知sin DAC ∠=， …………………6分 所以 2πsin sin()3C DAC ∠=-∠ …………………8分 12142147=⨯+⨯=． …………………10分 在△ADC 中，由正弦定理得sin sin AC ADADC C=∠∠， …………………12分 所以=，所以 AC = …………………13分（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为 23n S n =，所以 113a S ==． …………………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-． …………………3分因为当 1n =时，16133a ⨯-==， …………………4分 所以数列{}n a 的通项公式是 63n a n =-． …………………5分 （Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为 113a b =，所以 11b =． …………………6分 因为 242b b a ⋅=， 所以 239b =． …………………8分因为 2310b b q =>，所以 33b =，且23q =． …………………10分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列． …………………11分所以 212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---． 即 1(31)2nn T =-． …………………13分（17）（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为 1A D ⊥平面ABC ，所以 1A D ⊥AC ． …………………1分 因为△ABC 中，=AB BC ，D 是AC 的中点，所以 BD AC ⊥． …………………2分 因为 1A DBD D =， …………………3分所以 AC ⊥平面1A BD ． …………………4分 所以 1AC A B ⊥． …………………5分（Ⅱ） 因为 1A D ⊥平面ABC ，因为 BD ⊂平面ABC ，所以 1A D BD ⊥． …………………6分 由（Ⅰ）知 BD AC ⊥． 因为 1ACA D D =， …………………7分所以 BD ⊥平面11A ACC ． …………………8分 因为 BD ⊂平面1BB D ，所以 平面1BB D ⊥平面11AAC C ． …………………9分 （Ⅲ）因为在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 为平行四边形，所以 11B B A A ∥． …………………10分 因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ， …………………11分 所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………12分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D平面11A ACC DE =，…………………13分所以 1B B DE ∥． …………………14分（18）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）A 组平均值为：2808340338332330230225225220=+++++++；……………1分B 组平均值为：2002202303323383403603803008+++++++=．……………2分（Ⅱ）将A 组客户中实际平均续航里程数为338, 340的客户分别记为1a ，2a ；将B 组客户中实际平均续航里程数为338, 340, 360, 380的客户分别记为1b ，2b ，3b ，4b ． 从A ，B 两组实际平均续航里程数大于335km 的客户中各随机抽取1位客户的事件包括：11b a ，21b a ，31b a ，41b a ，12b a ，22b a ，32b a ，42b a ，共8种， …………………5分其中A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的事件包括：11b a ，12b a ，22b a ，共3种． …………………7分设“A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数”为事件M ， …………………8分则3()8P M =． …………………10分 所以A 组客户的实际平均续航里程数不小于B 组客户的实际平均续航里程数的概率为38．（III ）A 组数据的方差小于B 组数据的方差． …………………13分（19）（本小题共13分）解：（Ⅰ）()()sin f x x a x '=--． …………………2分因为 (0,π)x ∈，所以 sin 0x >． …………………3分 由 ()0f x '=得 x a =． …………………4分 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,π)上单调递减； …………………5分 当πa ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,π)上单调递增； …………………6分 当0πa <<时，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,π)上单调递减； 当πa ≥时，()f x 在(0,π)上单调递增；当0πa <<时，以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ．………9分 （Ⅱ）设 2()21g x x x =--．因为 2()(1)2g x x =--，当1x =时，()g x 有最小值为2-． …………………10分 因为对于任意1(0,π)x ∈，存在2(0,π)x ∈，都有 2122()21f x x x >--，所以 (0)2(π)2f f ≥-⎧⎨≥-⎩， 即2(π)2a a -≥-⎧⎨--≥-⎩． 所以π22a -≤≤，即a 的取值范围是[π2,2]-． …………………13分（20）（本小题共14分）（Ⅰ）解：依题意 24a =，所以 2a =． …………………1分因为 12c e a ==，所以 1c =． …………………2分所以 23b =， …………………3分所以椭圆C 的方程为 22143x y +=． …………………4分（Ⅱ）解：椭圆得右焦点(1,0)F ．当直线l 的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M ，3(1,)2N -，3MN =，不合题意． …………………5分当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ． …………………6分联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ， 消y 得 2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，0∆>成立． …………………7分所以 2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k -=+． …………………8分因为247MN ==， …………………9分247=，所以2212347k k +=+，所以1k =±． …………………10分 （Ⅲ）证明：当直线l 的斜率不存在时，不妨取3(1,)2M ，3(1,)2N -，此时123922233k k +=+=． …………………11分当直线l 的斜率存在时，设直线l ：(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ． 此时21211221221121)(416)4)(3()4)(3(4343x x x x x y x y x y x y k k ++---+--=--+--=+．丰台区高三数学第二学期统一练习（二）（文科）第 11 页 共 11 页 分子化为21122121)(4)(324y x y x y y x x +++-+-248))(53(22121++++-=k x x k x kx ． 所以222222222143)3(4438416248438)53(43)3(42k k k k k k k k k k k k k +-++⨯-+++⨯+-+-⨯=+ )3(8)43(4)43)(3(2)53(2)3(2222222-+-+++++--⨯=k k k k k k k k k 299181822=++=k k ． 综上所述，12k k +为定值2． …………………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。