高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 4.4.1 对数函数的概念精品练习(含解析)

4.4.1 对数函数的概念必备知识基础练知识点一 对数函数的概念1.下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log 12(－x )(x <0)；⑥y＝2log 4(x －1)(x >1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知f (x )为对数函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，则f (34)＝________.知识点二对数型函数的定义域3.函数f (x )＝log 2(x 2＋3x －4)的定义域是( ) A ．[－4,1] B ．(－4,1)C ．(－∞，－4]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) 4．函数f (x )＝1log 122x ＋1的定义域为________.知识点三对数函数模型的实际应用5.某种动物的数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的函数关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只6．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x 万元时，奖励y 万元．若公司拟定的奖励方案为y ＝2log 4x －2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元.关键能力综合练 一、选择题 1．给出下列函数：①y ＝log 23x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，若f (1)＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)5．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)6．(探究题)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))的值为( )A ．lg 101B ．1C ．2D ．0 二、填空题7．若f (x )＝log a x ＋a 2－4a －5是对数函数，则a ＝________.8．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1,3]时，f (x )的值域是________．9．(易错题)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2kx 2－kx ＋38的定义域为R ，则实数k 的取值X 围是________．三、解答题10．求下列函数的定义域：(1)y＝1log2x＋1－3；(2)y＝log(2x－1)(3x－2)；(3)已知函数y＝f[lg(x＋1)]的定义域为(0,99]，求函数y＝f[log2(x＋2)]的定义域．学科素养升级练1．(多选题)已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)(a>0，a≠1)，则( ) A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数2．设函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2 017)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22 017)＝________.3．(情境命题—生活情境)国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，X围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L表示，X围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lg V.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V 1.5②0.4④L ① 5.0③ 4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)4．4 对数函数4．4.1 对数函数的概念必备知识基础练1．解析：符合对数函数的定义的只有③④. 答案：B2．解析：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2，∴f (x )＝，∴f (34)＝34＝log 2(34)2＝log 2243＝43.答案：433．解析：一是利用函数y ＝x 2＋3x －4的图象观察得到，要求图象正确、严谨；二是利用符号法则，即x 2＋3x －4>0可因式分解为(x ＋4)(x －1)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4<0，x －1<0，解得x >1或x <－4，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．答案：D4．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0，则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)5．解析：由题意，知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300.答案：A6．解析：由题意得5＝2log 4x －2，即7＝log 2x ，得x ＝128. 答案：128关键能力综合练1．解析：①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．答案：A2．解析：∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案：C3．解析：∵f (1)＝log a (1＋1)＝1，∴a 1＝2，则a ＝2，故选C. 答案：C4．解析：要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2x －2≠0，解得2<x <3或x >3，所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C.答案：C5．解析：∵3x >0，∴3x ＋1>1.∴log 2(3x＋1)>0.∴函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案：A6．解析：由题 f (f (10))＝f (lg 10)＝f (1)＝12＋1＝2.故选C. 答案：C7．解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a >0，a ≠1，解得a ＝5.答案：58．解析：设f (x )＝log a x ，∵f (9)＝2，∴log a 9＝2，∴a ＝3，∴f (x )＝log 3x 在[1,3]递增，∴y ∈[0,1]．答案：[0,1]9．解析：依题意，2kx 2－kx ＋38>0的解集为R ，即不等式2kx 2－kx ＋38>0恒成立，当k ＝0时，38>0恒成立，∴k ＝0满足条件．当k ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝k 2－4×2k ×38<0，解得0<k <3.综上，k 的取值X 围是[0,3)． 答案：[0,3)10．解析：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，log 2x ＋1－3≠0，即x >－1且x ≠7，故该函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)． (2)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >23且x ≠1，故该函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)． (3)∵0<x ≤99，∴1<x ＋1≤100. ∴0<lg(x ＋1)≤2， ∴0<log 2(x ＋2)≤2， 即1<x ＋2≤4，即－1<x ≤2. 故该函数的定义域为(－1,2]．学科素养升级练1．解析：f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1，函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1,1)，故A 正确；f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )，所以f (x )＋g (x )＝f (－x )＋g (－x )，所以函数f (x )＋g (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故B 正确；f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )＝log a (x ＋1)(1－x )＝log a (－x 2＋1)，令t ＝－x 2＋1，则y ＝log a t ，在x ∈(－1,0)上，t ＝－x 2＋1单调递增，在x ∈(0,1)上，t ＝－x 2＋1单调递减，当a >1时，y ＝log a t 单调递增，所以在x ∈(－1,0)上，f (x )＋g (x )单调递增，在x ∈(0,1)上，f (x )＋g (x )单调递减，所以函数f (x )＋g (x )没有最小值，当0<a <1时，y ＝log a t 单调递减，所以在x ∈(－1,0)上，f (x )＋g (x )单调递减，在x ∈(0,1)上，f (x )＋g (x )单调递增，所以函数f (x )＋g (x )有最小值为f (0)＋g (0)＝0，故C 错；f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )＝log ax ＋11－x＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－x ，令t ＝－1＋21－x ，y ＝log a t .在x ∈(－1,1)上，t ＝－1＋21－x 单调递增，当a >1时，f (x )＋g (x )在(－1,1)单调递增，当0<a <1时，f (x )＋g (x )在(－1,1)单调递减，故D错．故选AB.答案：AB2．解析：∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 017) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2 017)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 017)， ∴原式＝2×8＝16. 答案：163．解析：(1)因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg 1510＝5.0＋lg 32＝5.0＋lg 3－lg 2≈5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2， 所以①应填5.2； 因为5.0＝5.0＋lg V ， 所以V ＝1，②处应填1.0；因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg 410＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋2×0.301 0－1≈4.6， 所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lg V ，所以lg V ＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.对照表补充完整如下：(2)则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5) ＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋0.301 0－0.5≈4.8.。