2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题09对数与对数函数(教学案)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1
2的对数函数的图象；
3.体会对数函数是一类重要的函数模型.
4.了解指数函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．
1．对数的概念
一般地，对于指数式a b
＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么
①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N
＝log a M －log a N ； ③log a M n
＝n log a M (n ∈R )；④log am M n
＝n m
log a M . (2)对数的性质
①a log a N ＝__N __；②log a a N
＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
3．对数函数的图象与性质
a >1 0 图 象 性 质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x >1时，y >0 当0 (7)在(0，＋∞)上是减函 数 4.反函数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 【必会结论】 1．对数的性质(a ＞0且a ≠1) (1)log a 1＝0；(2)log a a ＝1；(3)a log aN ＝N . 2．换底公式及其推论 (1)log a b ＝log c b log c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)； (2)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1 log b a ； (3)log am b n ＝n m log a b ； (4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 高频考点一 对数式的运算 例1、(1)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2 的值为________． 答案 3 解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg 2 2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3. (2)已知3a ＝4b ＝12，则1a ＋1b ＝________. 答案 2 解析 因为3a ＝4b ＝12，所以a ＝log 312， b ＝log 412，1a ＝log 12 3，1 b ＝log 12 4， 所以1a ＋1 b ＝log 12 3＋log 12 4＝log 12 12＝2. 【变式探究】(1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 (2)计算：⎝ ⎛⎭ ⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________． 【方法规律】对数运算的一般思路 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并； (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4， f （x ＋1），x <4，则f (2＋lo g 23)的值为( ) A ．24 B ．16 C ．12 D ．8 (2) lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12－1＝________． 解析 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. (2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 答案 (1)A (2)－1 高频考点二 对数函数的图象及应用 例2、(1)若函数y ＝a |x | (a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( ) (2)已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于 x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是 ________． 解析 (1)由于y ＝a |x | 的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B. (2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距． 由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点． 答案 (1)B (2) a >1 【方法规律】应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【变式探究】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( ) (2)当0 A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 22 B.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 22，1 C ．(1，2 ) D ．(2，2) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D. 当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 22，1. 答案 (1)C (2)B 高频考点三 对数函数的性质及应用 例3、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0 c D ．c a >c b 解析 由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c lg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定． 答案 B 【方法规律】(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． 【变式探究】已知函数f (x )＝log a (3－ax )． (1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数， x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数， ∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩ ⎪⎨⎪⎧3－2a >0， log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3 2，a ＝32. 故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 高频考点四 和对数函数有关的复合函数 例4、已知函数f(x)＝loga(3－ax)． (1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax ， 则t(x)＝3－ax 为减函数， x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a ， 当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立． ∴3－2a>0.∴a<3 2 . 又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1，32. 【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件． 【变式探究】(1)设a ＝log32，b ＝log52，c ＝log23，则( ) A ．a>c>b B ．b>c>a C ．c>b>a D ．c>a>b (2)若f(x)＝lg(x2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ． [1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) (3)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ log2x ，x>0，log 1 2－，x<0， 若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 (1)D (2)A (3)C 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log33 log51 2 ，c>1，∴c>a>b. (2)令函数g(x)＝x2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有 ⎩⎪⎨⎪ ⎧ ， a≥1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a>0， a≥1， 解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A. (3)由题意可得⎩⎪⎨⎪ ⎧ a>0，log2a>log 1 2a 或⎩⎪⎨⎪ ⎧ a<0，log 1 2－ －， 解得a>1或－1 高频考点五、比较指数式、对数式的大小 例5、[2017·天津高考]已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8 )，c ＝ g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 答案 C 解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，g (x )为偶函数． 又f (x )在R 上递增，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，且f ′(x )>0， g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )在[0，＋∞)上递增． a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，由对数函数y ＝log 2x 的性质，知3＝log 28>log 25.1>log 24＝2>20.8，∴c >a > b .故选 C. 【变式探究】(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c D ．a (2)设a ＝log2π，b ＝log 1 2 π，c ＝π－2，则( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>b D ．c>b>a (3)已知324log 0.3 log 3.4log 3.61 55()5a b c ＝，＝，＝，则( ) A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>b D ．c>a>b 解析 (1)根据幂函数y ＝x0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b 根据对数函数y ＝log0.3x 的单调性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1. 所以b (2)∵a＝log2π>log22＝1，b ＝log 12π＝log21π π2<1，∴b (3)c ＝(15 )3log 0.3＝53log 0.3 －＝3 10log 3 5 . 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log3x ，y ＝log4x 的图象，如图所示． 由图象知： log23.4>log310 3 >log43.6. 方法二 ∵log3103>log33＝1，且10 3<3.4， ∴log310 3 ∵log43.6 3>1， ∴log43.6 3. ∴log23.4>log310 3>log43.6. 由于y ＝5x 为增函数，∴5 2log 3.4 >3 10log 3 5 >5 4log 3.6 . 即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a>c>b. 答案 (1)C (2)C (3)C 【感悟提升】(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 高频考点六 有关对数运算的创新应用问题 例6、[2017·北京高考]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080 .则下列各数中与M N 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093 【感悟提升】在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化. 【变式探究】里氏震级M 的计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍． 答案 6 10000 解析 根据题意，由lg 1000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106 ，同理5级地震的最大振幅A 5＝102 ，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍． 1. （2018年天津卷）已知， ，，则a ，b ，c 的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意结合对数函数的性质可知： ，，， 据此可得：.，本题选择D选项. 2. （2018年天津卷）已知函数，，其中a>1. （I）求函数的单调区间； （II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I）由已知，，有. 令，解得x=0. 由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 0 + 极小值 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （II）由，可得曲线在点处的切线斜率为. 由，可得曲线在点处的切线斜率为. 因为这两条切线平行，故有，即. 两边取以a为底的对数，得，所以. （III）曲线在点处的切线l1：. 曲线在点处的切线l2：. 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线， 只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合. 即只需证明当时，方程组有解， 由①得，代入②，得. ③ 因此，只需证明当时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数， 即要证明当 时，函数存在零点. ，可知 时， ； 时， 单调递减， 又 ， ， 故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得，即. 由此可得 在 上单调递增，在 上单调递减. 在处取得极大值. 因为 ，故 ， 所以 . 下面证明存在实数t ，使得. 由（I ）可得， 当 时，有 ， 所以存在实数t ，使得 因此，当时，存在 ，使得 . 所以，当 时，存在直线l ，使l 是曲线的切线，也是曲线 的切线. 1、[2017·北京高考]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080 .则下列各数中与M N 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093 解析 由题意，lg M N ＝lg 3361 10 80＝lg 3361－lg 1080 ＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033 ＝33，lg 1053 ＝53，lg 1073 ＝73，lg 1093 ＝93， 故与M N 最接近的是1093 .故选D. 答案 D 2、[2017·天津高考]已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8 )，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 答案 C 解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，g (x )为偶函数． 又f (x )在R 上递增，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，且f ′(x )>0， g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )在[0，＋∞)上递增． a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，由对数函数y ＝log 2x 的性质，知3＝log 28>log 25.1>log 24＝2>20.8，∴c >a > b .故选 C. 1、【2016·浙江卷】已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52 ，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________． 2、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0 c D ．c a >c b 解析 由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确． ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c lg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定． 答案 B 【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()2 1x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记 ()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C 【解析】因为函数()2 1x m f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x f x =-，所以 2 21 log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛ ⎫===-=-=-= ⎪⎝ ⎭ ()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-= 所以c a b <<，故选C. 【2015高考浙江，理12】若4log 3a =，则22a a -+= ． 【答案】 33 4 . 【解析】∵3log 4=a ，∴3234=⇒=a a ，∴33 431322=+ =+-a a . （2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A. 1x 2 ＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2 ＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3 ＞y 3 【答案】D 【解析】因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2 ＋1)＞ln(y 2 ＋1)，1x 2 ＋1＞1 y 2＋1 都不一定正确，故选D. （2014·山东卷）函数f (x )＝ 1 （log 2x ）2 －1 的定义域为 ( ) A.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦ ⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C 【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2 －1＞0，解得⎩ ⎪ ⎨⎪⎧x ＞0， x ＞2或x ＜12 .故选C. （2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( ) 图11 A B C D 【答案】B 【解析】由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫13x ，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3 ，则其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3 ，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，则其函数图像不正确． （2014·广东卷）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5 ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________． 【答案】50 （2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213 ， c ＝log 121 3 ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 【答案】C 【解析】因为0log 121 2＝1，所以c >a >b . （2014·天津卷）函数f (x )＝log 12(x 2 －4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 【答案】D 【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪ ⎧x 2 －4>0，x <0， 解得x <－2. （2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( ) A B C D 【答案】D 【解析】只有选项D 符合，此时0 （2014·重庆卷）函数f (x )＝log 2x ·log 2 (2x )的最小值为________． 【答案】－1 4 【解析】f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )＝12log 2 x ·2log 2(2x )＝log 2x ·(1＋log 2x )＝(log 2x )2 ＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－ 14，所以当x ＝22时，函数f (x )取得最小值－1 4 . （2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x ⎪ ⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( ) A ．{x|x<－1或x>－lg 2} B ．{x|－1 C ．{x|x>－lg 2} D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D 【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1 2 ，解得x<－lg 2. （2013·山东卷）定义“正对数”：ln ＋ x ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧0，0 ln x ，x≥1.现有四个命题： ①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋ a ； ②若a>0，b>0，则ln ＋ (ab)＝ln ＋ a ＋ln ＋ b ； ③若a>0，b>0，则ln ＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋ b ； ④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋ b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④ 【解析】①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln ＋ (a b )＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋ a ；当0 <1时，∵b>0，∴0 (a b )＝bln ＋ a ＝0，∴①正确； ②中，当0 (ab)＝0，右边＝ln ＋ a ＋ln ＋ b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立； ③中，当a b ≤1，即a≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋ b≤0，左边≥右边成立；当a b >1时，左边＝ln a b ＝ln a － ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0 b ＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确； ④中，若0 ＋ ()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b≥1，ln ＋ () a ＋ b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln a ＋b 2 ， 又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b，a ，b 至少有1个大于1，∴ln a ＋b 2≤ln a 或ln a ＋b 2≤ln b，即有ln ＋ ()a ＋b －ln 2＝ ln ()a ＋b －ln 2＝ln a ＋b 2 ≤ln ＋a ＋ln ＋ b ，∴④正确． （2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【答案】D 【解析】a－b＝log36－log510＝(1＋log32)－(1＋log52)＝log32－log52>0，b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0， 所以a>b>c，选D. （2013·浙江卷）已知x，y为正实数，则( ) A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y 【答案】D 【解析】∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lgx2lgy，故选择D. 课时作业9 对数与对数函数 1．(2019·湖北孝感统考)函数f (x )＝1 ln (3x ＋1) 的定义域是( B ) A.? ?? ??－13，＋∞ B.? ?? ?? －13，0∪(0，＋∞) C.???? ??－13，＋∞ D ．[0，＋∞) 解析：由? ???? 3x ＋1＞0，ln (3x ＋1)≠0，解得x ＞－13且x ≠0，故选B. 2．(2019·河南新乡模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( B ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 解析：∵a ＝60.4＞1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4＜0，∴a ＞b ＞c .故选B. 3．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个实根，则lg(ab )·? ?? ?? lg a b 2 ＝( B ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：由已知，得lg a ＋lg b ＝2，即lg(ab )＝2. 又lg a ·lg b ＝1 2， 所以lg(ab )·? ?? ??lg a b 2 ＝2(lg a －lg b )2＝ 2[(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ]＝2×? ? ? ??22－4×12＝2×2＝4，故选B. 4．若函数y ＝a －a x (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则 log a 37＋log a 112 3＝( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：若a ＞1，则y ＝a －a x 在[0,1]上单调递减，则??? ?? a －a ＝0，a －1＝1， 解得a ＝2，此时，log a 37＋log a 112 3＝log 216＝4；若0＜a ＜1，则y ＝a －a x 在[0,1]上单调递增，则????? a －a ＝1，a －1＝0， 无解，故选D. 5．(2019·广东省际名校联考)已知f (x )满足对?x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1 e x ＋k (k 为常数)，则 f (ln5)的值为( B ) A ．4 B ．－4 C ．6 D ．－6 解析：易知函数f (x )是奇函数，故f (0)＝1 e 0＋k ＝1＋k ＝0，即k ＝－1，所以 f (ln5)＝－f (－ln5)＝－(e ln5－1)＝－4. 6．(2019·广东韶关南雄模拟)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C ) 2.6 对数与对数函数 考纲要求 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 3(1)对数的运算性质 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (M ·N )＝__________； ②log a M N ＝__________； ③log a M n ＝______(n ∈R )． (2)换底公式 log a b ＝______________________. 4．对数函数的图象和性质 (1)对数函数的定义 一般地，我们把函数y ＝__________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． _________ 过定点______时，y ＝______ 单调性：在(0，＋∞)上是单调性：在(0，＋∞)上是x ＜1时，y ∈______＜1时，y ∈______；当 5．指数函数与对数函数的关系 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数__________互为反函数． 1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N * ，则下列各式：_ ①(log a x )n ＝n log a x ； ②(log a x )n ＝log a x n ； ③log a x ＝－log a 1 x ； ④n log a x ＝1n log a x ； ⑤log a x n ＝log a n x ； ⑥log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y . 其中正确的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．函数y ＝2－x lg x 的定义域是( )． A ．{x |0＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ＜2} C ．{x |0＜x ≤2} D ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ≤2} 3．已知0＜log a 2＜log b 2，则a ，b 的关系是( )． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．b ＞a ＞1 D ．a ＞b ＞1 4．(2012安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( )． A ．14 B ．1 2 C ．2 D ．4 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过一定点是__________． 一、对数式的化简与求值 【例1－1】若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝__________. 【例1－2】(2012北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2 )＝__________. 方法提炼 对数式化简求值的基本思路： (1)利用换底公式及log m n a N ＝n m log a N 尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； (3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值． 请做演练巩固提升1 二、对数函数的图象与性质 【例2－1】已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2 ，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为__________． 【例2－2】已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的单调性． 2019年高考数学（理）一轮复习精品资料 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象； 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质 a >1 0 2019-2020学年高考数学一轮复习 对数和对数函数教案 教学内容 学习指导 即使感悟 【学习目标】1、理解对数的概念及其运算性质。 2、理解对数函数的概念和性质。并能利用对数函数的图像研究性质。 3、使学生形成“自主学习”与“合作学习”的良好习惯。 【学习重点】对数函数的图形和性质。x 【学习难点】对数函数的图像和性质及应用。 【回顾预习】 一回顾知识： 1、对数 (1)定义：一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做 ， 记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ． （2）、几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 以a (a ＞0，且a ≠1)为底的对数 自然对数 以 为底的对数 常用对数 以 为底的对数 （3）对数的运算性质 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝ ②n m a log ＝ ； ③log a M n ＝ (n ∈R )；④n m b a log ＝ ⑤=n a a log ；⑥log a a N ＝ ⑦换底公式：=N M log 2、对数函数 图像 1>a 10< 3、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线 对称． 基础自测： 1．以下等式(其中a ＞0，且a ≠1；x ＞y ＞0)：①log a 1＝0；②log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；③log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ；④log a a ＝1 ⑤() y a x a y x a log log log =-⑥()y x a y x a -=log log 其中正确命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(2009年湖南卷)若log 2a ＜0，121>⎪⎭ ⎫ ⎝⎛b 则 ( D ) A ．a ＞1，b ＞0 B ．a ＞1，b ＜0 C ．0＜a ＜1，b ＞0 D ．0＜a ＜1，b ＜0 3已知1112 2 2 log log log b a c <<,则 ( A ) A.222b a c >> B.222a b c >> C.222c b a >> D.222c a b >> 4、()232 1log -= x y 函数的定义域是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛1， 32 【自主合作探究】 例1、计算： （1）22 2(lg 2)lg 2lg5(lg 2)lg 21++-+； =1 （2）32 1 lg5(lg8lg1000)(lg 2)lg lg 0.066 ++++. =1 例2、已知函数1()log 1a x f x x +=-(0,1)a a >≠ 第6讲对数与对数函数 [考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点) 3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型． y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数． [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现. 1．对数 2．对数函数的图象与性质 续表 3．反函数 指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□ 01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□ 02y ＝x 对称． 1．概念辨析 (1)log 2x 2 ＝2log 2x .( ) (2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a 0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 答案 B 解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x 的图象知01，矛盾，故排除D.故选B. (2)设a ＝log 21 3，b ＝e － 12 ，c ＝ln π，则( ) A ．c 1，所以a 必修1专题复习——对数与对数函数 1．23log 9log 4⨯=（ ） A ． 14 B ．1 2 C ．2 D ．4 2．计算()()516log 4log 25⋅= （ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．1 4 3．已知222125 log 5,log 7,log 7 a b ===则 （ ） A ．3 a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b 4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知3 1 ln 4,log ,12 ===-x y z ，则（ ） A.< 高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第二章 对数与对数函数教学案（含解析）新人教A 版 第八节 对数与对数函数 [知识能否忆起] 1．对数的概念 (1)对数的定义： 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N . (2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1. ③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b log c a . 推广log a b ＝1 log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则： 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝n m log a M . 2．对数函数的概念 (1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0， a ≠1)的图象关于y ＝x 对称． 3．对数函数的图象与性质 y ＝log a x a >1 01时，y >0当0 第9讲 对数函数（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用 Ⅱ 选择题，填空题 1．对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数， 记作： N x a log =（a — 底数，N — 真数， N a log — 对数式） 说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ② x N N a a x =⇔=log ； ③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ① 常用对数：以10为底的对数N lg ； ② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征 特征⎩⎪⎨⎪ ⎧ log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ① M a (log ·=)N ； ② = N M a log ； ③ n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =；（2） a b b a log 1log =． 2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =) 10(≠>a a 且叫做 。 2．对数函数的性质： （1）定义域、值域：对数函数x y a log =) 10(≠>a a 且的定义域为 ，值域 为 ． （2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的 指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。 同样：也分1>a 与10< 第六节 对数与对数函数 对数与对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． (4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，且a ≠1)． 知识点一 对数及对数运算 1．对数的定义 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a _N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数． 2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log a M N ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (4)换底公式log a b ＝log m b log m a (a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1). 必记结论 1．指数式与对数式互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2．对数运算的一些结论： ①log am b n ＝n m log a b .②log a b ·log b a ＝1.③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 易误提醒 在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M ＞0. [自测练习] 1．(2015·临川一中模拟)计算⎝⎛⎭⎫lg 1125－lg 82÷4－12 ＝________. 解析：本题考查指数和对数的运算性质．由题意知原式＝(lg 5－3－lg 23)2÷2－1＝(－3lg 5 2019年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标9对数 与对数函数理 [解密考纲]本考点主要考查对数的运算、对数函数的图象与性质、简单复合函数的单调性等，通常以选择题、填空题的形式呈现，题目难度中等或中等偏上． 一、选择题 1．函数y ＝ lg x ＋1x －1 的定义域是( C ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 解析：要使lg x ＋1 x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1且x ≠1. 2．(2017·四川泸州一诊)若0 第6讲 对数与对数函数 课时作业 1．(2019·某某某某一诊)2lg 2－lg 1 25的值为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 2lg 2－lg 125＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫22÷125＝lg 100＝2，故选B ． 2．函数f (x )＝ln (x ＋3) 1－2x 的定义域是() A ．(－3,0) B ．(－3,0] C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(－3,0) 答案 A 解析 因为f (x )＝ln (x ＋3) 1－2x ，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，1－2x >0， 即－3 ＝12，函数的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 12 14＝2.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤12，2.故选A ． 5．若x log 23＝1，则3x ＋3－x ＝() A ．53 B ．5 2 C ．32 D ．23 答案 B 解析 因为x log 23＝1，所以log 23x ＝1，所以3x ＝2,3－x ＝12，所以3x ＋3－x ＝2＋12＝52.故 选B ． 6．(2019·某某某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ， b ， c 的大小关系是() A ．a ＝b 第9课对数与对数函数 [最新考纲] 内容 要求 A B C 对数√ 对数函数的图象与性质√ 1．对数的概念 假如a x＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a＞0，且a≠1)． (2)换底公式：log a b＝log c b log c a(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． (3)对数的运算性质：假如a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N，③log a M n＝n log a M(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质 定义函数y＝log a x(a＞0且a≠1)叫作对数函数 图象 a＞10＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数 4.反函数 指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关 于直线y＝x对称． 1．(思考辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x.() (2)当x＞1时，log a x＞0.() (3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．() (4)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 1 a，－1，函数图象不 在其次、三象限．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√ 2．(2021·启东中学高三第一次月考)函数f(x)＝ 1 (log2x)2－1 定义域为________． ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 0， 1 2∪(2，＋∞)[由 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧(log2x)2－1>0 x>0， 得0 第5讲 对数与对数函数 A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ 15log 30.3则( )． A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b 解析∵⎝ ⎛⎭⎪⎫ 15log 30.3＝5log 3103，1 限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级 基础夯实练 1．(2018·金华模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 2 7，c ＝12 ＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a 解析：选B.a ＝log 29－log 23＝log 2(33)， b ＝1＋log 27＝log 2(27)， c ＝12 ＋log 213＝log 226， 因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c . 2．(2018·邢台模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 解析：选D.∵f (x )＝lg 1－x 1＋x 的定义域为－1＜x ＜1， ∴f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－12 . 3．(2018·沈阳三模)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12 ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a 解析：选C.a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，又c ＝5－12＝15 ，5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，故c ＜a ＜b . 4．(2018·华师附中调研)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的 关系是( ) A ．0＜a －1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1 C ．0＜b －1＜a ＜1 D ．0＜a －1＜b －1＜1 解析：选A.令g (x )＝2x ＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数f (x )＝log a (g (x ))是单调递增的，所以必有a ＞1.又由函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1＜f (0)＜0，所以－1＜log a b ＜0， 故a －1＜b ＜1，因此0＜a －1＜b ＜1. 5．(2018·临沂调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12 a )≤2f (1)， 则a 的取值范围是( ) A ．[1，2] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0，2] 解析：选C.因为log 12 a ＝－log 2a ，且f (x )是偶函数，所以f (log 2a ) 第六节 对数与对数函数 [考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10 ，1 2的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的 函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 1．对数的概念 如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c b log c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)． (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 3．对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫作对数函数 图象 a ＞1 0＜a ＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0) 当0＜x ＜1时，y ＜0； 当x ＞1时，y ＞0 当0＜x ＜1时，y ＞0； 当x ＞1时，y ＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关 2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质 ①a log aN ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)； ③零和负数没有对数． (2)对数的运算性质(a >0，且a ≠1，M >0，N >0) ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0 (5)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c (×) 2020年高考第一轮复习数学2.8 对数与对数函数 （一）知识梳理 1．对数的概念 如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a 2.对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a 3.对数的运算性质log log log a a a MN M N =+； log log log a a a M M N N =- log log n a a M n M =其中a>0,a ≠0,M>0,N>0； log log (0,01,01)log m a m N N N a a m m a = >>≠>≠且且对数换底公式 4．幂函数与指数函数有什么区别？ 幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数 对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数 5.指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x (a>0且a ≠1) y=log a x (a>0 , a ≠1) 定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点 （０，1） （1，０） 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)图象关于y=x 对 称 单调a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 性 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 b> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1? y>0? y<0? 4．几个注意点 1．指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系 2．研究对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 （二）小题训练 1. 1.（北京文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则 解 ： 利 用 中 间 值 和 1 来 比 较 : 372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0， 2. （江西文4）若01x y <<<，则 A ．33y x < B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11 ()()44 x y < 解：函数4()log f x x =为增函数, 44log log x y < 3.（08安徽理13文13）函数221()x f x --= 的定义域为 ．人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业9 对数与对数函数(含答案)
高考数学一轮复习 第二章函数2.6对数与对数函数教学案 理
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题09对数与对数函数(教学案)含解析
2019-2020学年高考数学一轮复习-对数和对数函数教案
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第6讲 对数与对数函数讲义 理(含解析)-人教版高三全
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