函数的微分等于导数
浅谈函数点x处可微及其与可导的关系
浅谈函数点x处可微及其与可导的关系摘要：可微与可导及其关系是微积分学中的一个入门级重点，更是一个难点。
以增量、高阶无穷小为突破口，分析了可微与微分的定义，通过严格证明论述其与可导的关系，并举例说明微分的基本求法。
关键词：增量高阶的无穷小可微可导1 引言导数与微分是学习微积分学中的钥匙。
经常给人不好理解的印象，但如果以增量、高阶无穷小为突破口，去看微分的定义，并严格证明论述其与可导的关系，在加上一些简单微分的基本求，达到条理清晰、深入浅出的效果。
2 增量△y是否能写成A△x+O（△x）的意义2.1增量△y是否能写成A△x+O（△x）设函数y=f（x）在点x的某个邻域=3x2·△x+（3x·（△x）2+（△x）3）内有定义，则y=f（x）在点x的增量△y=f（x+△x）-f（x）。
如果我们对△y=f（x+△x）-f（x）的结果进行整理，就会发现，对于有些函数y=f（x）及点x来说△y=f（x+△x）-f（x）的结果可以整理成△y=f（x+△x）-f（x）=A△x+O（△x），这里A与△x无关，O（△x）是较△x高阶的无穷小，但是对于有些函数y=f（x）及点x来说△y=f（x+△x）-f（x）的结果无法整理成上述形式。
例如：y=x2在点x0的增量就可以写成上述形式，△y=（x0+△x）2-x02=2x0·△x+（△x）2，这里2x0与△x无关，（△x）2是较△x高阶的无穷小。
但是，y=在点x=0的增量就无法写成上述形式，△y=f（0+△x）-f（0）=-0= 。
2.2增量△y是否能写成A△x+O（△x）的意义为什么要研究函数y=f（x）在点x的增量△y是否能写成A△x+O（△x）呢？可以看到，如果函数y=f（x）在点x的增量△y能写成△y=A△x+O（△x），那么当△x的值很小时，O（△x）值就会比A△x的值小的多，可以忽略不记，即当△x的值很小时△y≈A△x，这时我们只要知道A的值就可以很方便地计算出函数y=f（x）在点x的增量△y的近似值。
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
第11章 全微分和全导数
【练习】 • P182的思考题11.1 • P194的习题11.1的（b）部分
（五）全微分的数学应用 • 1. 近似计算 • 可以采用全微分的方法求解近似的因变量的变化
• 【例子】P182的思考题11.2
z 6 1012 3022 6 1002 3002 182232024 传统解法：
采取全微分方法：
z z z x y 12xy 2 x 12x 2 yy x y 12100 3002 1 121002 300 2 1.8 108
【练习】 • 求函数
z y x
当 x 2, y 1, x 0.1, y 0.2 时的全
• 【练习】 • z ( x y) xy ，求一阶偏导数。
z xy 1 xy xy( x y ) y ( x y ) ln(x y ) x z xy 1 xy xy( x y ) x( x y ) ln(x y ) y
三、全微分的应用
d1 500 2 p1 3 p2 2Y
z z z , ,, 的偏导数 x1 x2 xn
在点（x1 , x2 ,, xn ）处连续，则
z z z x1 x2 xn x1 x2 xn
就称为函数z=f( x1 , x2 ,, xn )在点（x1 , x2 ,, xn ）的 全微分，记为 dz 或 df ( x1 , x2 ,, xn ) ，即：
第11章 全微分和全导数
一、全微分
（一）微分
• 设函数 y f ( x) 在点 x 可导，则 f ( x)x 称为函
数 y f ( x) 在点 x 处的微分，记为 dy df ( x) ，
即 dy f ( x)x ，由于 dx x x x ，即自变
三角函数微分公式
三角函数微分公式三角函数是解析几何与三角学中经常出现的函数类型之一、常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
在微积分中，我们常需要对三角函数进行微分，以求出其导数。
本文将介绍一些常用的三角函数微分公式。
一、正弦函数的微分公式正弦函数是一个周期函数，其图像在一个周期内是一条波浪线。
正弦函数的微分公式如下：d/dx (sin(x)) = cos(x)这个公式表明，正弦函数的导数等于其自变量的余弦函数。
换言之，正弦函数的导数就是其函数图像的斜率。
二、余弦函数的微分公式余弦函数也是一个周期函数，其图像在一个周期内与正弦函数的图像相似，但相位不同。
余弦函数的微分公式如下：d/dx (cos(x)) = -sin(x)这个公式表明，余弦函数的导数等于其自变量的负正弦函数。
也就是说，余弦函数的导数就是其函数图像的斜率乘以-1三、正切函数的微分公式正切函数是余弦函数和正弦函数的商。
在一些点上，它的导数可能为无穷大或负无穷大，但在其他点上的导数有简单的表达式。
正切函数的微分公式如下：d/dx (tan(x)) = sec^2(x)其中，sec(x)表示求x的余割函数，它的定义是sec(x) = 1/cos(x)。
从该公式中可以看出，正切函数的导数等于其自变量的余割函数的平方。
四、余切函数的微分公式余切函数是正弦函数和余弦函数的商。
和正切函数一样，它的导数也可能为无穷大或负无穷大。
但在其他点上余切函数的导数有简单的表达式。
余切函数的微分公式如下：d/dx (cot(x)) = -csc^2(x)其中，csc(x)表示求x的正割函数，它的定义是csc(x) = 1/sin(x)。
从该公式中可以看出，余切函数的导数等于其自变量的正割函数的平方的相反数。
这些是常见的三角函数微分公式，它们在微积分中的应用非常广泛。
通过对这些公式的应用，我们可以轻松地计算三角函数的导数，进而解决许多与三角函数相关的问题。
基本导数公式 → 基本微分公式
基本导数公式→ 基本微分公式本文档旨在介绍基本导数公式和基本微分公式的概念和应用。
这些公式是微积分中的基本概念，对于理解和解决各种数学和科学问题具有重要意义。
基本导数公式导数是函数概念的一部分，它描述了函数在某一点的变化率。
基本导数公式是常见函数的导数表达式，包括以下几个常见函数类型：1.常数导数公式：如果函数 f(x) 等于常数 c，则其导数 f'(x) 等于零。
f(x) = c，则 f'(x) = 0.2.幂函数导数公式：对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 是任意实数，其导数 f'(x) 等于 n * x^(n-1)。
f(x) = x^n，则 f'(x) = n * x^(n-1).3.指数函数导数公式：指数函数 f(x) = e^x 的导数 f'(x) 等于 e^x。
f(x) = e^x，则 f'(x) = e^x.4.对数函数导数公式：对数函数 f(x) = log(a。
x) 的导数 f'(x) 等于 1 / (x * ln(a))，其中 a 是对数的底数。
f(x) = log(a。
x)，则 f'(x) = 1 / (x * ln(a)).5.三角函数导数公式：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数公式如下：正弦函数：f(x) = sin(x) 的导数 f'(x) = cos(x).余弦函数：f(x) = cos(x) 的导数 f'(x) = -sin(x).正切函数：f(x) = tan(x) 的导数 f'(x) = sec^2(x)。
以上是常见函数的基本导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
基本微分公式微分是导数概念的一部分，它描述了函数在某一点的局部线性逼近。
基本微分公式是微分运算中常用的表达式，对于求解微分方程和优化问题非常重要。
常见的基本微分公式包括以下几个：1.常数微分公式：如果函数 f(x) 等于常数 c，则其微分 df(x) 等于零。
导数与微分-- 函数的微分
本讲学习目标： 1、复述函数在一点可微的概念，并指出何为函数的微分。 2、能够指出导数与微分的关系，并能利用这个关系计算函数的微分。 3、能够默写或复述微分的基本公式和基本法则。 4、指出微分的几何意义，能利用微分做简单的近似计算。
2.4.1 微分的定义
定义2.4.1 设函数y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，若相对于自变量x的微小增量∆x，相 应的函数增量 y f (x0 x) f (x0 ) 可表示为
dy x2 y x2 x 120.01 0.12
2.5.3 微分基本公式和基本法则
dy f (x)x
dx (x) x x
dy f (x)dx
dy f (x) dx
“微商”
1）微分基本公式：（常、幂、指、对、三角、反三角）
(sin x) cosx d(sin x) cosxdx
y ( y) dy dx
dy f (x)x
【例2.5.2】求函数 y x3 当x从 x0 2 变到x=2.01时的函数增量与函数微分。
解： 函数增量
又因为 所以
y f (x) f (x0 ) f (2.01) f (2) (2.01)3 23 8.12068 0.1206
y 3x2， y x2 3x2 12， x x x0 0.01
【例2.5.5】设函数 y ln(x x2 1) ，求dy 。
解： dy
1
d (x x2 1)
1
[dx d ( x 2 1)]
x x2 1
x x2 1
1
[dx 1 d (x2 1)]
1 [dx 2x dx]
x x2 1
2 x2 1
x x2 1
高等数学导数微分学习辅导及公式总结
高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数321-+=x x y ，求y '。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
导数-微分-偏导数-偏微分-全微分
导数-微分-偏导数-偏微分-全微分在⼀些数学公式的推导中，常会遇到d / ∂ / δ \ Δ 等符号。
它们背后分别代表的数学含义？增量设变量u从它的⼀个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2−u1就叫做变量u的增量，记作 Δu，即Δu=u2−u1增量 Δu可以是正的，也可以是负的。
应该注意到：记号 Δu 并不表⽰某个量 Δ 与变量 u 的乘积，⽽是⼀个整体不可分割的记号。
举例：现在假定函数y=f(x) 在点x0的某⼀个邻域内是有定义的。
当⾃变量x在这个邻域内从x0变到x0+Δx时，函数值（或因变量）f(x) 相应地从f(x0) 变到f(x0+Δx)，因此，函数值（或因变量）f(x) 的对应增量为Δy=f(x0+Δx)−f(x0)习惯上也称 Δy为函数的增量。
由此，可以定义函数的连续性，如下：设函数y=f(x) 在点x0) 的某⼀个邻域内有定义，如果limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0，那么就称函数y=f(x) 在点x0连续。
导数导数的定义：设函数y=f(x) 在点x0的某个邻域内有定义，当⾃变量x在x0处取得增量 Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；如果 Δy与 Δx之⽐当 Δx→0 时的极限存在，那么称函数y=f(x) 在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x) 在点x0处的导数，记为f′(x) ，即f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx,也可记作y′|x=x0，$$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$ 或df(x)dx|x=x0。
可以看出，导数等于增量 Δy和增量 Δx⽐值的极限。
函数的微分微分的定义：设函数y=f(x) 在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这个区间内，如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表⽰为Δy=AΔx+o(Δx)其中，A是不依赖于 Δx的常数，那么，称函数y=f(x) 在点x0是可微的，⽽AΔx叫做函数y=f(x) 在点x0相应于⾃变量增量 Δx的微分，即dy=AΔx注：函数f(x) 在点x0可微的充要条件是函数f(x) 在点x0可导。