含参函数单调性
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围
核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，取决于函数的导数的正负情况。
在本篇文章中，我们将介绍含参函数单调性的概念以及如何判断参数范围。
一、含参函数的单调性含参函数的单调性指的是函数在一些区间上的值的增减趋势。
如果函数在整个区间上都递增或者递减，则称该函数在该区间上是单调的。
对于含参函数f(x)，我们可以通过求导来判断其在区间上是否单调。
如果函数在整个区间上的导数恒大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在整个区间上的导数恒小于0，则函数在该区间上递减。
换言之，我们可以通过求解方程f'(x)>0或者f'(x)<0来判断函数的单调性。
其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
二、参数范围的确定确定参数范围的方法主要包括以下步骤：1.根据问题的具体内容，确定需要讨论的函数范围，并确定参数的取值范围。
例如，如果需要讨论函数在区间[a,b]上的单调性，那么参数范围可以通过分析函数在区间的特性来确定。
2.找出函数的导数表达式。
通过计算函数f(x)的导数f'(x)，可以得到函数在区间上的单调性。
如果求导的过程中出现了参数，则需要将参数的取值范围考虑进去。
3.解方程f'(x)>0或者f'(x)<0，得到函数在区间上的单调性，并得到参数的取值范围。
4.根据参数的取值范围进行验证。
将参数取值范围代入原函数带入计算，可以验证所得的结论是否正确。
举例说明：问题：求函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2, 3]上的单调性。
解答：首先求出函数的导数：f'(x)=2ax+b。
接下来我们需要根据参数a的取值范围来判断函数的单调性。
当a>0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒大于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递增的。
当a<0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒小于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递减的。
用导数讨论含参函数的单调性
单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。
首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。
含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。
其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。
在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。
通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。
例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。
该函数的导数为$y'=2ax+b$。
因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。
更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。
再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。
总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。
正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。
”。
利用导数研究含参函数单调性
利用导数研究含参函数单调性函数的单调性是指函数随着自变量的变化，函数值的增减规律。
利用导数可以研究含参函数的单调性。
考虑含参函数$f(x;a)$，其中$a$是函数的参数。
我们希望研究函数$f$相对于自变量$x$和参数$a$的单调性。
首先，我们来研究函数相对于自变量$x$的单调性。
要研究函数$f(x;a)$的单调性，我们需要计算其导数。
记$f'(x;a)$为函数$f(x;a)$的导数。
根据导数的定义，我们有$$f'(x;a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x;a) - f(x;a)}{\Delta x}$$这表示了函数$f(x;a)$在$x$处的切线的斜率。
我们可以通过计算导数来研究函数的单调性。
具体来说，当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终大于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递增的；当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终小于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递减的。
例如，考虑函数$f(x;a) = ax^2 + bx + c$，其中$a,b,c$是参数。
我们可以计算其导数$f'(x;a) = 2ax + b$。
当$a>0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上大于零，这表示函数$f(x;a)$是递增的；当$a<0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上小于零，这表示函数$f(x;a)$是递减的。
接下来，我们来研究函数相对于参数$a$的单调性。
要研究函数$f(x;a)$相对于参数$a$的单调性，我们需要计算其偏导数。
记$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a)$为函数$f(x;a)$相对于参数$a$的偏导数。
根据偏导数的定义，我们有$$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f(x;a+\Delta a) - f(x;a)}{\Delta a}$$类似地，我们可以通过计算偏导数来研究函数相对于参数的单调性。
对含参函数单调性的讨论优秀教学设计
对含参函数单调性的讨论优秀教学设计教学设计：教学目标：1.知识目标：理解含参函数单调性的概念和性质，能够分析和讨论含参函数的单调性。
2.能力目标：培养学生分析问题、归纳总结、推理判断的能力，以及解决实际问题的能力。
教学内容：1.含参函数的定义和性质。
2.含参函数的单调性讨论。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引导学生回顾之前学过的函数的概念和基本性质，如自变量、因变量、函数图像等。
2.提问：你们对函数的单调性了解吗？请举例说明。
二、概念讲解与示例分析（15分钟）1.定义含参函数：讲解含参函数的概念和表示方法。
如：f(x,a)=x+a。
2.讲解含参函数的性质：如定义域、值域等。
3.通过具体的例子分析含参函数的单调性。
例子1：f(x,a)=x+a，当a>0时，f(x,a)的值随着x的增大而增大，所以函数是递增的；当a<0时，f(x,a)的值随着x的增大而减小，所以函数是递减的。
例子2：f(x,a)=x^2+a，当a>0时，f(x,a)的图像向上开口，所以函数是递增的；当a<0时，f(x,a)的图像向下开口，所以函数是递减的。
三、单调性的判断（25分钟）1.引导学生发现含参函数的单调性判断方法。
2.指导学生通过分析函数图像、求导等方法来判断含参函数的单调性。
3.分组讨论：将学生分组，每组给出一个含参函数的例子，让其他组员分析该函数的单调性，并用图像或者求导方法进行验证。
4.学生报告：每个小组选择一个函数进行报告，让全班一起讨论这个函数的单调性。
四、综合练习（30分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。
2.汇总讨论：选择2-3个题目进行讲解和讨论，引导学生分析解题思路和方法。
五、拓展应用（20分钟）1.提供一些与实际问题相关的含参函数，让学生思考如何分析其单调性，并解决实际问题。
2.学生自主探究和讨论，给出解决问题的思路和方法。
3.汇报讨论结果，并引导学生总结具体问题中含参函数的单调性。
利用导数研究含参函数单调性
利用导数研究含参函数单调性导数是研究函数的一个重要工具，可以用来研究函数的单调性。
含参函数即包含一个或多个参数的函数，我们可以通过对导数的研究来研究含参函数的单调性，下面我们就来详细介绍。
首先，我们先回顾一下导数的定义。
对于含有一个自变量的函数y=f(x)，我们可以通过求导来得到函数在其中一点的斜率。
导数的定义为：f'(x) = lim(h->0) {f(x+h)-f(x)} / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
如果函数在其中一点的导数大于0，我们可以认为该点函数是递增的；如果导数小于0，则是递减的。
如果导数恒大于0，则函数是严格递增的；如果导数恒小于0，则函数是严格递减的。
对于含参函数y=f(x，a，b，c...)，其中a，b，c...为参数，我们也可以研究其单调性。
我们可以首先将含参函数看作一个关于自变量x的函数，然后求导。
求导后的函数中不再含有参数，其导数的正负号和零点即可以用来研究函数在不同参数取值情况下的单调性。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明。
考虑函数y=f(x,a)=ax^2，其中a为参数。
我们可以先固定a的值，然后研究函数关于x的变化情况，再通过参数a的取值来研究函数的单调性。
首先，我们分别求导得到函数关于自变量x的导数：f'(x,a) = 2ax现在我们可以根据导数的正负号来研究函数的单调性。
当a>0时，f'(x,a)恒大于0，即导数恒大于0，说明函数递增；当a<0时，f'(x,a)恒小于0，即导数恒小于0，说明函数递减。
接下来，我们可以通过研究参数a的取值来研究函数的单调性。
当a>0时，函数为开口向上的抛物线，随着a的增大，函数的正值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强；当a<0时，函数为开口向下的抛物线，随着a的减小，函数的负值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强。
用导数研究含参函数的单调性
用导数研究含参函数的单调性导数是研究函数在各个点上的斜率或变化率的工具，可以用来研究含参函数的单调性。
含参函数是指函数中包含一个或多个参数的函数。
研究含参函数的单调性，既可以固定参数的值，将其视为常数，研究含参函数的单调性；也可以将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性。
一、固定参数的值，研究含参函数的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，固定参数$\theta$的值，将其视为常数。
此时，可将含参函数简化为仅含有变量$x$的函数$f(x)$。
然后利用导数的概念和性质来研究这个简化后的函数$f(x)$的单调性。
具体步骤如下：1.求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$，即计算$f(x)$关于$x$的导数。
这一步可以直接用导数的定义来计算，或者应用常见函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。
2.求出函数$f'(x)$的零点，即求出方程$f'(x)=0$的解。
这些零点对应于函数$f(x)$的驻点，它们是函数在一些点上的斜率为0的点。
3.利用导数的符号来研究函数$f(x)$的单调性。
若$f'(x)>0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为正，则函数$f(x)$单调递增；若$f'(x)<0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为负，则函数$f(x)$单调递减。
4.将求出的零点和函数的特殊点（如端点、奇点等）放在数轴上，根据导数的符号，划分函数$f(x)$的单调区间。
通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在固定参数$\theta$的取值下，函数$f(x)$的单调性。
二、将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，可以将参数值$\theta$看作是一个变量，通过改变参数值来研究函数的单调性。
这种情况下，可以使用偏导数来研究含参函数的单调性。
含参型函数单调性求解技巧
含参型函数单调性求解技巧单调性是函数在某个定义域上的递增或递减性质。
当一个函数在某个区间上单调递增时，函数的值随着自变量的增大而增大；当一个函数在某个区间上单调递减时，函数的值随着自变量的增大而减小。
要判断一个含参型函数的单调性，可以运用微积分和函数性质的知识。
下面介绍一些常见的求解技巧。
一、求导法1. 单调递增区间如果一个函数在某个区间上的导数大于零，则函数在该区间上单调递增。
即 f'(x) > 0。
2. 单调递减区间如果一个函数在某个区间上的导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
即 f'(x) < 0。
判断函数的单调性时，可以求出函数的导数，并根据导数的正负来判断单调性的性质。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，我们可以求出它的导数 f'(x) = 2x + 3。
根据导数 f'(x) 的正负，可以判断函数 f(x) 的单调性。
二、函数性质法有些函数具有特殊的数学性质，可以利用这些性质来判断函数的单调性。
1. 二次函数二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是常数，并且 a ≠ 0。
当 a > 0 时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递增；当a < 0 时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递减。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，它是一个开口向上的抛物线，函数在整个定义域上单调递增。
2. 反函数如果一个函数在整个定义域上单调递增或单调递减，则它的反函数在整个值域上也单调递增或单调递减。
例如，对于函数f(x) = e^x，它是一个在整个定义域上单调递增的指数函数。
其反函数为f^{-1}(x) = \\ln x，它在整个值域上也单调递增。
三、初等函数的单调性规律对于一些常见的初等函数，也存在一些单调性的规律，可以用来判断函数的单调性。
含参函数的单调性讲义
含参函数的单调性讲义一、讨论函数单调性1、讨论xa x x f +=)(的单调性，求其单调区间 2、讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 3、讨论x ax x f ln )(+=的单调性4、讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性 5、求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间6、已知函数f(x)=21x 2－a x+(a －1)ln x ，讨论函数()f x 的单调性,求出其单调区间。
总结：一、求是否有实根讨论。
（2008年高考广东卷（理科） 设k R ∈，函数1,11(),()(),1,1x x f x F x f x kx x R x x ⎧<⎪-==-∈⎨⎪--≥⎩，试讨论函数()F x 的单调性。
二、实根是否落在定义域内讨论。
(2008高考浙江卷理科)已知a 是实数，函数()()f x x x a =-（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。
（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。
三、实根的大小关系，从而引起讨论。
1、（2007年高考天津理科卷）已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
练习：07高考山东理科卷改编）设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。
2、（2010山东文数）已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x-=-+-∈（I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（II ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.3、2010辽宁文数）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；4、（2010北京理数）已知函数f (x )=In(1+x )-x +22x x (k ≥0)。
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含参数函数单调性 ●基础知识总结和逻辑关系一、 函数的单调性求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的()f x 的定义区间；2) 求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间的一切实根；3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；4) 确定'()f x 在各个区间的符号，由'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的单调性.二、 函数的极值求函数的极值的三个基本步骤1) 求导数'()f x ；2) 求方程'()0f x =的所有实数根；3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()f x 在这个根处取得极大（小）值.三、 求函数最值1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值；2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.四利用导数证明不等式1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的.2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.含参函数的单调性，核心是三个步骤，四个流程：1）第一步：先求定义域，再求导； 2）第二步：准确求出导数()f x '之后，按以下四个流程依次走：[注意题目本身给定的参数围]流程①：最高次项系数如果含参数，分 “0=；0>；0<” 三种情况依次讨论该系数。
（不含参就直接略过）“0=”时，求出参数的值，代回()f x '，写出不含参数的()f x '的最简洁、直观的形式；“0>”或“0<”时，把最高次项系数外提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来。
流程②：接流程①，判断方程()0f x '=是否有根。
如果方程()0f x '=没有任何实根，说明()0f x '>或()0f x '<恒成立，()f x 恒定单增或单减，直接写结论；如果方程()0f x '=有实根，全部求出来，写明“1x = ”，“2x = ”然后进入流程③。
流程③：判断由②得出的根是否在定义域。
（i ）定义域没有根，写出()f x '，肯定有()0f x '>或()0f x '<，说明函数()f x 在定义域恒定单增或单减，直接写出结论；（ii ）定义域有且只有一个根，对这个唯一的根进行列表，判断()f x 单调递增区间和单调递减区间；（iii ）定义域有两根（包含两等根或两异根），那么就进入流程④。
流程④：在流程③中确定二次函数型()0f x '=在定义域有两根12,x x 的情况下，讨论两根大小（“=”，“>”，“<”）。
然后列表，依据表格写出结论。
3）第三步：（3）写综上所述。
对参数的所有可能取值都要写出，对应结论相同的时候，参数围必须合并。
[题]讨论函数()(0)kxf x xe k =≠的单调区间。
[难度]**[题]讨论函数2()ln(1)2k f x x x x =+-+的单调区间。
[难度]***[点评]求单调区间的步骤（1）确定函数的定义域，（2）求出()f x '，令()0f x '=，求出根，求出在定义域所有的根，，（3）把函数的间断点在横坐标上从小到大排列起来，把定义域分成若干个小区间，（4）确定()f x '在每个区间的正负号，求出相应的单调区间。
[题]判断函数2()4ln f x x x a x =++的单调性。
[难度]***[题]求函数232()14a f x x ax x =+++的单调区间。
[难度]***[题]、求函数2()(1)(2,)xf x e x ax x a R =-+>-∈的单调区间。
[难度]*** [题]求函数21()ln ()2f x x a x a R =+∈的单调区间。
[难度]***[题]讨论函数2()2ln(21)f x kx x x =++-的单调性。
[难度]***[题]讨论函数()1kxe f x x =-的单调性。
[难度]**[题]讨论函数22()(1)x af x x +=+的单调性。
[难度]***[题]求函数2()(1)(1,)xf x e x ax x a R =-+>-∈的单调区间。
[难度]**[题]求函数2()(1)(3,)xf x e x ax x a R =-+>-∈的单调区间。
[难度]**3利用导数研究含参变量函数的最值问题利用导数研究含参变量函数最值的基本思路和大致步骤：通常是先讨论函数的单调性，必要时画出函数的示意图，然后进行最值的讨论。
[题]已知函数()()xf x x k e=-()1求()f x 的单调区间；()2求()f x 在区间[]0,1上的最小值.[解析]：（1）(),1k -∞-减()1,k -+∞（2）①1,k <()minf x k =-②2,k >()min (1)f x k e =-③1k 2≤≤，()1min k f x e-=-[难度]**[题]已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(],1-∞-上的最大值.[难度]*** [题]已知函数321()2313f x x x x =-++，给定区间[,2]a a ，（0a >），试求()f x 在此区间上的最大值。
[难度]***[题]已知0a >，函数ln ()a x f x x=：（1） 讨论()f x 的单调性；（2） 求()f x 在区间[,2]a a 上的最值.[答案]：①02e a <≤时，max ln 2()(2)2af x f a ==，min ()()ln f x f a a ==②a e ≥时，max ()()ln f x f a a==，minln 2()(2)2af x f a == ③2a e≤<时，max()()af x f e e==，minln 2()(2)2af x f a == ④22e a <<时，max ()()a f x f e e ==，min ()()ln f x f a a ==[难度]*** [点评][题]、已知函数1()ln(1),0,01xf x ax x a x-=++≥>+(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 的最小值为1，求a 的取值围. [答案]：2a ≥时，()f x 在[0,)+∞上单调递增 02a <<时，()f x在[0,上单调递减()f x在)+∞上单调递增2a ≥[难度]***[题]已知函数：)(ln )1()(R a xa x a x x f ∈-+-= ,当[]e x ,1∈时，求)(x f 的最小值；[答案]当e a <<1时，()()1ln 1min -+-=a a a x f 当e a ≥时，()()ea a e x f -+-=1min [难度]***[题]已知函数23()31(0),()9f x x a g x x x =+>=-，若()()f x g x +上的最大值为28.数k 的取值围[难度]***[题]已知函数()32f x ax x bx =++（其中常数,a b ∈R ），()()()g x f x f x '=+为奇函数.(1)求()f x 的表达式； (2)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[]1,2上的最大值与最小值. [答案]()3213f x x x =-+()g x 在[]1,2上最大值为3，最小值43[难度]***[题]设3211()232f x x x ax =-++.（1）若()f x 在2(,)3+∞上存在单调递增区间，求a 的取值围；（2）当02a <<时，()f x 在[1,4]上的最小值为163-，求()f x 在该区间上的最大值。
[答案]a 的取值围是1(,)9-+∞()f x 在该区间上的最大值为103.[难度]****[题]已知函数2()ln f x x x =-(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在(0,],(0)a a >上的最大值.[答案]当02a <<时，()f x 在(0,],(0)a a >上的最大值为2ln a a -;当2a ≥时，()f x 在(0,],(0)a a >上的最大值为(0,21ln2--[难度]***[题]设函数23()1(1)f x a x x x=++--，其中0a>:（1）讨论()f x在其定义域上的单调性；（2）[0,1]x∈时，求()f x取得最大值和最小值时x的值.[难度]***[题]已知函数32()f x x ax bx c=+++(实数,,a b c为常数)的图像过原点，且在1x=处的切线为直线12y=-(1)求函数()f x的解析式;(2)若0m>，求函数()f x在区间[,]m m-上的最大值.[难度]***[题]设函数22()3lnf x x ax a x=+-(1)讨论()f x的单调性;(2)若a为正常数，求()f x在区间(0,](0)t t>上的最小值.[难度]***。